中考专题：圆与二次函数结合题
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。
最新中考数学复习中考专题：圆与二次函数结合题
2017年中考数学复习中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．1、解：（1）过点C 作CM ⊥轴于点M ，则点M 为AB 的中点．∵CA =2，CM =， ∴AM ==1．于是，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0）（2）将（1，0），（3，0）代入得，解得 所以，此二次函数的解析式为．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0116）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)
第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。
解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。
中考数学-二次函数与圆结合的压轴题
二次函数和圆【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数ky x=(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．图6xy FE H N MPD C B AO【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．A MBx yO DE【例题6】(山西省临汾市)26.如图所示，在平面直角坐标系中，M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于(60)(08)A B--，，，两点．（1）请求出直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D E，两点，在抛物线上是否存在点P，使得115PDE ABCS S=△△？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x。
圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点
圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。
二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。
三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。
中考专题：圆与二次函数结合题
中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．￥（2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB 若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．|~3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；~(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
|4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.·（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.{.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。
专题30 圆与二次函数结合(解析版)
专题30 圆与二次函数结合1．一动点P 在二次函数2111424y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______．【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0)【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解． 【详解】解：如图所示：则可分两种情况：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令21111424x x -+=，解得11x =-，23x =，此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)，②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)， 综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)， 故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________．【答案】y=x 2-4x +3【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式． 【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=()2223-＝1，∵A （1，0），B （3，0），∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3， 故答案为：y=x 2-4x +3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．【答案】26【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】令214311515y x x =--中y=0，得x 1=-3，x 2=53， ∴直线AC 的解析式为313y x =--， 设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1 ∴PQ 2=PB 2-BQ 2， =(x-53)2+（313x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ 的最小值是26， 故答案为：26，【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.二、解答题4．如图，在平面直角坐标系中，以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．(1)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；(3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标． 【答案】(1)215442y x x =-+ (2)证明见解析 (3)存在．当4n =时，BCNS 最大，最大值为16，此时()4,2N -．【分析】（1）连接CD ，由y 轴是D 的切线，可得DC y ⊥轴，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据垂径定理可得3AE BE ==，连接AD ，在Rt ADE △中可求出AD ，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形OCDE 是矩形，得到4CO =，2OA =，8OB =，从而得到C 、A 、B 三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）因为点D 为圆心，点A 在圆周上，5r AD ==，利用勾股定理的逆定理证明90DAF ∠=︒即可； （3）设存在点N ，过点N 作NPy 轴，交BC 于点P ，求出直线BC 的解析式，设点N 的坐标215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则可得点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+⎪⎝⎭，从而根据BCN PNC PNB S S S =+△△△，表示出BCN △的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N 的坐标． (1)解：如图，连接CD ，AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，1AE BE AB 32===，4DE =，∴90DCO ∠=︒，2222435DA DE AE A =+=+=， ∴四边形OCDE 是矩形， ∴4CO DE ==，5==OE CD ，∴2OA OE AE =-=，8OB OA AB =+=， ∴()0,4C ，()2,0A ，()8,0B ，设经过点C 、A 、B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++， 将点C 、A 、B 三点的坐标代入可得：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：14524a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式为：215442y x x =-+．