2011年高考模拟试题(三)数学(理科)
数学_2011年山东省某校高考数学三模试卷(理科)_(含答案)
2011年山东省某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M ＝{1, 3, 5, 7}，N ＝{5, 6, 7}，则∁U (M ∪N)＝（ ）A {5, 7}B {2, 4}C {2, 4, 8}D {1, 3, 5, 6, 7}2. 在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3+a 11=6，那么S 9=( )A 2B 8；C 18D 363. 已知a ，b ，l 是不同的直线α，β是不重合的平面，有下理命题：①若a ⊥β，α⊥β，则a // α；②若a // α，a ⊥b ，则b ⊥α③若a // b ，l ⊥α，则l ⊥b ；④α⊥γ，β⊥γ则α // β以上命题正确的个数是（ ）A 1B 2C 3D 44. 设ω>0，函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A 23B 43C 32D 3 5. 设a =log 54，b =(log 53)2，c =log 45，则( )A a <c <bB b <c <aC a <b <cD b <a <c6. 设p:x 2−x −20>0，q:1−x 2|x|−2<0，则p 是q 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7. ∫(π2−π21+cosx)dx 等于（ ）A πB 2C π−2D π+28. 某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A 30种B 35种C 42种D 48种9. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点△ABF 2是正三角形，那么双曲线的离心率为（ ）A 2B √2C 3D √310. 已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p →=(−sinA,1)q →=(1,cosB)，则p →与q →的夹角是（ ）A 锐角B 钝角C 直角D 不确定11. 设x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥08x −y −4≤0x ≥0,y ≥0，若目标函数z =abx +y(a >0, b >0)的最大值为8，则a +b 的最小值为（ ）A 2B 4C 6D 812. 下列关于函数f(x)=(2x −x 2)e x 的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x|0<x <2}；②f(−√2)是极小值，f(√2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A ①③B ①②③C ②D ①②二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 抛物线y=2x2的准线方程是________．14. 已知(x32+x−13)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是________．（以数字作答）15. 在△ABC中，A=120∘，b=1，面积为√3，则a+b+csinA+sinB+sinC=________．16. 函数y=f(x)定义在R上单调递减且f(0)≠0，对任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，集合A={(x, y)|f(x2)⋅f(y2)>f(1)}，B={(x, y)|f(ax−y+2)=1, a∈R}，若A∩B=φ，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，满分74分）17. 设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f(C3)=−14，且C为非钝角，求sinA．18. 已知各项均为正数的数列{a n}满足2a n+12+3a n+1⋅a n−2a n2=0，n为正整数，且a3+ 132是a2，a4的等差中项，（1）求数列{a n}通项公式；（2）若C n=−log12a na n⋅T n=C1+C2+⋯+C n求使T n+n⋅2n+1>125成立的正整数n的最小值．19. 甲、乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3．现从中任选三条网线，设可通过的信息量为ξ．若可通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量ξ的分布列和数学期望．20. 在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF // AC，AB=√2，EF=EC=1，（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；（2）求二面角A−BF−E的大小．21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0, −1)，且其右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k(k≠0)，且过定点Q(0,32)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. 设f(x)=ax+xlnx，g(x)=x3−x2−3．（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x2∈[0, 2]，使得g(x1)−g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的s,t∈[12，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．2011年山东省某校高考数学三模试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. C5. D6. A7. D8. A9. D10. B11. B12. D13. y=−1814. 3515. 2√716. −√3≤a≤√317. 解：（1）f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=cos2xcosπ3−sin2xsinπ3+1−cos2x2=12−√32sin2x∴ 函数f(x)的最大值为1+√32，最小正周期π．（2）f(C3)=12−√32sin2C3=−14，∴ sin2C3=√32，∵ C为三角形内角，∴ 2C3=π3，∴ C=π2，∴ sinA=cosB=13．18. 解：（1）根据题意可得：2a n+12+3a n+1⋅a n −2a n 2=0，所以(a n+1+2a n )(2a n+1−a n )=0，因为数列{a n }各项均为正数，所以a n+1=12a n ，所以数列{a n }是等比数列，并且公比为12． 因为a 3+132是a 2，a 4的等差中项，所以a 2+a 4=2a 3+116，即a 1q +a 1q 3=2a 1q 2+116，解得：a 1=12． 所以数列{a n }通项公式为a n =(12)n ． （2）由（1）可得C n =−n ⋅2n ，所以T n =−2−2×22−3×23−...−n ×2n …①，所以2T n =−22−2×23−3×24...−(n −1)2n −n ×2n+1…②所以①-②并且整理可得：T n =(1−n)⋅2n−1−2．所以要使T n +n ⋅2n+1>125成立，只要使2n+1−2>125成立，即2n+1>127， 所以n ≥6，所以使T n +n ⋅2n+1>125成立的正整数n 的最小值为6．19. 解：（1）∵ 通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．∴ 线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到 P(ξ=8)=C 22C 31C 73=335， P(ξ=7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(ξ=6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，∴ 线路信息通畅的概率为P =335+835+1335=2435．（2）线路可通过的信息量ξ，ξ的所有可能取值为4，5，6，7，8．P(ξ=5)=C 22C 21+C 32C 21C 73=835， P(ξ=4)=C 22C 31C 73=335． P(ξ=8)=C 22C 31C 73=335， P(ξ=7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(ξ=6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，∴ ξ的分布列为∴ Eξ=4×335+5×835+6×1335+7×835+8×335=6． 20. 