第十章 足球队排名问题(I)_竞赛图法
第十章 足球队排名问题(I)_竞赛图法
用s排名
1
0 1 1 0 1.4,
2
A 0 0
0 0
1 0
1
1
s (0.323,0.280,0.167,0.230)T
4
(4)
3 1
0 0 0
排名为{1，2，4，3}
{1, 2, 3, 4}?
0 1 0 1 1 1
0
0
0
1
1
1
0 1 0 1 0 0
A 0
0
0
0
1
1
0 0 1 0 0 1
(2) 计算得分向量 ai
, 二级得分向量
a(2) i
ai 以 Ti 为尾的边的数目
a(2) i
被 Ti 打败的球队的得分之和
(3) 完善邻接矩阵
如果 Ti 与 Tj 之间没有边连接, 比较 ai 与 a j
若 ai a j , 建立边 (Ti ,Tj )
若 ai a j , 建立边 (Tj ,Ti )
k , s(k) ?
双向连通竞赛图的名次排序 s(k) As(k1) Ake
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整 数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵
• 素阵A的最大特征根为正单根，
对应单位正特征向量s，且
lim
k
Ak e eT Ak e
s
k , s(k) (归一化后) s
表101p182给出我国12支球队在19881989年全国足球甲级联赛中的成绩要求1设计一个依据这些成绩排出诸名次的算法并给出用该算法排名次的结果2把算法推广到任意个队的情况3讨论数据应具备什麽样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次应用
10 足球队排名问题
竞赛排名问题
v5
1.5
v6
加权有向图G 加权有向图 2
定量模型
A 视为 W 的特例
冲量过程（Pulse Process) 冲量过程（
vi →v j
wij
研究由某元素v 研究由某元素 i变化引起的系统的演变过程 vi(t) ~ vi在时段 的值； pi(t) ~ vi在时段 的改变量 冲量 在时段t 在时段t 改变量(冲量 冲量)
排名次序为{1， ， ， ， ， 排名次序为 ，3， 2，5，4，6}
8.3 社会经济系统的冲量过程
例 能源利用系统的预测
v2 v1—能源利用量； v2—能源价格； 能源利用量； 能源价格； 能源利用量 能源价格 v3—能源生产率； v4—环境质量； v 能源生产率； 环境质量； 能源生产率 环境质量 3 v5—工业产值； v6—就业机会； 工业产值； 就业机会； 工业产值 就业机会 v7—人口总数。 人口总数。 人口总数
2 2
3个顶点 个顶点 的竞赛图 名次 4个顶点 个顶点 的竞赛图
4 1
1
(1)
3
1
(2)
3
{1，2，3} ， ，
1 1
{(1,2,3)}并列 并列
1
2 3
(1)
2 4
(2)
2 3 4
(3)
2 3 4 3
(4)
名次
{1, 2, 3, 4}
{2,(1,3,4)}
{(1,3,4), 2}
{(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}?
2 4
(4)
3
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
s ( 2 ) = As (1) = (3, 2,1, 2) T ~ 2级得分向量
模糊分析法解足球队排名问题-数学建模
模糊分析法解足球队排名问题摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。
首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。
本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。
关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名一问题分析根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。
例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。
这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。
因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。
表一接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。
列表如下：表二通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。
为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。
为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。
最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。
二模型假设1,基本假设1) 参赛各队存在客观的真实实力,这是任何一种排名算法的基础2) 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布,这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,3) 每场比赛对于排名的重要性相同，每个进失球对于排名也同样重要。
4) 确定各队的特征数据时，仅计算进失球的差数。
足球队排名
多种思路解决足球赛排名次问题摘要本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。
模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。
对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。
由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。
然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。
题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。
但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。
一．问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。
（2）符号X 表示两队未曾比赛。
（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二． 模型假设1. 比赛的结果真实可靠2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数3.三． 符号说明模型一：1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比2. ij m 为i T 与j T比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵4. A~表示辅助矩阵 模型二：1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,37. 1W 表示准则层对目标层的权重；8. 2W 表示方案层对准则层的权重；⎪⎩⎪⎨⎧==+≠≠=0a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；四． 模型建立与求解模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤=4,941,2k k k b ijij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0,120,02,1ij ij ij ijm m m c ij a =ij b +ij cji ij a a 1=若两队无成绩，则令0a ==ji ij aStep2:构造辅助矩阵A~ 令Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=WStep3：排序根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二：层次分析法层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。
10足球队排名问题
2) 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。
步2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层利润 利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的 各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心 目中，它们各占有一定的比例。
竞赛图法
完全图的定向图 G=(V,E) ---- 竞赛图
应用: 循环比赛的名次 • n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 • 根据比赛结果排出各队名次
例 6支球队比赛结果
1 2
6
3
方法1：寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径。 312456 146325 …… 无法排名
5 4
方法2：计算得分：1队胜4场，2, 3队各胜3场，4, 5 队各胜2场， 6队胜1场。 2, 3队， 4, 5队无法排名 3→2，4 →5 排名 132456 合理吗
s
(7)
s ( 6 ) = ( 9 ,8,5,8 ) T
(8 )
s = As
(k )
( k −1)
(k )
=Ae
k
= (13 ,13 ,8,9 ) , s
T
= ( 21,17 ,9,13 )
T
k → ∞, s
→?