(2)证明：∵点D 为圆心，点A 在圆周上， 由（1）知，5r DA ==， 抛物线解析式为：215442y x x =-+，且顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又∵()5,4D ，与D 相切．N ，使CBN 面积最大，N 作NP y 轴，交()8,0B ，的解析式为：y kx =NPy 轴，交的坐标为142n =-+BCN PNC S =△当4n =时，BCNS最大，最大值为16，此时()4,2N -．【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．由BCN PNC PNB S S S =+△△△得到BCNS与n 的函数关系是解题的关键．5．定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P （2，2），以P 5P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图像的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值； (3)已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图像交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连接PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值． 【答案】(1)⊙P 是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA 周长的最小值为6 (3)43312a +=【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+P A+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得P A=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝5，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD ，P A ，设二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 与CD 交于点E ，与x 轴交于点F ，由对称性知，对称轴l 经过点P ，且l ⊥CD ， ∵AB ＝161641a aa a--=， ∴AF ＝BF ＝21aa-， ∵∠CPD ＝120°，PC ＝PD ，C （0，4）， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝30°，设PE ＝m ，则P A ＝PC ＝2m ，CE ＝3m ，PF ＝4﹣m ， ∵二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 为2x a=， ∴23m a=，即23a m =，在Rt △P AF 中，P A 2＝PF 2+AF 2， ∴222214(4)()a m m a-=-+， 即22224(1)34(4)43mm m m -=-+，化简，得(823)16m +=，解得843m =+， ∴2433123a m+==．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过A （3，0）、B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积是△BDA 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求面积的最小值及E 点坐标．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）；（3）面积的最小值为94，E 点坐标（32，32） 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D 的坐标，取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，得到直线EP 为y ＝x ﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD ⊥OA 于D ，得到OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，证明EF 是△AEO 的外接圆的直径，得到△EOF 是等腰直角三角形，当OE 最小时，△EOF 的面积最小，计算即可； 【详解】（1）将点A （3，0），B （4，1）代入可得： 933014431a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故函数解析式为215322y x x =-+； （2）∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴2153022x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝2， ∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，∵ED ＝AD ＝1，∴此时△P AB 的面积是△DAB 的面积的两倍， ∵直线AB 解析式为y ＝x ﹣3， ∴直线EP 为y ＝x ﹣1，由2115322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得71725172x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或71725172x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）． （3）如图2中，作BD ⊥OA 于D ．∵A （3，0），C （0，3），B （4，1）， ∴OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1， ∴∠OAC ＝∠BAD ＝45°， ∵∠OAF ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EAF ＝90°，∴EF 是△AEO 的外接圆的直径， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EFO ＝∠EAO ＝45°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴当OE 最小时，△EOF 的面积最小， ∵OE ⊥AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝12AC ＝322， ∴E （32，32），S △EOF ＝1323292224⨯⨯=．∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，点F 是AE 的中点，请直接写出线段OF 的最大值和最小值．【答案】（1）224x 233y x =+-；（2）存在，理由见解析；D (－4, 103)或（2，103）；（3）最大值13122+；最小值13122- 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D 应在x 轴的上方或下方，在下方时通过计算得∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍，判断点D 应在x 轴的上方，设设D (m ,n )，根据面积关系求出m 、n 的值即可得到点D 的坐标；（3）设E(x,y)，由点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E 的坐标为E 2(,12)x x,再根据点F 是AE 中点表示出点F 的坐标2312(,)22x x ，再设设F(m,n),再利用m 、n 、与x 的关系得到n=21(23)22m ，通过计算整理得出22231(1)()()22n m ，由此得出F 点的轨）时，02C （，-）4533<，所以设D (m ,n ), △∴n ＝103∴223m +y=212x ,2,12)x x ,是AE 的中点, 的坐标2312(,)22x x ,,n=2122x ,n=21(23)22m ,∴2n+2=21(23)m ,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2, ∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m, ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆，∴最大值：2231131(0)12222， 最小值：2231131(0)12222最大值13122+；最小值13122- 【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x 轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.8．