解：（1）∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， EC ⊥AC ，∴ EC ⊥平面ABCD ； 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，是A(√2,√2,0) B(0,√2，0)，D(√2,0,0)，E(0,0,1)，F(√22,√22,1)， ∴ EF →=(√22,√22,0)，BE →=(0,−√2,1)，DE →=(−√2,0,1)设平面BEF 、平面DEF 的法向量分别为m →=(x 1,y,1)，n →=(x 2,y 2,1)，则m →⋅EF →=√22x 1+√22y 1=0①m →⋅BE →=−√2y 1+1=0②n →⋅EF →=√22x 2+√22y 2=0③n →⋅DE →=−√2x 2+1=0④由①②③④解得x 1=−√22，y 1=√22；x 2=√22，y 2=−√22， ∴ m →=(−√22,√22,1)，n →=(√22,−√22,1) ∴ m →⋅n →=−12−12+1=0，∴ m →⊥n →，故平面BEF ⊥平面DEF（2）设平面ABF 的法向量p →=(x 1,y 1,1)，∵ BF =(√22，−√22，1)，BA →=(√2,0,0) ∴ p →⋅BF →=√22x 3−√22y 3+1=0，p →⋅BA →=√2x 3=0，解得x 3=0，y 3=√2 ∴ p →=(0,√2,1)∴ cos <m →，p →>=|m →|⋅|p →|˙=2√2⋅√3=√63由图知，二面角A −BF −E 的平面角是钝角，故所求二面角的大小为：π−arccos√63． 21. 解：（1）设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)，由已知得b =1．设右焦点为(c, 0)，由题意得√2√2=3，∴ c =√2，∴ a 2=b 2+c 2=3．∴ 椭圆的方程为x 23+y 2=1．（2）直线l 的方程y =kx +32，代入椭圆方程，得 (1+3k 2)x 2+9kx +154=0．由△=81k 2−15(1+3k 2)>0得k 2>512，设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−9k1+3k 2，设M 、N 的中点为P ，则点P 的坐标为(−9k 2+6k 2，32+6k 2)．∵ |BM|=|BN|，∴ 点B 在线段MN 的中垂线上． k BP =−1k =32+6k 2+1−9k2+6k 2，化简，得k 2=23． ∵ 23>512，∴ k =±√63， 所以，存在直线l 满足题意，直线l 的方程为√63x −y +32=0或√63x +y −32=0．22. 解：（1）当a =2时，f(x)=2x +xlnx ，f′(x)=−2x 2+lnx +1，f(1)=2，f ′(1)=−1，所以曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为y =−x +3；（2）存在x 1，x 2∈[0, 2]，使得g(x 1)−g(x 2)≥M 成立 等价于：[g(x 1)−g(x 2)]max ≥M ，考察g(x)=x 3−x 2−3，g′(x)=3x 2−2x =3x(x −23)，由上表可知：g(x)min =g(23)=−8527，g(x)max =g(2)=1，[g(x 1)−g(x 2)]max =g(x)max −g(x)min =11227，所以满足条件的最大整数M =4； （3）当x ∈[12，2]时，f(x)=ax +xlnx ≥1恒成立 等价于a ≥x −x 2lnx 恒成立，记ℎ(x)=x −x 2lnx ，ℎ′(x)=1−2xlnx −x ，ℎ′(1)=0．记m(x)=1−2xlnx−x，m′(x)=−3−2lnx，，2]，m′(x)=−3−2lnx<0，由于x∈[12，2]上递减，所以m(x)=ℎ′(x)=1−2xlnx−x在[12，1)时, ℎ′(x)>0, x∈(1, 2]时，ℎ′(x)<0，当x∈[12，1)上递增, 在区间(1, 2]上递减，即函数ℎ(x)=x−x2lnx在区间[12所以ℎ(x)max=ℎ(1)=1，所以a≥1．。
2011年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数、又在(0,)+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的 侧视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
2011年广东省高考理科数学模拟试题(三)答案
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D1.选B.提示：1,0,11==∴=-+b a i ii. 2.选A.提示：[]()3,2:,3,5:q p -. 3.选A.提示：4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S . 4.选C.提示：3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据. 5.选C.提示：l 与m 可能异面.6.选A.提示：362323=⨯A A .7.选B.21sin ,23432cos ,2=-=-===θθ. 8.选D.提示： 21444421=⨯⨯⨯=P .二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．9．15- 10．2911．16)5(22=-+y x 12．2 13．41 14．1- 15．8π9.15-.提示：31535)(x C C --.10.29.提示：29)2(S 302⎰=--=dx x x x 面积.11.16)5(22=-+y x .提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4 12.2提示：2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f . 13.41 .提示：351,62=-==a t a . 14.1-.提示：化为普通方程求解.15.8π.提示：22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ，连接.三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系.余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（Ⅰ）221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+=-+ …………2分 ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分（Ⅱ）()f x a b =⋅2(2cos (1,sin 2)x x =⋅22cos 2x x =cos212x x =+2sin(2)16x π=++ ……………6分 31)62sin(2)(=++=πC C f∴1)62s i n (=+πC ………………7分C 是三角形内角， ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C …………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a …………………10分 将32=ab 可得：71222=+aa 解之得：432或=a ， ∴23或=a所以当a =2b =；当2a =，b =b a > ∴2=a ，3=b ． …………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图.随机变量的分布列.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识） 解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.010.05)5]4012+⨯⨯=（件）．………… 4分（2）Y 的可能取值为0，1，2． ………… 5分22824063(0)130C P Y C ===．11281224056(1)130C C P Y C ===． 21224011(2)130C P Y C ===．………… 8分 Y 的分布列为 ………… 9分（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3．令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则(5,0.3)B ξ，故所求概率为：2235(2)(0.3)(0.7)0.3087P C ξ===．………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系.空间距离.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）解：(1) 证明：连结OC ，,,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ………… 1分,BO DO BC CD==，CO BD ⊥． ……… 2分 在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO = …………3分而2AC =， ∴222,AO CO AC += ……… 4分∴90,oAOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………… 6分(2) 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(,22C A E(1,0,1),(1,BA CD =-=-∴2cos ,4BA CD BA CD BA CD⋅<>==⋅，…………… 9分CE∴ 异面直线AB 与CD所成角余弦的大小为4．