离散数学习题二参考答案

离散数学习题二参考答案
第二节 容斥原理和抽屉原理
1.从1到500中,有多少数能被3或5整除？只能被3或5整除的数又有多少个 解：设A=“3的倍数”；B=“5的倍数”，则能被3或5整除的个数 N 233]5
3500[]5500[]3500[||||||||=⨯-+=-+==AB B A B A ； 只能被3或5整除的数： M 200]5
3500[2]5500[]3500[||2||||||=⨯-+=-+==AB B A B A 2.(1)一个班级有50名学生，第一次考试有26名得A 等，第二次考试有21名得A ，若两次考试中都没有得A 的有17名，那么两次都得A 的有多少名？
(2)若50名在两次考试中得A 的人数相同，两次中恰有一次得A 的为40名，两次中都没得A 的有4名，那么仅在第一次得A 的有多少名。

解：设A=“第一次考试得A 等”，B=“第二次考试得A 等”，则
(1)|A|=26，|B|=21，17||=⋅B A ，由||50|||| B A B A B A -==， 所以两次都得A 的人数：N=|AB|=50-26-21+17=14（人）
(2)由题意得：40||||||||=-+-AB B AB A ，又||||B A =，所以
20||||=-AB A ，即仅在第一次中得A 的人数M=20||||=-AB A 。

3.在1到3000的整数中，不能被3，5，7中任何一个数整除的有多少个？又有多少个数能被3整除，但不能被5和7整除？
解：设A=“3的倍数”；B=“5的倍数”，C=“7的倍数”，
则不能被3，5，7中任何一个数整除的个数： N=||||||||||||||||||ABC BC AC AB C B A S C B A -+++---=
1371]7532000[]752000[]732000[]532000[]72000[]52000[]32000[2000=⨯⨯-⨯+⨯+⨯+---=(个 能被3整除，但不能被5和7整除的个数M=
686]7
532000[]732000[]532000[]32000[||||||||||=⨯⨯+⨯-⨯-=+--=-ABC AC AB A C B A 4.分母是1986的最简真分数共有多少个？
解：1986=2×3×331，设A=“1986内2的倍数”；B=“1986内3的倍数”；C= “1986内331的倍数”，则
|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AB|-|BC|+|ABC|=
1325]331
321985[]33131985[]33121985[]321985[]3311985[]31985[]21985[=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++= 所以，分母是1986的最简真分数的个数N=1985-1325=660（个）。

5.50名同学中，爱好美术的占总数的3/5，爱好音乐的比爱好美术的多3名，音乐和美术都不爱好的人数比两项都爱好的人数的1/3还多1名，问对两项都
爱好的同学有多少名？
解：设A=“爱好美术的人”；B=“爱好音乐的人”，则305350||=⨯
=A （人）， |B|=|A|+3=33（人），1||3
1||+=AB B A ，又||||||||||AB B A S B A +--=，所以， 50-30-33+|AB|-1=|AB|/3，|AB|=21
答：两项都爱好的同学有21名。

6.证明：在任意m 个相继的整数中，存在一个整数能被m 整除。

证明：任意m 个相继的整数任取两个整数它们的差一定小于m,即差一定不是m 的倍数.(反证)倘若这m 个相继的整数中不存在一个整数是m 的倍数,那么由抽屉原理一定存在两个整数它们对于除以m 的余数相同,它们的差一定是m 的倍数,与前的结论矛盾.
7.证明对于任意的整数n ，都存在着n 的一个倍数S n ，S n 中只含数字0和7。

证明：设n k a k k ,,3,2,1777.0
==，个
， （1）若存在一个k,使k a 是n 的倍数，则命题成立，
（2）若不存在这样的k ，由抽屉原理在这n 个数k a 中，一定存在两个i a 和j a ，它们除以n 的余数相同，那么i a -j a =
个
个j i j =000777.0一定是n 的倍数。

