《数学分析下册》期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）

1、已

知u =则u x

∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则L

xdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L

（x +y ）= 。 4、改变累次积分32dy f dx ⎰⎰3

y （x ，y ）的次序为 。 5、设1D x y +≤：

，则1)D

dxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）

点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( )

2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。

( )

3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则

必有 0000(,)(,)x y y x f x y f x y =。

( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。

( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ）

在D 上可积。( )

三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、 用格林公式计算曲线积分

(sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =

-+-⎰ ，

其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分

22()V x

y dxdydz +⎰⎰⎰，

是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

、计算第一型曲面积分

S

I d S =⎰⎰ ，

其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。

4、 计算第二型曲面积分

22()()S I y x z dydz x dzdx y xz dxdy =-+++⎰⎰，

其中S 是立方体[][][]0,0,0,V b b b =⨯⨯的外表面。

5、设{}222(,)D x y x y R =+≤. 求以圆域D 为底，以曲面22()x y z e -+=为顶的曲顶柱体的体积。 四、证明题(每小题7分，共14分) 1、验证曲线积分 222(2)(2)(2)L x y z d x y x z d y z x y d z -+-+-⎰， 与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,,)u x y z 。

2、证明：若函数f （x ，y ）

在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得

(,)(,)D D f x y d f S σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。

参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、22x x y +；22y x y +；2222

x y dx dy x y x y +++。

2、22a π；

3、54π ；

4、322(,)X

dx f x y dy ⎰⎰ ；5、1)。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

1、×；

2、○；

3、×；

4、× ；

5、○ .

三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、 解：补上线段:0,0OA y x a =≤≤ 与弧22:(0)AO x y ax y +=≥构成封闭曲线，由格林公式，有

(sin 3)(cos 3)(sin 3)(cos 3)x x x x OA OA AO I e y y dx e y dy e y y dx e y dy +=

-+---+-⎰⎰

----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =

220:(0)cos (cos 3)0a

x x D x y ax y e y e y dxdy dx +≤≥⎡⎤---⎣⎦⎰⎰⎰-----------------------------8分 =2338

D dxdy a π=

⎰⎰--------------------------------------------------------------------9分 2、 解：作柱面坐标变换：cos ,sin ,x r y r z z θθ===，

则(,,)J r z r θ= 且

2:4,02,02V V r z r θπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分 222222

4300()683293

V

V r x y dxdydz

r rdrd dz d r dr dz πθθπ'

∴+=⋅--------------------=

--------------------=-------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分

分分

3

、解：22S Z R a =∈≤-22：x ，y ）D ：x +y .