…… 10分 (3) 解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，∴00x z z +=⎧⎪-=， 令1,y =得(3,1n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(,22EC =-∴点E 到平面ACD 的距离377EC n h n⋅===．……… 14分 (3) （法二）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=， ∴1133ACD CDE h S AO S ∆∆⋅=⋅⋅ …………………………12分在ACD ∆中，2,CA CD AD ===∴12ACD S ∆==, 而1AO =，2122CDE S ∆==．∴1CDEACDAO S h S ∆∆⋅===∴点E 到平面ACD …………… 14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆.椭圆等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当2e =时， ∵1a =，∴c =∴22231144b a c =-=-=，b =12， 点1(0,)2B,(F ，(1,0)C …………………… 2分 设P 的方程为222()()x m y n r -+-=，由P 过点F,B,C 得∴2221()2m n r +-= ①222(m n r ++= ②222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分由①②③联立解得：24m =，14n -=，254r = (7)∴所求的P 的方程为225((4x y +=………………… 8分 （2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上， 也在BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为12cx -=④ ………… 9分∵BC 的中点为1(,)22b，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=- ⑤ ……… 10分 由④⑤得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== …………………… 11分 ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-= ∵ 10b +> ∴b c =，由221b c =- 得212b =…………………… 13分 ∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当||2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）------------------------------------2分 当||2x ≥时，由//a b . 得23xy x =-- --------------------------------------4分∴ 323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或---------------------5分（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0, 解得(1,0)(0,1)x ∈-，----------------6分当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1） -------------9分 （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥ 即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x≥- 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>-- ∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分又2(2)234f --==-，2(2)234f ==-- 当2x ≤-时2()03xf x x =>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a …………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ……………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①－②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………6分1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………7分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =.那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ，∵01>+k a ，k ≥2， ∴0)1(1>-++k a k ，∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）.显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ……………………9分 证法二：猜想：n a n =， ……………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； ……………………………5分 2）假设当k n =时，k a k =. …………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k)1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………9分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ， 只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，…………10分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分∵0>x ，0>y ，且1=+y x ， ∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立， 所以原不等式成立. ………………………14分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+n nx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+⋅+n ny ≤2121+++n ny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. ……………………12分①+②， 得（++1nx 1+ny ）12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当21==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分 ∵ab b a b a 2)(2++=+， b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2，……………………………11分∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ， 即得：11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ， 当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分。
陕西咸阳市2011届高考模拟(三)数学(理)试题