9.把一个圆周分为36段，将36个数字1，2，3，4，…，36，任意地标在每段上，使每一段恰有一个数字,证明一定在相邻的三段，它们的数字的和至少是56。

证明：设k a 表示第k 段上的数字，k=1，2，3，…，36。

并66637362
13621=⨯⨯=+++a a a ， 再设34,,3,2,1,12 =++=++i a a a b i i i i ，,1363535a a a b ++=,213636a a a b ++=则 19986663)(336213621=⨯=+++=+++a a a b b b
显然36个数k b 的和是1998，一定有一个数大于或等于1998÷36=55.5，即 一定在相邻的三段，它们的数字的和至少是56。

10.证明：在任意选取n+1个整数中，存在两个整数，它们的差能被n 整除。

证明：这n+1个数除以n 后的余数只有n 种情况，有抽屉原理可知，一定有两个数除以n 后的余数是相同的，这两书的差就一定是n 的倍数，即它们的差能被n 整除
11.证明：一个有理数的十进位小数展开式，自某一位后变为周期的循环。

证明：一个有理数一定可以写成分数形式Z m n n m n n
m ∈>=,,0,1),(, 任取一个数，除以n 后的余数一定是唯一的，并只有n 种，所以当m 除以n 时，余数在若干次数后一定重复，这是商也就重复了，即自某一位后变为周期的循环。

12.一个人步行了十小时，共走了45公里，已知他第一小时走6公里，而最后
一小时只走3公里，证明一定存在相邻的两小时内至少走了9公里。

（提示：把相邻两小时走的总路程看成盒子）
证明：设k a 表示第k 分钟走的路程，k=1,2,3,4,5,6,7,8,9，10. 3,6101==a a 并451021=+++a a a ，所以，36364592=--=++a a
再设9,8,7,6,5,4,3,2,1,1=+=+i a a b i i i ，则
8136236)(236932921=⨯++=+++++=+++a a a b b b
显然9个数k b 的和是81，一定有一个数大于或等于9，即一定存在相邻的两小时内至少走了9公里。

13.从整数1，2，3，…，200中，任意选取101个数，证明在这101个整数中，存在两个整数，使得一个能被另一个整除。

（提示：把整数写成2n a 的形式，其中a 是奇数，把a 看成盒子）
证明：任取一个200以内的整数n 一定能写成2n a 的形式，其中a 是奇数。

如
果两数的a 相等，则两数一定成倍数关系。

由于200以内只有100个奇数，所以任意取出101个整数，必有两个数有相同的a ，即这两数一定成倍数关系。

14.设有一个N 个正整数序列，其中恰含n 个不同的正整数，证明若N ≥2n ，则在这序列中存在着连续的一段，其中个数的乘积是一个完全平方数。

例如在含3，7，5的序列3，7，5，3，7，3，5，7中，7，5，3，7，3，5一段中，7×5×3×7×3×5=（7×3×5）2。

解：设A 为n 个给定的不同正整数所成的集合，即A=},,,{21n a a a ，任取一个有N 个数的序列 π：N c c c c ,,,,321 ，其中i c 表示A 中任一个元素j a ，再令
},,,,{,},,,{},,{},{321321321211N N c c c c b c c c b c c b c b ====是N 个序列， C=},,,,{321N b b b b ，|C|=N ，（相当与N 个苹果）
再设一集合B=}21|),,,,{(321或取i n d d d d d ，所以|B|=n 2（相当于n 2个抽屉） 建立一个从C 到B 的一个对应：i b 中如1a 有奇数个，则1d 取1，否则1d 取2，同样i b 中如
2a 有奇数个，则2d 取1，否则2d 取2，…，
（相当于把C 中元素（苹果）放到B 的元素（抽屉）中），由于|C|=N ||2B n =>，由抽屉原理一定存在两个i b ，j b ，（i ＜j ）
它们对应的),,,,(321n d d d d 是一样的，这说明这两个序列对于A 中元素的个数的奇偶性是一致的，把j b 序列减去i b 的序列得到的序列一定是π序列的一部分，这部分序列中的数都属于A 中元素，并每个A 中元素的个数都是偶数个，即它们的积一定是一个完全平方数。