2018年高考数学试题分类汇编之立体几何

一、选择题

1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）。

（A ）1

（B ）2 （C ）3

（D ）4

2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

（A ）1 （B ）2 （C ）3

（D ）4

3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是

俯视图

正视图

211

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π

B ．12π

C ．82π

D ．10π

5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．

C ．3

D ．2

6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8

B ．62

C ．82

D ．83

7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为

A ．172

B ．52

C ．3

D ．2

8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方

体所得截面面积的最大值为

A ．33

B ．

C ．

D ．

9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正

切

值

为

A ．22

B ．

C ．

D ．

7 10．（全国卷二理）（9）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1

DB 所成角的余弦值为 A ．15

B ．

5 C ．

D ．

2 11．（全国卷三文）（3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

12．（全国卷三文）（12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角

形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123

B ．183

C ．243

D ．313．（全国卷三理）（3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

14．（全国卷三理）（10）设A B C D ，，

，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为 A ．123

B ．183

C ．243

D ．543

二、填空题

1．（江苏）（10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．

2．（天津文）（11）如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．

3．（天津理）(11) 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心

分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .

4．（全国卷二文）（16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30?，

若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

5．（全国卷二理）（16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为

，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题

1.（北京文）（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.

（Ⅰ）求证：PE ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面P AB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：EF ∥平面PCD .

2.（北京理）（16）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，

AB=BC =5，AC =1AA =2．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角B-CD -C 1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．

3.（江苏）（15）（本小题满分14分）

在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）

11AB A B C

平面∥；（2）

111ABB A A BC ⊥平面平面．

4.（浙江）（19）（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面

ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；

（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．

5.（天津文）（17）（本小题满分13分）

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

6.（天津理）(17)(本小题满分13分)

如图，AD BC

∥且CD=2FG，

∥且EG=AD，CD FG

∥且AD=2BC，AD CD

⊥,EG AD

⊥平面，DA=DC=DG=2.

DG ABCD

∥平面；

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN CDE

（II）求二面角E BC F

--的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

7.（全国卷一文）（18）（12分）

如图，在平行四边形ABCM中，3

AB AC

==，90

ACM=?

∠，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB DA

⊥．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P在线段BC上，且

BP DQ DA

==，求三棱锥Q ABP

-的体积．

8.（全国卷一理）（18）（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为,

AD BC的中点，以DF为折痕把DFC

△折起，使点C到达点P的位置，且PF BF

⊥.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

9.（全国卷二文）（19）（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2

2AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．

10.（全国卷二理）（20）（12分）

如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．

O C

11.（全国卷三文）（19）（12分）

如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．

12.（全国卷三理）（19）（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M ABC

体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．