陕西咸阳市2011届高考模拟（三）数学（理）试题参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差球的表面积公式(n s x x =++-24S R π=其中x 为样本平均数 其中R 表示球的半径 如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V=343R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n p k C p p -=-（k =0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则()R A B ∩ð= ( )A. {}|11x x -≤≤B. {}|11x x -≤<C. φD. {}|1x x = 2．若复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为非纯虚数，则实数m 不可能．．．为 ( ) A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果过曲线234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那么点P 的坐标为 ( ) A ．()1,0B ．()0,1-C ．()0,1D ．()1,0-4．将函数sin 2cos2y x x =+的图像向左平移π个单位长度，所得图像的解析式是 ( )A ．cos 2sin 2y x x =+B ．cos 2sin 2y x x =-C ．sin 2cos 2y x x =-D ．cos sin y x x =5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 12 D. 166． 如右图，在一个长为π，宽为2的矩形O A B C 内，曲线()sin 0y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 ( ) A ．1πB .2πC.3πD.4π7．执行如右图所示的程序框图，若输出的n =5，则输入整数p 的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．168．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9．已知双曲线12222=-bx a x 的左焦点为F ，()()b B a A ,0,0,，当AB FB ⊥时，则该双曲线的离心率e 等于 ( )A.215+ B.11 10.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过*()k k ∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.对下列4个函数： ①()cos()2f x x π=--；②1()()3x f x =；③2()log f x x =-；④()2()235f x x π=-+. 其中是一阶格点函数的有( ) A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上.)11．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论： . .12．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是 腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球 的表面积．．．为 . 13．已知企业生产汽车甲种配件每万件要用A 原料3吨，B 原料2吨；乙种配件每万件要用A 原料1吨，B 原料3吨；甲配件每件可获利5元，乙配件每件可获利3元，现有A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，利用现有原料该企业可获得的最大利润是 .14． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC ∆的面积等于 ．15．(考生注意：请在下列二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.)A.（不等式选讲选做题）不等式112≤++x x 的实数解集为_________． B.（坐标系与参数方程选讲选做题）若ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为________________.O主视图左视图俯视图三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>>≤在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3.(I)求()f x 的解析式；(II)求()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.17.（本小题满分12分）设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和， 3242-+=n n n a a S ．（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）n n n n n b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AE DB,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为4（I ）在线段DC上存在一点F ，使得EF DBC ⊥面，试确定F 的位置；（II ）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．(本小题满分12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815；（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率2e =，且其中一个焦点与抛物线214yx =的焦点重合．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x ax =+-（Ⅰ）当3=a 时，求()x f 的单调增区间；（Ⅱ）若()x f 在(0,1)上是增函数，求a 得取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设()()31,2≤≤-+=x a x x x g ，求函数()x g 的最小值.A A陕西咸阳市2011届高考模拟（三）数学（理）试题参考答案11.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 12.π3 13. 27万 14.3215. A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x B. 10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos402-=θρ三、解答题：16. 解：(I)∵在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3. ∴21,2,2362T A b πππ===-=，,2T πω== ，()()sin 22f x x ϕ=++，……3分 由当23x π=时，y 最大值3得()44sin 1,2332k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭526k πϕπ=-，∵ϕπ≤，∴56ϕπ=-()5sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………6分(II) ∵3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴75132666x πππ≤-≤ …………8分 ∴当32x π=时，()f x 取最大值32 ； …………10分当76x π=时，()f x 取最小值1. …………12分17. 解：（I ）当n = 1时，21111113,424a S a a ==+-又0>n a 解得a 1 = 3．当n≥2时，()()32)32(4444121211-+--+=-=-=----n n n n n n n n n a a a a S S S S a .1212224---+-=∴n n n n n a a aa a ， …………3分∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ．2011=-∴>+--n n n n a a a a （2≥n ）， }{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列． 12)1(23+=-+=∴n n a n ． …………6分 （II ）123252(21)2n n T n =⨯+⨯+++⋅．① 又因为21232(21)2(21)2n n n T n n +=⨯++-⋅++②②－① 13212)12()222(223++++++-⨯-=n nn n T …………9分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ． 所以 22)12(1+⋅-=+n n n T ． …………12分18． 解：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得D BC G ⊥,所以A BDE CG 面⊥，所以s i n 4CG CDG CD ∠==故CD= 2DB =………3分 取CD 的中点为F，BC 的中点为H,因为1//2FH BD =，1//2AE BD =，所以AEFH 为平行四边形，得//EF AH ，…………………5分AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 为CD 中点，EF DBC ⊥面…6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(1,3,0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而BE =(2,0,1)，EC =(1)--，(2,0,1)DE =-。
2011年高考广东数学(理科)模拟试题
Ａ
Ｂ 号
ｃ ．
Ｄ ．
６ 已 知 函 数 ｇ ＝ ． （ ２，且 有 ｇｎ ６＝ ，若 ａ ０且 ） （ ）２ （ ＞ ｂ０ ＞ ，则 的 最 大 值 为 （