""
双向连通竞赛图的名次排序
s = As
(k )
( k −1)
=Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵 • 素阵A的最大特征根为正单 根λ，对应正特征向量s，且
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时， 遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须 让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工 积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类 的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感 到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因 素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的 影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出 与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能 提出一组隐含矛盾的数据。
数学建模足球比赛论文
第十五组足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。
根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。
我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。
模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加3分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的排名。
模型二：根据比赛的数据，建立了一个1212⨯的数字矩阵1212ij )(a A ⨯=，在合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用C++编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。
模型三：用三分制计算对任意第i 队与第j 队（i 不等于j ）的得分比ij b ，其中ii b =1，得到比分矩阵1212)(⨯=ij b B ,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相应的特征向量。
比较分向量的大小，即可求出排名。
模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。
四个模型的运行结果如下的表所示：的条件是不一样的。
关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。
题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。
足球排名问题优秀论文
B题足球比赛的排名问题组号：14足球比赛的排名问题摘要本文讨论问题是足球比赛的排名方案。
本文求解这一问题用到的数学方法主要是是层次分析法。
文中利用层次分析法，根据题中给出的足球比赛成绩求出了足球比赛的排名顺序，并且运用矩阵论、图论等方面的知识验证了利用层次分析法进行足球比赛的排名是较为科学的。
本文考虑了比赛可能出现的两种情况：一种情况是偶然因素，某支球队侥幸获胜或发挥失常，导致比赛成绩不能反映各足球队的真实水平，或者是在比赛成绩中出现了一些相互矛盾的结果，另一种情况是比赛场次安排不够完全，即存在某几个球队之间的优劣无法比较的情况。
前者反映在层次分析法的一致性比率上，后者反映在所构造的图的连通性上。
最后我们应用建立的模型求出了题中所给的12支球队的排名情况，从左到右为第一名至第十二名：7 3 1 9 10 8 2 12 6 5 11 4。
此外，使用本文建立的数学模型的前提是数据必须是不可约的（即构造的判断矩阵是连通的），且数据必须满足层次分析法的一致性比率。
关键词：足球赛排名层次分析法矩阵图论一、问题重述按照题中要求，本文需要依据所给出的足球队比赛成绩给出反映球队真实实力的成绩排名。
这就需要建立一个数学模型，可以根据足球队的比赛成绩得到足球队的实力排名，而且这一模型应该有较好的健壮性。
应该满足以下几点要求：（1） 科学合理；（2） 保持一定的一致性；（3） 能够克服数据残缺；（4） 能够判断成绩表的可约性；（5） 结果具有稳定性。
要求（1）科学合理，即球队的成绩排名是从足球队比赛成绩中得来的，符合比赛结果。
要求（2）保持一定的一致性，即足球队比赛成绩可能存在偶然因素，或数据不完美，导致球队的成绩排名不精确，但是误差应该是在一个可以控制的范围。
要求（3） 能够克服数据残缺，即某两个球队之间并没有直接进行比赛，但是可以通过整体数据判断出两球队能力之别。
要求（4） 能够判断成绩表的可约性，不可约即不会出现有某些球队之间无法比较实力的现象。
足球赛排名
1
模拟题讨论
——足球排名问题
数学建模工作室 弓浩然
数学建模
Page 3
石墨和透明胶
数学建模
Page 4
石墨烯
数学建模
英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫
Page 5
正题呢？ 现在我们步入正题
问题重述
数学建模
足球赛的排名方案
附录中给出了我国12支足球队在
1988~1989年全国足球甲级联赛中的成绩，
Page 17
数学建模
若以pi表示Ti的总比赛场数，Gi表示Tj队的得 分能力，Qij表示Ti队与Tj队的交锋场次，则：
gi
n
Gj
j1, ji
Qij Pi
由g的定义可知，g描述了Ti对的交锋对手的 总实力，即g越大Ti的对手越强，g越小Ti的对 手实力越弱。因此可以用g作为Ti队的得分能 力Gi的修正系数。
Page 21
ThankYOU!