如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线y ＝16x 2+bx+c 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．(1)求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A 、B 、C ，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q （8，m ）在抛物线y ＝16x 2+bx+c 上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【答案】（1）C （0，2），图象见解析；（2）PQ+PB 的最小值210；（3）OE 的解析式为y=12x -． 【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A ，B 的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C 的坐标；（2）根据图象可得PQ+PB 的最小值即是AQ 的长，所以抛物线对称轴l 是x=4．所以Q （8，m ）抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6，求的AQ 的值即可；（3）此题首先要证得OE ∥CM ，利用待定系数法求得CM 的解析式，即可求得OE 的解析式． 试题解析：（1）由已知，得A （2，0），B （6，0），∵抛物线y=16x 2+bx+c 过点A 和B ，则2212206{16606b c b c ⨯++⨯++＝＝ 解得4{32b c -＝＝ 则抛物线的解析式为y=16x 2-43x+2．故C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确） （2）如图①，抛物线对称轴l 是x=4． ∵Q （8，m ）在抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6， ∴AQ=22=210AK QK +．又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ+PB 的最小值=AQ=210． （3）如图②，连接EM 和CM ．由已知，得EM=OC=2．∵CE是⊙M的切线，∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．则OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴40 {2k bb+＝＝解得1 {22 kb-＝＝直线CM的解析式为y＝−12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，∴OE的解析式为y=−12x或y=0.5x．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为．（直接写出答案）【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）当x=32时，CD 最大=94；（3）x=±12或x=±2；（4）1．【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB 解析式，进而得出点D ，C 的坐标，即可得出CD 的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上，建立方程即可． 本题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴正半轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵A （3，0），B （0，3），∴直线AB 解析式为y=﹣x+3， ∵P （x ，0）．∴D （x ，﹣x+3），C （x ，﹣x 2+2x+3）， ∵0＜x ＜3，∴CD=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x=﹣（x ﹣32）2+94，当x=32时，CD 最大=94； （3）由（2）知，CD=|﹣x 2+3x|，DP=|﹣x+3|①当S △PDB =2S △CDB 时，∴PD=2CD ，即：2|﹣x 2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±12或x=3（舍），②当2S △PDB =S △CDB 时，∴2PD=CD ，即：|﹣x 2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍）， 即：综上所述，x=±12或x=±2； （4）直线AB 解析式为y=﹣x+3，∴线段AB 的垂直平分线l 的解析式为y=x ， ∵过点B ，C ，P 的外接圆恰好经过点A ，∴过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上， ∴2232x x x -++=，∴x=±3，故答案为3± 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线l ：4,x =且与x 轴交于点(2,0),A 与y 轴交于点C (0,2).（1）求抛物线的解析式；（2）试探究在此抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP CP +的值最小？若存在，求AP CP +的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB 为直径作⊙M ,过点C 作直线CE 与⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式． 【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：2y a x 4a 0k =-+≠（）（）∵抛物线经过(2,0)A 、C (0,2).∴24)204)2(0{(2a k a k --+=∴+= 解得：a=16，23k =-.∴212(4)63y x =--，即：214263y x x =-+. （2）存在.令0y =，得28120,x x -+=即(2)(6)0x x --=，122, 6.x x ∴== ∴抛物线与x 轴的另－交点(6,0)B .如本题图2，连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点.因为A B 、关于l 对称，则AP BP =,AP CP CB ∴+=,即AP CP +的最小值为BC . ∵6,2OB OC ==,226240210.BC ∴=+==AP CP ∴+的最小值为210；（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线,∴90ME CE CEM ，⊥∠=︒,由题意，得2.OC ME ODC MDE ==∠=∠， ∵在COD MED ∆∆与中,{COD MED ODC EDM OC EM∠=∠∠=∠=， ∴AAS COD MED ∆∆≌（）， OD DE DC DM ∴==，,设OD x =，则4CD DM OM OD x ==-=-, 则在Rt △COD 中，又222OD OC CD +=，∴2224(4)x x +=-,解得32x =，∴D （32，0） 设直线CE 的解析式为y mx b =+，∵直线CE 过C （0，2）、D （32，0）两点， ∴3{22m b b +==，解方程组得：4{32m b =-=. ∴直线CE 的解析式为y 423x =-+.【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为2y a x 4a 0k =-+≠（）（），将(2,0)A 、C (0,2)代入解析式，即可求出a ，k 的值，得出抛物线的解析式，令0y =，即可求出抛物线与x 轴另－交点(6,0)B ；（2）连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点. 则AP CP +的最小值为BC ，在Rt △OBC 中，根据勾股定理即可求出BC 的值；（3）连接ME ，根据已知条件可得COD MED ∆∆≌，根据全等三角形的对应边相等可得OD DE DC DM ==，，在Rt △COD 中，根据勾股定理求出OD ，即可得出D 点坐标，设直线CE 的解析式为y mx b =+，代入C ，D 两点坐标，即可解得直线CE 的解析式. 考点：二次函数的综合题.点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.11．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3-，0），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)求二次函数23y ax bx =++的表达式；(2)点D 是线段OB 上一动点，过点D 作y 轴的平行线，与BC 交于点E ，与抛物线交于点F ，连接CF ，探究是否存在点D 使得△CEF 为直角三角形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．