４ ～
第 二部 分 非选择 题 （ １ ０分） 共 ０
二 、填 空 题 ： （ 大 题 共 ６小 题 ， 其 中 １ — ４ 本 １ １ 题 为必做题 ． ５ １ １ 、 ６题 为 选 做 题 ，任 选 一 题 完 成 ． 每
Ｉ已知集合 Ａ 卜１ ， Ｂ－ｘｌ ｘ ｌ，若 Ａｎ ． ＝ ，Ⅱ －｛ ０ ＜ ０ ｝， ＜ Ｊ
日≠Ｄ，则 实 数 ａ的取 值 范 围是 （
Ａ．（ ，） 一 ０ Ｂ （ ，） ．０１
）
Ｄ １ ＊） ．（ ， ＋
Ａ．
Ｃ １ ．｛｝
２ 若 （ ＋ ａ）＝ — ｉ ． １２ ／ｉｌ ｂ，其 中 ０ 、ｂ∈Ｒ，ｉ 虚 数 单 是
Ｄ．２ ｙ＝ ｘ￣ ０
１． ０ 已知 凸函数的性质定理 ：若函数ｆ ｘ 在 区间 “ （）
Ｄ 上 是 凸 函 数 ，则 对 于 区 问 Ｄ 内 的 任 意 ： ， … ，
有： ［ｘ） Ｌ ｆ （
，
） ． ｆｘ） ＋． （ 】 ・
，
） ”苦 函
俯 视 图
数 ｙ ｓ ｘ 区 间 （，）上 是 凸 函数 ，则在 ＆Ａ Ｃ中 ， ＝ｉ 在 ｎ ０ｒ ７ Ｂ
２ １ 年高考广东数学 （ ０１ 理科 ）模拟试题
■刘会 金 陈 兴 旺
本 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 ， 满 分 １ Ｏ分 ． ５ 考 试 用 时 间 １ Ｏ分 钟 ． ２
②若 Ｏ外一条直线 ｚ Ｏ内一条直线平行 ， ｌ ｔ ｔ 与 ｔ 则 ／； Ｉ ｏ （＞ 设 ｎｆ ｌ ｌ ，若 内有一条直线垂 直于 ｌ ｊ ＝ ， ＿ 卢；
陕西省咸阳市2011年高考模拟考试数学试题(理科)
2011年咸阳市高考模拟考试试题（一）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：样本数据：123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的标准差s =其中x 为样本平均数如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,3,)k k n kn n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅球的面积公式24S R π=其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域内(黑色线框)作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.5. 做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{|21,},{|x A y y x R B x y ==-∈==则A BA. [1,1]-B. (1,1]-C. (1,1)-D. (,)-∞+∞ 2. 已知复数1(z i i =-是虚数单位)，则21z -等于A. 2iB. 2i -C. 2-D. 2 3. 将函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是 A. 32sin(2)4y x π=++B. 2sin(2)4y x π=+-C. 2sin 2y x =+D. 2cos 2y x =+4. 抛物线22y x =的准线方程为A. 1y =-B. 12y =- C. 14y =-D. 18y =-5. 如图1是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是 A.103π B. 4πC. 6πD. 12π6. 样本容量为100的频率分布直方图如图2所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[2,10)内的频率为a ，则a 是A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 7. 已知正三角形ABC 的边长为1，且,,BC a C A b ==则A. 3B.C.D. 18. 如图3所示的程序框图，其输出结果是 A. 341 B. 1364 C. 1365 D. 13669. 已知函数2()1f x a x =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2010S 的值为A. 20102011B. 10052011C. 40204021D.2010402110. 已知方程：220x ax b ++= (,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内。
数学_2011年上海市某校高考数学三模试卷(理科)_(含答案)
2011年上海市某校高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（每题4分，共56分） 1. 若集合A ={x||x −2|<3}，集合B ={x|x−3x>0}，则A ∩B =________．2. 若sin(π+α)=13，α∈(−π2，0)，则tanα=________． 3. 若|020z3i i −i01+i|=4i −2（i 为虚数单位），则复数z =________． 4. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6, 10)内的频数为________．5. 若函数f(x)的反函数是f −1(x)=log 2(x −1)，则f(12)=________．6. (√x 3√x)15二项展开式中，第________项是常数项． 7. 已知y 是1+x 和1−x 的等比中项，则x +y 的取值范围是________．8. 在五一节期间，甲外出旅游的概率是15，乙外出旅游的概率是14，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则五一期间两人中至少有一人外出旅游的概率是________．9. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为________cm ． 10. 在极坐标系中，定点A(1,π2)，动点B 在曲线ρ=2cosθ上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为________．11. 已知f(x)=x 13x ∈[−1, 8]，g(x)=asinxsin(x −π3)，x ∈[0,π2]．若对任意x 1∈[−1, 8]，总存在x 2∈[0,π2]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________． 12. 已知AB 是椭圆x 24+y 23=1的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P n−1，设左焦点为F 1，则lim n →∞1n (|F 1A|+|F 1P 1|+⋯+|F 1P n−1|+|F 1B|)=________．13. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为两点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)之间的“折线距离”．则圆x 2+y 2=1上一点与直线2x +y −2√5=0上一点的“折线距离”的最小值是________．二、选择题：（每题4分，共16分）15. 若函数f(x)=2x−1−a 有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A (−∞, 0] B [0, +∞) C (−∞, 0) D (0, +∞)16. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A 求数列{1n }的前10项和(n ∈N ∗) B 求数列{12n }的前10项和(n ∈N ∗) C 求数列{1n }的前11项和(n ∈N ∗) D 求数列{12n }的前11项和(n ∈N ∗)17. 在△ABC 中，“AB →⋅AC →=BA →⋅BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件18. 已知关于x 的方程a →x 2+b →x +c →=0→，其中a →、b →、c →都是非零向量，且a →、b →不共线，则该方程的解的情况是（ ）A 至多有一个解B 至少有一个解C 至多有两个解D 可能有无数个解三、解答题：（12+14+16+18+18=78分）19. 已知虚数z 1=cosα+isinα，z 2=cosβ+isinβ， （1）若|z 1−z 2|=25√5，求cos(α−β)的值；（2）若z 1，z 2是方程3x 2−2x +c =0的两个根，求实数c 的值．20.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1=AC =BC =2，∠ACB =90∘，P 是AA 1的中点，Q 是AB 的中点． （1）求证：PQ ⊥平面B 1CQ ；（2）求平面B 1CQ 和平面A 1C 1Q 所成锐二面角的大小．21. 某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润f(x)={1(1≤x ≤20,x ∈N ∗)110x(21≤x ≤60,x ∈N ∗)（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率g(x)=第x 个月的利润第x 个月前的资金总和，例如：g(3)=f(3)81+f(1)+f(2)．