22
Page 18
数学建模
所以修正值=得分能力×修正系数，即
Gi' Gi gi (i 1,2,...,n)
当几支球队得分能力G相同的时候，不同的 修正系数就决定了G',从而决定了球队最终名 次。与强队交锋的队名次靠前，因此比较合 理。
Page 19
结果分析
数学建模
根据题目给出的数据，用模型二求解所得实力 排序为：
Page 15
模型评价
数学建模
从结果上看基本合理，但是假设依然 存在与实际存在差别。比如T6只参加了 5场比赛，还有T4的对手平均能力为 1.07，而T12的对手平均得分能力为 0.83。所以两队总积分对T4很不公平。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 计算得分向量 ai
, 二级得分向量
a(2) i
ai 以 Ti 为尾的边的数目
a(2) i
被 Ti 打败的球队的得分之和
(3) 完善邻接矩阵
如果 Ti 与 Tj 之间没有边连接, 比较 ai 与 a j
若 ai a j , 建立边 (Ti ,Tj )
若 ai a j , 建立边 (Tj ,Ti )
0 0 1 0 0 0
6支球队比赛结果
1
2
6
3
s(1) (4,3,3,2,2,1)T ,
5
4
s(2) (8,5,9,3,4,3)T
s(3) (15,10,16,7,12,9)T , s(4) (38,28,32,21,25,16)T
2.232, s (0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)T
用s排名
1
0 1 1 0 1.4,
2
A 0 0
0 0
1 0
1
1
s (0.323,0.280,0.167,0.230)T
4
(4)
3 1
0 0 0
排名为{1，2，4，3}
{1, 2, 3, 4}?
0 1 0 1 1 1 00 Nhomakorabea0
1
1
1
0 1 0 1 0 0
A 0
0
0
0
1
1
0 0 1 0 0 1
完全图的定向图 G=(V,E) ---- 竞赛图
应用: 循环比赛的名次
• n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 • 根据比赛结果排出各队名次
例 6支球队比赛结果
1
2
6
方法1：顺箭头方向寻找通过 全部顶点的一条路径。
312456 146325 …… 无法排名 5
3 4
方法2：计算得分：1队胜4场，2, 3队各胜3场，4, 5 队各胜2场， 6队胜1场。 2, 3队， 4, 5队无法排名
s(2) As(1) (3,2,1,2)T ~ 2级得分向量
s(3) (3,3,2,3)T , s(4) (5,5,3,3)T s(k) As(k1) Ake
s(5) (8,6,3,5)T , s(6) (9,8,5,8)T
s(7) (13,13,8,9)T , s(8) (21,17,9,13)T
{1, 2, 3, 4}?
1
1
1
1
2
2
2
2
4
34
34
34
3
(1)
(2)
(3)
(4)
竞赛图的 3种形式
• 具有唯一的完全路径，如(1)； • 双向连通图——任一对顶点存在两条有 向路径相互连通，如(4)； • 其他，如(2)， (3) 。
竞赛图 的性质
• 必存在完全路径； • 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。
一个分解成三个双向连通子图的例子 1
2
4
3
5
8
7
6
足球队排名的竞赛图方法：
(1) 根据建边情况建立矩阵 A (aij )
a ii 0 while i j, if with edge (Ti ,Tj ), let aij 1, a ji 0
if without edge (Ti ,Tj ), let aij , a jinone
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序
1
邻接矩阵
aij
1, viv j E
0,
vv i
j
E
4
0
得分向量 s (s1, s2 , , sn )T
s Ae, e (1,1, ,1)T
A 0 0
s(1) Ae (2,2,1,1)T ~ 1级得分向量1
2
3
(4)
1 1 0
0
1
1
0 0 1
0 0 0
排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
一般竞赛图排名问题的算法：
当竞赛图既没有唯一完全路径，又不是双向连通 图时，通常可以 将它分解为若干个双向连通的子竞 赛图（只有一个顶点的 图可视为双向连通竞赛图的 特例）；
每个双向连通子图内的名次按其极限得分向量排名；
双向连通子图间的名次则由连接它们的边的方向决定.
若 ai a j , 比较
a(2) 与 i
a(2) j
(4) 根据邻接矩阵得到竞赛图
k , s(k) ?
双向连通竞赛图的名次排序 s(k) As(k1) Ake
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整 数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵
• 素阵A的最大特征根为正单根，
对应单位正特征向量s，且
lim
k
Ak e eT Ak e
s
k , s(k) (归一化后) s
32，4 5
排名 132456 合理吗
循环比赛的结果——竞赛图 每对顶点间都有边相连的有向图
3个顶点 的竞赛图
名次
2
1
3
(1)
{1，2，3}
2
1
3
(2)
{(1,2,3)}并列
1
1
1
1
4个顶点
2
2
2
2
的竞赛图 4
34
(1)
34
(2)
34
(3)
3
(4)
名次 {1, 2, 3, 4} {2,(1,3,4)} {(1,3,4), 2} {(1,2),(3,4)}
10 足球队排名问题
表10-1(P_182) 给出我国12支球队在1988-1989 年全国足球甲级联赛中的成绩,要求
(1)设计一个依据这些成绩排出诸名次的算法,并给 出用该算法排名次的结果
(2)把算法推广到任意个队的情况 (3)讨论数据应具备什麽样的条件,用你的方法才能 够排出诸队的名次
1) 竞赛图法