y x．3∥OB关于抛物线对称轴直线x=）②当∠ECF =90°时，作FG ⊥y 轴于G ， 由OB =OC ，∠BOC =90°，可知∠BCO =45° ∵CF ⊥CB ， ∴∠FCG =45°，∴△CFG 是等腰直角三角形， 设CG =a ，则点F 坐标为(-a ,a +3)，代入223y x x =--+得：23()2()3a a a +=----+ 解得11a =，20a =（舍去） 点F （-1，4），此时点D 坐标为（-1，0）．综上所述：存在这样的点D ，点D 坐标为（-2，0）或（-1，0） （3）解：①当点P 在BC 上方时，过点P 作PG ⊥BC 于点G ，作PM ⊥x 轴，交BC 于点N ，过点P 作直线PH ∥BC ．则PNG 是等腰直角三角形，∵PG =2， ∴PN =2， ∵PM ⊥x 轴，∴直线PH 由直线BC 向上平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为5y x =+． 联立直线PH 和抛物线的解析式，得：2235y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩， 解得：14x y =-⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．∴点P 坐标为(-1，4)或(-2，3) ．②当点P 在BC 下方时，同理可得直线PH 由直线BC 向下平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为1y x =+．2231y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩， 解得：31721172x y ⎧-+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或31721172x y ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．∴点P 坐标为(31711722，-+-+)或(31711722----，)． 综上所述：点P 坐标为(-1，4)或(-2，3)或(31711722，-+-+)或(31711722----，)． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．12．已知二次函数的图象交x 轴于点A （3，0），B （－1，0），交y 轴于点C （0，－3），P 这抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标：(3)抛物线上是否存在点P ，使得以点P 为圆心，2为半径的圆既与x 轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P 的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程） 【答案】(1)223y x x =--(2)点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当∠P AC =90°时，当∠PCA =90°时，两种情况讨论求解即可；（3）由圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切，可得点P 的纵坐标为-2，由此求出点P 的坐标即可；过点P 作PE ⊥MN 于E ，由垂径定理可得MN =2ME ，利用勾股定理求出ME 即可得到答案．(1)解：设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把点C （0，-3）代入得，()()01033a +-=-，∴1a =，∴抛物线解析式为()()21323y x x x x =+-=--；(2)解：如图所示，当∠P AC =90°时，设P A 与y 轴交点为D ， ∵点A 坐标为（3，0），点C 坐标为（0，-3）， ∴OA =OC =3， ∵∠AOC =90°， ∴∠CAO =45°， ∴∠DAO =45°， ∴OA =OD =3，∴点D 的坐标为（0，3）， 设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为3y x =-+，联立2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得25x y =-⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点P 的坐标为（-2，5）；当∠PCA =90°，设直线PC 与x 轴的交点为E ， 同理可证∠ECO =45°，即OE =OC ， ∴点E 的坐标为（-3，0），同理可以求出直线PC 的解析式为3y x =--，联立2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得14x y =⎧⎨=-⎩或03x y =⎧⎨=-⎩（舍去），∴点P 的坐标为（1，-4），综上所述，点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--=--， ∴抛物线对称轴为直线1x =，∴点A 和点B 到抛物线的对称轴的距离都为2，∵圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切， ∴点P 的纵坐标为-2， 当2y =-时，2232x x --=-， 解得121212x x =-=+，，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，， 过点P 作PE ⊥ME 交抛物线对称轴于E ，∴1212PE =+-=或()112=2--，2MN ME =， ∴222ME MP PE =-=， ∴22MN =，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．13．如图，二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P 使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2144y x =-+(2)点D 的坐标为()2,2-(3)存在，点1P 的坐标为()8,12-，点2P 的坐标为()225,225----【分析】（1）由题意可知C 坐标，根据题意得到三角形AOC 为等腰直角三角形，确定出A 坐标，代入二次函数解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）由题意连接OD ，作DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，DF ∥x 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，由圆O 与直线AC 相切于点D ，得到OD 垂直于AC ，由OA =OC ，利用三线合一得到D 为AC 中点，进而求出DE 与DF 的长，确定出D 坐标即可；（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y =-x -4，与抛物线解析式联立求出P 坐标；经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y =x ，与抛物线解析式联立求出P 坐标即可． (1)解：∵二次函数24y ax =+的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为()0,4，∵二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A ，tan ∠OAC ＝1， ∴∠CAO ＝45°， ∴OA ＝OC ＝4， ∴点A 的坐标为()4,0-， ∴()2044a =-+，∴14a =-，∴二次函数的解析式为2144y x =-+；(2)连接OD ，作DE 轴，交x 轴于点E ，DF 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，∵⊙O 与直线AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ， ∵OA ＝OC ＝4， ∴点D 是AC 的中点，∴122DE OC ==，122DF OA ==，∴点D 的坐标为()2,2-； (3)直线OD 的解析式为y ＝－x ，如图2所示，则经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y ＝－x －4，解方程组24144y x y x =--⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24320x x --=，即()()840x x -+=， ∴18x =，24x =-（舍去）， ∴y ＝－12，∴点1P 的坐标为()8,12-；直线AC 的解析式为y ＝x ＋4， 则经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y ＝x ，解方程组2144y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 消去y ，得24160x x +-=，即225x =-+， ∴1225x =--，2225x =-+（舍去）， ∴225y =--，∴点2P 的坐标为()225,225----．