（1）求g(10)；（2）求第x 个月的当月利润率g(x)；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率． 22. 已知抛物线y 2=2px(p >0)和四个点A 、B 、C 、D ，其中A 在抛物线上，B(b, 0)，C(0, c)(c ≠0)，且直线AC 交X 轴于D 点（1）若p =2，b =−8，且D 为AC 中点，求证：AC ⊥BC（2）若p =2，b =1，且AC ⊥BC ，判断A ，C ，D 三点的位置关系，并说明理由． （3）对（1）（2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件： ①AC ⊥BC ； ②点A 、C 、D 的位置关系； ③点B 的坐标．对抛物线y 2=2px(p >0)，请以其中的两个条件做前提，一个做结论，写出三个真命题，（不必证明）．23. 已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1−a n 其中n =1，2，3，…． （1）若b n =n 且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n+1b n−1=b n (n ≥2)，且b 1=1，b 2=2时 ①求数列{b n }的前6n 项和；②判断数列{an n }中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出a 1满足的条件，若不存在，并说明理由．2011年上海市某校高考数学三模试卷（理科）答案1. (−1, 0)∪(3, 5)2. −√243. −2i4. 645. 1+√26. 77. [−√2，√2] 8. 0.4 9. 25310. √2−√2 11. a ≥4或a ≤−2 12. 2 13. (0, 8) 14. √5215. D 16. B 17. C 18. A19. 解（1）∵ z 1−z 2=(cosα−cosβ)+i(sinα−sinβ)，… ∵ |z 1−z 2|=25√5，∴ √(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2√55，… ∴ cos(α−β)=2−452=35．…（2）由题意可知cosα=cosβ，sinα=−sinβ … 且z 1⋅z 2=c3=cos 2α+sin 2α=1…∴ c =3，经检验满足题意． …20. 解：（1）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系． …由题意可知C(0, 0, 0)，P(2, 0, 1)，Q(1, 1, 0)，B 1(0, 2, 2)，… 则PQ →=(−1,1,−1)，CQ →=(1,1,0)，B 1Q →=(1,−1,−2)又因为PQ →⋅CQ →=0，，PQ →⋅B 1Q →=0，∴ PQ ⊥CQ ，PQ ⊥B 1Q ，…∴ PQ ⊥平面B 1CQ … （2）由题意可知C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)， 设平面A 1C 1Q 的一个法向量为n →=(x,y,z)则由{n →⋅C 1Q →=0˙⇒{x =0x +y =2z，∴ 平面A 1C 1Q 的一个法向量n →可以是(0, 1, 2)…又由（1）可知PQ →=(−1,1,−1)是平面B 1CQ 的一个法向量．… 设平面B 1CQ 和平面A 1C 1Q 所成锐二面角为α，则cosα=||PQ →||n →|˙|=√1515， ∴ 平面B 1CQ 和平面A 1C 1Q 所成锐二面角的大小为arccosα=arccos√1515… 21. 解：（1）由题意得：f(1)=f(2)=f(3)=...=f(9)=f(10)=1g(x)=f(10)81+f(1)+⋯+f(9)=181+1+⋯+1=190．（2）当1≤x≤20时，f(1)=f(2)=f(x−1)=f(x)=1∴ g(x)=f(x)81+f(1)+⋯+f(x−1)=181+1+⋯+1=181+(x−1)=1x+80．当21≤x≤60时，g(x)=f(x)81+f(1)+⋯+f(20)+f(21)+⋯+f(x−1)=110x81+1+⋯+1+f(21)+⋯f(x−1)=110x81+20+2110+⋯+x−110=110x101+12(2110+x−110)(x−21)=110x101+(x−21)(x+20)20=2xx2−x+1600∴ 当第x个月的当月利润率g(x)={1x+80(1≤x≤20,x∈N∗) 2xx2−x+1600(21≤x≤60,x∈N∗)；（3）当1≤x≤20时，g(x)=1x+80是减函数，此时g(x)的最大值为g(1)=181当21≤x≤60时，g(x)=2xx2−x+1600=2x+1600x−1≤22√1600−1=279当且仅当x=1600x时，即x=40时，g(x)max=279，又∵ 279>181，∴ 当x=40时，g(x)max=279所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为279．22. 解：（1）由题意可设A(y024，y0)，B(−8,0)，…D为AC中点，∴ D(y028，0)，C(0,−y0)…又∵ AC →⋅BC →=(−y 024,−2y 0)⋅(8,−y 0)=0∴ AC ⊥BC…（2）由题意可设A(y 024，y 0)，B(1,0)，C(0,c)，…∵ AC ⊥BC ，∴ AC →⋅BC →=0⇒(−y 024,c −y 0)⋅(−1,c)=0⇒y 024+c 2−cy 0=0⇒(c −y 02)2=0即c =y 02，C 是A ，D 的中点．…（3）真命题共有8种情况：每个①②⇒③共3种情况：(I)若AC ⊥BC ，C 为A ，D 的中点，则B(p2，0)(II)若AC ⊥BC ，D 为A ，C 中点，则B(−4p, 0) (III)若AC ⊥BC ，A 是C ，D 中点，则B(−4p, 0) ①③⇒②共2种情况：(I)若AC ⊥BC ，B(p2，0)，则C 为A ，D 的中点(II)若AC ⊥BC ，B(−4p, 0)，则D 为A ，C 中点或A 是C ，D 中点 ②③⇒①共3种情况：(I)若C 为A ，D 的中点，B(p2，0)，则AC ⊥BC(II)若D 为A ，C 中点，B(−4p, 0)，则AC ⊥BC (III)若A 是C ，D 中点，B(−4p, 0)，则AC ⊥BC 23. 解：（1）当n ≥2时，有a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=a 1+b 1+b 2+...+b n−1 (1)(n−1)×n2=n 22−n2+1．…又因为a 1=1也满足上式，所以数列{a n }的通项为a n =n 22−n2+1．…(2−①)解：因为b n+1b n−1=b n (n ≥2)， 所以，对任意的n ∈N ∗有b n+6=b n+5b n+4=1bn+3=bn+1b n+2=b n ，即数列{b n }各项的值重复出现，周期为6．…又数列{b n }的前6项分别为1,2,2,1,12，12，且这六个数的和为7．设数列{b n }的前n 项和为S n ，则，S 6n =7n ； … ②解：设c n =a 6n+i (n ≥0)，（其中i 为常数且i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}），所以c n+1−c n =a 6n+6+i −a 6n+i =b 6n+i +b 6n+i+1+b 6n+i+2+b 6n+i+3+b 6n+i+4+b 6n+i+5=7(n ≥0) 所以数列{a 6n+i }均为以7为公差的等差数列．… 设f k =a 6k+i 6k+i=a i +7k i+6k=76(i+6k)+a i −7i 6i+6k=76+a i −7i6i+6k ，（其中n =6k +i(k ≥0)，i 为{1, 2, 3, 4, 5, 6}中的一个常数），当a i =7i6时，对任意的n =6k +i 有a n n=76； …当a i ≠7i6时，f k+1−f k =a i −7i 66(k+1)+i −a i −7i 66k+i =(a i −7i 6)(16(k+1)+i −16k+i ) =(a i −7i 6)(−6[6(k +1)+i](6k +i)) (I)若a i >7i6，则对任意的k ∈N 有f k+1<f k ，所以数列{a6k+i6k+i }为单调减数列；(II)若a i <7i6，则对任意的k ∈N 有f k+1>f k ，所以数列{a 6k+i 6k+i}为单调增数列；综上：设集合B ={76}∪{43}∪{12}∪{−13}∪{−16}∪{12}={76，43，12，−13，−16}，当a 1∈B 时，数列{an n }中必有某数重复出现无数次．当a 1∉B 时，{a 6k+i 6k+i }(i =1, 2, 3, 4, 5, 6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{an n }中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…。
2011年广东省高考理科数学模拟试题(三)