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．14．如图，已知二次函数213442y x x =-++的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ；(1)求顶点D 的坐标； (2)求直线BC 的解析式；(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE ，CE ，求△BCE 面积的最大值； (4)以AB 为直径，M 为圆心作圆M ，试判断直线CD 与圆M 的位置关系，并说明理由 【答案】(1)25(3,)4(2)142y x =-+(3)16(4)直线与圆M 相交，理由见解析【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；（2）先解得(2,0),(8,0)A B -，(0,4)C ，再利用待定系数法，代入点B 、C 的坐标即可解答； （3）根据中点公式解得点M 的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM ，MD 的长，比较MD <CM ，得到直线与圆M 有两个交点，据此解答． (1)解：222213114612264=()4()445949(3)44y x x x x x x x --=-++-+=-+--+=+-即顶点D 的坐标25(3,)4； (2)由（1）知(0,4)C 令0y =得201(3)254=4x -+- 解得128,2x x ==-(2,0),(8,0)A B ∴-设直线BC 的解析式：y kx b =+，代入点B 、C480b k b =⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 142y x ∴=-+ (3)如图，设21(,)3442E x x x ++-（0<x <8），过点E 作EH x ⊥于H ， BCE BOC COBE S S S=-四边形 BHE BOC COHE SS S =+-梯形 1()1222EH CO OH BH EH BO CO +⋅=⋅+-⋅223432421(4)1114(8)()842422x x x x x x -+⋅=-⋅-+-++⨯+⨯+ 2=8x x -+2(4)16=x --+即当x =4时，△BCE 面积的最大值为16；(4)直线与圆M 的位置是相交，理由如下，如图，M 为BC 的中点，0804(,)22M ++∴ 即(4,2)M222225305(04)(42)25,(34)(2)44CM MD ∴=-+-==-+-= 32030532025,444=< MD MC ∴<∴直线CD 与圆M 有两个交点，即直线与圆M 的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ． （1）二次函数的表达式为 ；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）若点E 在二次函数的图象上，以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65，请直接写出点E 的坐标． 【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）点E 的坐标为3626,4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3626,4⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）首先通过BC 两点坐标，求出直线BC 的解析式，再根据三角形△ABM 是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M 点横坐标x 的方程，解之即可得到x 的值，进而得到M 点坐标；（3）利用面积法求出O 到直线BC 的距离，结合EF 的长度可知P 1为线段OC 中点，可得P 1的坐标，进而可得P 2坐标，结合直线BC 的表达式，可求出直线EP 的表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E 的坐标．【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得：3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴a ＝34-，b ＝94， ∴239344y x x =-++， 故二次函数表达式为：239344y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， ∴343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D ⊥AB ，∵A （﹣1，0），B （4，0），∴AD ＝12AB ＝52， ∴OD ＝32， 设M 1（x ，﹣34x ＋3）， ∴M 1（32，158）， ∵△ABM 为等腰三角形，∴AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3）， ∴BM 2＝()22113434x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝5， 解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，∴点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）； （3）过点E 作EP ∥BC ，交y 轴于点P ，这样的点有两个，分别记为P 1，P 2，如图所示：∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝22OB OC +＝5，∴点O 到直线BC 的距离为：125OB OC BC ⋅=， ∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65， ∴点E 到直线BC 的距离是65， ∴点P 1为线段OC 的中点，∴CP 1＝CP 2，∴P 2（0，92）， ∵直线BC 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋3， ∴直线EP 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋32或y ＝﹣34x ＋92， 联立直线EP 和抛物线的表达式方程组，得：2334239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩或2394239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩， 得1126364x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或2226364x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或33223234x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或44223234x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， ∴点E 的坐标为36264⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或36264⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．。
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中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线233y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。
⑴尝试探究：如图2，在⊙O 中，M N 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，点E 在MN 上，∠AEC =90°，AB =3，BD =8，BE ：DE =1:3，则CD = （试写出解答过程）。
⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A 、C 两点分别在直径MN 两侧，且AB ≠CD ，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°时，则线段AB 、CD 、BD 满足的数量关系为 。
⑶拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （m ，6），B （n ，1）两点（其中0＜m ＜3），且以y 轴为对称轴，且∠AOB =90°，①求mn 的值；②当S △AOB =10时，求抛物线的解析式。
6、如图，设抛物线2113424y x x =--交x 轴于A,B 两点，顶点为D ．以BA 为直径作半圆，圆心为M ，半圆交y 轴负半轴于C ．（1）求抛物线的对称轴；（2）将△ACB 绕圆心M 顺时针旋转180°，得到△APB ，如图．求点P 的坐标；（3）有一动点Q 在线段AB 上运动，△QCD 的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．7、如图1，已知抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （1,0），B （－3,0）两点，且与y 轴交于点C .(1) 求b ，c 的值。
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若不存在，请说明理由.(3) 如图2，点E 为线段BC 上一个动点（不与B ,C 重合），经过B 、E 、O 三点的圆与过点B 且垂直于BC 的直线交于点F ，当△OEF 面积取得最小值时，求点E 坐标．8、如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和⊙P 于E 、F 两点，交连结AC 、FC ．(1)求证：∠ACF=∠ADB;(2)若点A 到BD 的距离为m ，BF+CF=n ，求线段CD 的长；(3)当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，DE AO 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．9、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为25的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，且点C 在x轴的上方．（1）求圆心C的坐标；（2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.10、如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120°，已知圆的半径为1cm，并建立如图所示的直角坐标系．（1）求圆心M的坐标；（2）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；（3）点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为Rt△时，求点p的坐标。
11、如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC,OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．12、已知抛物线23y ax bx =++经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．13、已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交于C点，以原点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交x 轴于A，B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y＝x2－x－1上的一点，作PM⊥x轴于M点，求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标．14、点A（-1,0）B（4,0）C（0,2）是平面直角坐标系上的三点。
①如图1先过A、B、C作△ABC，然后在在轴上方作一个正方形D1E1F1G1, 使D1E1在AB上， F1、G1分别在BC、AC上②如图2先过A、B、C作圆⊙M，然后在轴上方作一个正方形D2E2F2G2, 使D2E2在轴上，F2、G2在圆上③如图3先过A、B、C作抛物线，然后在轴上方作一个正方形D3E3F3G3, 使D3E3在轴上， F3、G3在抛物线上请比较正方形D1E1F1G1 , 正方形D2E2F2G2 , 正方形D3E3F3G3的面积大小15、如图，已知经过坐标原点的⊙P 与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B （0，6），点C 是第一象限内⊙P 上一点，CB =CO ，抛物线2y ax bx =+经过点A 和点C ．（1）求⊙P 的半径；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D ，使得点A 、点B 、点C 和点D 构成矩形，若存在，直接写出符合条件的点D 的坐标；若不存在，试说明理由．16、已知：如图9-1，抛物线经过点O 、A 、B 三点，四边形OABC 是直角梯形，其中点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，BC ∥OA ，A （12，0）、B （4，8）．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）若D 为OA 的中点，动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t 秒．几秒钟后线段PD 将梯形OABC 的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P 点的坐标；（3）如图9-2，作△OBC 的外接圆O ′，点Q 是抛物线上点A 、B 之间的动点，连接OQ 交⊙O ′于点M ，交AB 于点N ．当∠BOQ=45°时，求线段MN 的长．17、如图, 已知抛物线21y 2x bx c =++与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）。
（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由。
18、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0，c ＜0）交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，设过点A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ．（1）如图1，已知点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D 的坐标；②若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b ，c 取何值，点D 均为顶点，求出该定点坐标．19、抛物线22y ax ax b =++与直线y=x+1交于A 、C 两点，与y 轴交于B ，AB ∥x 轴，且S △ABC =3（1）求抛物线的解析式。
（2）P 为x 轴负半轴上一点，以AP 、AC 为边作，是否存在P ，使得Q 点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）AD ⊥X 轴于D ，以OD 为直径作⊙M ，N 为⊙M 上一动点，（不与O 、D 重合），过N 作AN 的垂线交x 轴于R 点，DN 交Y 轴于点S ，当N 点运动时，线段OR 、OS 是否存在确定的数量关系？写出证明。
20、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数6y x =（x ＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ．（1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由；（2）求△AOB 的面积；（3）Q 是反比例函数6y x=（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ，连接AN 、MB ．求证：AN ∥MB ．备用图21、如图, 在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点p, PH ⊥OA,垂足为H, △PHO 的中线PM 与NH 交于点G ． （1）求证：2PGGM； （2）设PH=x,GP=y,求y 关于x 的函数解析式，并写自变量的取值范围； （3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长．22、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段O （ ）A ．OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ,求过（ ） A ． B ．E 三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.参考答案1、解：（1）过点C作CM⊥轴于点M，则点M为AB的中点．∵CA=2，CM=，∴AM==1．于是，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（2）将（1，0），（3，0）代入得，解得所以，此二次函数的解析式为．2、考点：二次函数综合题。