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b =A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 A ．4B ．41 C ．－4D ．－144．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =A ．2B 3C ．3D ．3或3-5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种 7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=A ．2C ．D ．48．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为A ．14 B ． 58 C ．38 D ．12二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分30分．9．52)1)(1(x x -+展开式中x 3的系数为_________．10．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________．11．以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________．12．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则=_________．13．已知3444815=，…若=（,a t 均为正实数），则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ．▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．15．(几何证明选讲选做题）点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数()f x a b =⋅，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．17．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC2,CA CB CD BD AB AD ======(1) 求证：AO ⊥平面BCD ；(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小； (3) 求点E 到平面ACD 的距离． 19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率2e =，求P 的方程； （2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20．（本小题满分14分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间； （3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明； （Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ， 证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .CE。
2011年高考数学模拟试题(全国卷)答案解析
（） ２建设者 背 负建 筑 材材 料 ， 在海 拔 ３０ ６０ 多米高 的葱岭 工地上 沿 陡峭 山路 行进 ， 战生 挑 命 的极 限 ， 紧张而有 序 。
１ ． 原缺 氧 、 单 原 始 用 来 衬 托 （ ６高 简 烘 托） 工作 环境 的异 常艰 苦 恶劣 ， 歌 了葱 岭 水 讴 利工程 建设者 的牺牲 与奉 献 。
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９ 数 （的 像 于 （３０ ． 函 厂 ）图 关 点一 ， Ｄ ｚ ）
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６ ｃ 由题 意 得 ： ． ｃ ２・
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厩 留凰
蕴， 为下 文描 写水利建 设者 的贡献 做铺 垫 。
１ ． １润 色和美 化葱 岭 ， ５ （） 数千 年来 一直 是 我们先 人 的理 想 和 愿 望 ， 只有 到 了今 天 ， 开 才 始变为 现实 。 或“ 大力帮 助”
１．名著 是文 学天 空 中璀 璨 的 星辰 ， 聚 ９ 凝
着作 家智 慧 的光 芒 ； 著是 岁月 长河 中 晶莹 的 名
水滴 ， 折射 着 时代 动 人 的 光彩 ； 著是 知 识 海 名 洋 中明亮 的航标 ， 引领 着我 们到达 彼岸 。名 著 让 我们睿 智 ， 著 让 我 们 豁达 ， 著 让 我 们 高 名 名 尚 。小溪 文学社 “ 与 名著 ” 我 主题 报 告 会 正 式
不但献出了青春和健康 ， 还将贡献子孙 （ 边疆 建设 后继 有人 ） 。
2011年全国高考理科数学仿真模拟题(北京卷)
１ ．设集合 Ａ一 ｛ ｌ １ １ｚ—ｎ ＜１ ． ｌ ， ∈Ｒ）Ｂ一｛ ｉｘ－ｂ ＞ ２ ｚ∈Ｒ） 若 Ａ Ｂ， 实数 口 ｂ ｚ ， ｚ － １ ， １ ． 则 ，
必满足（ ） ． Ａ Ｉ ＋ｂ ≤ ３ ａ ｌ ；
化
Ｂ Ｉ ＋． ＞ ３ ｎ ６ｔ ； ｌ
１ ．若 ２ ＆ ＋６ － Ｃ） ｎ ，一２ ４ （ ｚ ２ ２ 一３ ６ ｃ ，则 ｓ ２ ＋ Ｂ ｉ ｎ Ａ
下
一
— —
，
ＡＡＢ Ｃ面积 的最 大值 为
．
— —
１ ・对 正整 数 ， 曲线 —ｚ （ 一ｚ 在 ｚ＝２处 的切 线 与 轴 交点 的纵 坐标 为 口 ， 数列 ｛ ５ 设 １ ） ＝ ＝ 则
） 前 项 和 是 的
１ ．从装 有 ， １ ６ ｚ 个球 （ 中 个 白球 ， ＋ 其 １个黑 球 ） １袋 中取 出 ｍ 个 球 （ ＜ ≤ ， ｎ 的： ３ Ｏ ｍ， ＥＮ＋ ， 有 Ｃ 种取 法 ． ）共 在这 Ｃ ％ ｎ 种取 法 中 ， 以分成 ２ ： 类是 取 出 的 ｍ 个球 全 部为 白球 ； 二类 是取 出 一 １ 白球 ， 黑球 ， 可 类 一 第 个 １个 共 有 Ｃ Ｃ ＋Ｃ Ｃ＝ ＝Ｃ ， ２ ｝： ｌ 即有 等 式 ： ＋ Ｃ 一 Ｃ 成 立． 根 据 上 述 思 想 化 简 下 列 式 子 ： Ｃ ｍ １ Ｃ 试 Ｃ ＋ ＋ １ 一
【ｏ ｙ ， ≥
取 值 范 围是 （ ） ．
Ａ ［ 一 ， ］ ；
Ｂ ［ ，－ －３ ３１ ；
Ｃ ［ 一 ，］ ３；
Ｄ ［ ， ］ －３
二 、 空题 （ 填 每小题 ５ ， ２ 分． 分 共 ０ ）
．
１已复 ｚ 竺专 共复， 乏 ３ 知数一 ， 的轭数 — ． 是 则 ——．
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2011年高考数学（理科）模拟试题（三）一、选择题：（每小题5分，共40分）1．若集合},,,,|{},4,3,0{b a A b A a b a x x B A ≠∈∈⋅===则B 的子集的个数为（ B ）A ．2B ．4C ．6D ．82．设复数),(),,(,)1(212b a P R b a bi a i iz 那么点∈+=+-=在（ C ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ A ）A ．15B ．30C ．31D ．644．已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时， )(x f 的图象如图所示，那么不等式0)(<x xf 的解集为 (C )A ．)3,1()0,1( -B ．)1,0()1,3( --C ．)1,0()0,1( -D ．)3,1()1,3( --5.对任意实数x,不等式3sin 4cos 0x x c -+>恒成立， 则c 的取值范围是（C ）A.[B. (C. (5,)+∞D. (,5)-∞-6．已知K 为实数，若双曲线1||2522=-+-k y k x 的焦距与K 的取值无关，则k 的取值范围为（ A ）A ．]0,2(-B ．)2,0()0,2(⋃-C ．)2,0[D ．]2,0()0,1[⋃-7.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 （ C ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．508．若函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，x ∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x =±1处的切线的斜率为－1，有以下命题：（1）f (x )的解析式为：f (x )=x 3－4x ，x ∈[-2，2] （2）f (x )的极值点有且仅有一个 （3）f (x )的最大值与最小值之和等于零其中假命题个数为（B ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题:（每小题5分，共30分） 9．已知n xx )21(3-展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为321 10.奇函数1)(23=++=x cx bx ax x f 在处取得极值，则c b a ++3的值为 0 ;11.已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 ; （21>a ） 12.半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：（34πR 3）`＝4πR 2; ②式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.13.在R 上定义运算⊗：()1x y x y ⊗=-，若不等式()()11x a x -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围 22<<-a .14．地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数.① f (x )=p ²qx;② f (x )=px 2+qx +1;③ f (x )=x (x -q )2+p .（以上三式中p 、q 均为常数，且q ＞1，x =0表示4月1日，x =1表示5月1日，依次类推）. （1）为准确研究其价格走势，应选______种价格模拟函数.（3）（2）若f (0)=4，f (2)=6，预测该果品在_______月份内价格下跌.（5月、6月） 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（12分）设函数))(2sin 3,(cos ),1,cos 2(,)(R x x x b x a b a x f ∈==⋅=其中向量 （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期;（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，c b c b a A f >=+==,3,3,2)( 求b ，c 的长.解（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+= 12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx∴π=T（Ⅱ）f (A ) = 2， 即3,21)62sin(ππ==+A Abc c b A bc c b a -+=-+=22222cos 2∴b 2 + c 2－bc = 3 ① 又b 2 + c 2 + 2bc = 9 ② ②－① bc = 2③ b + c = 3 ④ b > c⑤ 解③④⑤得⎩⎨⎧==12c b16．（12分）有A ，B ，C ，D 四个城市，它们都有一个著名的旅游点依此记为a ，b ，c ，d把A,B,Ｃ,Ｄ和a,b,c,d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分； （1）求该爱好者得分的分布列； （2）求所得分的数学期望？ 解.设答对题的个数为y ，得分为ξ y=0，1，2，4 ∴ξ=0，2，4，82461)4(2482)2(2499)0(4424441444=⨯====⨯======A C P A C P A P ξξξ 2411)8(44====A P ξ 则ξ的分布列为（2）E ξ=2248244242240=⨯+⨯+⨯+⨯答：该人得分的期望为2分17.（14分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD（I ）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（II ）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （III ）求直线AB 与平面PCD 的距离．法一、（I ）证明：在矩形ABCD 中，BC ⊥AB 又∵面PAB ⊥底面ABCD 侧面PAB ∩底面ABCD=AB ∴BC ⊥侧面PAB 又∵BC ⊂侧面PBC ∴侧面PAB ⊥侧面PBC ）（II ）解：取AB中点E ，连结PE 、CE 又∵△PAB 是等边三角形 ∴PE ⊥AB 又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角332322=+===BC BE CE BA PE在Rt △PEC 中，∠PCE=45°为所求 （Ⅲ）解：在矩形ABCD 中，AB//CD ∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB//侧面PCD 取CD 中点F ，连E F 、P F ，则E F ⊥AB 又∵PE ⊥AB ∴AB ⊥平面PE F 又∵AB//CD ∴CD ⊥平面PE F ∴平面PCD ⊥平面PE F 作EG ⊥P F ，垂足为G ，则EC ⊥平面PCD在Rt △PE F 中，EG=530=⋅PF EC PE 为所求. 法二、（坐标法 略） 18. （14分）设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和，且4321412-+=n n n a a S ， （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）n n n n n b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值 解（Ⅰ）n = 1时，,43214112111-+==a a s a 解出a 1 = 3 又4s n = a n 2 + 2a n －3①4s n －1 = 21-n a + 2a n －3 (n ≥2)②①－② 4a n = a n 2－21-n a + 2a n －2a n －1 即0)(21212=+----n n n n a a a a∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a2011=-∴>+--n n n n a a a a （2≥n ） }{n a 数列∴是以3为首项，2为公差之等差数列 12)1(23+=-+=∴n n a n（Ⅱ）02)12(252321+⋅+++⨯+⨯=nn n T ③又122)12(2)12(2302+++⋅-++⨯+=n nn n n T④ ④－③ 13212)12()222(223++++++-⨯-=n nn n T112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n22)12(1+-=+n n ∴22)12(1+⋅-=+n n n T19. （14分）已知两点A （－2，0），B （2，0），动点P 在y 轴上的射影是H ，且.22PH PB PA =⋅ （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程（6分）（Ⅱ）已知过点B 的直线l 交曲线C 于x 轴下方不同的两点M ，N ，求直线l 的斜率的取值范围（6分）解（Ⅰ）设),,2(),,2(),,(y x PB y x PA y x P --=---=则 4),0,(22=--=x y x PH 由已知得（Ⅱ）（1）若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x = 2，它与曲线C 在x 轴下方的部分只有一个交点)22,2(-（2）若直线l 的斜率为0，则直线l 是x 轴，它与曲线C 无交点，所以，以上两种情形与题设不符.（3）设直线l 之方程为y = k (x －2) (k ≠0)联立⎩⎨⎧=--=4)2(22x y x k y 消去x 得084)1(222==--k ky y k 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则M ，N 在x 轴下方⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->---≠-⇔0180140)8)(1(416012222222k k k k k k k k解出)1,22(,122∈∴<<k k20．(14分)已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意的21,x x 都满足)()()(2121x f x f x x f +=+，当0<x 时，0)(<x f . （1）判断并证明)(x f 的单调性和奇偶性（2）是否存在这样的实数m ，当]2,0[πθ∈时，使不等式0)23(]cos sin 4)cos )(sin 2(2[sin >+++-++-m f m f θθθθθ对所有θ恒成立，如存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）令x x x x f y x -=====21,,0)0(,0令有 有,0)0()()()(==-=+-f x x f x f x f 即)(),()(x f x f x f 故-=-为奇函数在R 上任取0,2121<-<x x x x 则，由题意知0)(21<-x x f 则0)()()()()(212121<-=-+=-x f x f x f x f x x f 故)(x f 是增函数（2）要使0)23(]cos sin 4)cos )(sin 2(2[sin >+++-++-m f m f θθθθθ只须)23()23(]cos sin 4)cos )(sin 2(2[sin m f m f m f --=+->+-++-θθθθθ又由)(x f 为单调增函数有m m 23cos sin 4)cos )(sin 2(2sin -->+-++-θθθθθ令]2,1[)4sin(2],2,0[,12sin ,cos sin 2∈+=∴∈-=+=πθπθθθθt t t 则原命题等价于]2,1[0234)2(12∈>++-+--t m tt m t 对恒成立 tt t t t t t m t t t m t 22)2(2)2(,242)2(2+=--+->-+->-∴即 令]2,1[)(,2)(在t g tt t g +=上为减函数，3>∴m 时，原命题成立.。