2017-2018学年山西省吕梁市孝义市九年级上学期期中数学试卷与解析

2017-2018学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入题后括号内1．（3分）抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，1） C．（1，0） D．（﹣1，0）2．（3分）如果x=﹣1是方程x2﹣x+k=0的解，那么常数k的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣23．（3分）已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，﹣4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定4．（3分）小明在解方程x2﹣4x﹣15=0时，他是这样求解的：移项得x2﹣4x=15，两边同时加4得x2﹣4x+4=19，∴（x﹣2）2=19，∴x﹣2=±，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣，这种解方程的方法称为（）A．待定系数法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．6．（3分）已知抛物线y=﹣2x2+x经过A（﹣1，y1）和B（3，y2）两点，那么下列关系式一定正确的是（）A．0＜y2＜y1B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y2＜0＜y17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB=110°，则∠AED 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．（3分）若关于x的方程4kx2﹣12x﹣9=0有实数根，则实数k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c10．（3分）如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD=5cm，=，则PQ的长为（）A．2cm B．cm C．3cm D．cm二、填空题（本大题共个5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，1）关于原点对称的点是．12．（3分）方程x（x+1）=0的解是．13．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠A=67.5°，弦AB=4cm，则CD=cm．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的部分对应值如下表：则当x=﹣2时，y的值为．15．（3分）如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH ⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A的坐标为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应下厨文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）解方程：x（x+5）=5x+25（2）已知点（5，0）在抛物线y=﹣x2+（k+1）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．17．（6分）如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．（1）请你写出旋转中心的坐标是．（2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．19．（7分）已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x 1=1，x2=﹣2．（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．20．（12分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．21．（7分）如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．（1）求证：OD为△ABC的中位线；（2）若AC=6cm，求点O到DE的距离．22．（12分）综合与探究问题情境：（1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E 分别共线，则FH和FG的数量关系是，位置关系是．合作探究：（2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．23．（14分）综合与实践：如图，二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于点B，点C（点B在点C的左边），与y轴交于点A，连接AC，AB．（1）求证：AO2=BO•CO；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作MN∥AC，交AB 于点M，求当△AMN的面积取得最大值时，直线AN的表达式．（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．2017-2018学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入题后括号内1．（3分）抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，1） C．（1，0） D．（﹣1，0）【解答】解：∵y=2x2﹣1，∴顶点坐标为（0，﹣1），故选：A．2．（3分）如果x=﹣1是方程x2﹣x+k=0的解，那么常数k的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：把x=﹣1代入方程x2﹣x+k=0，得1+1+k=0，解得k=﹣2．故选：D．3．（3分）已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，﹣4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：OM==5，OM=r=5，点P在⊙O上，故选：B．4．（3分）小明在解方程x2﹣4x﹣15=0时，他是这样求解的：移项得x2﹣4x=15，两边同时加4得x2﹣4x+4=19，∴（x﹣2）2=19，∴x﹣2=±，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣，这种解方程的方法称为（）A．待定系数法B．配方法C．公式法D．因式分解法【解答】解：根据题意知这种解方程的方法称为配方法，故选：B．5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．6．（3分）已知抛物线y=﹣2x2+x经过A（﹣1，y1）和B（3，y2）两点，那么下列关系式一定正确的是（）A．0＜y2＜y1B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y2＜0＜y1【解答】解：x=﹣1时，y1=﹣2﹣1=﹣3，x=3时，y2=﹣15，∴y2＜y1＜0，故选：C．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB=110°，则∠AED 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB﹣∠ACB=110°﹣90°=20°，∴∠AED=∠ACD=20°．故选：B．8．（3分）若关于x的方程4kx2﹣12x﹣9=0有实数根，则实数k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：当k=0时，方程为﹣12x﹣9=0，解得x=﹣，有实数根；当k≠0时，△=（﹣12）2﹣4×4k×（﹣9）=144+144k≥0，解得k≥﹣1，∴实数k的取值范围为k≥﹣1，在数轴上可表示为：故选：A．9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：由函数图象已知a＞0，c＜0，∵﹣=﹣1，∴b=2a，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选：D．10．（3分）如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD=5cm，=，则PQ的长为（）A．2cm B．cm C．3cm D．cm【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴AB=AD=5，∵，∴PB=2，∵AB=BD，○BAP=○BDQ，○ABP=○DBQ=60°，∴△ABP≌△DBQ，∴PB=QB，∴△PQB是等边三角形，∴PQ=PB=2cm，故选：A．二、填空题（本大题共个5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，1）关于原点对称的点是（0，﹣1）．【解答】解：点（0，1）关于原点O对称的点是（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．12．（3分）方程x（x+1）=0的解是0或﹣1．【解答】解：x（x+1）=0x=0或x+1=0x1=0，x2=﹣1故本题的答案是x1=0，x2=﹣113．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠A=67.5°，弦AB=4cm，则CD=4cm．【解答】解：连接OA，如图，∵CD⊥AB，∴∠CEA=90°，AE=BE=AB=2，∵∠A=67.5°，∴∠C=22.5°，∴∠AOE=2∠C=45°，∴△AOE为等腰直角三角形，∴OA=AE=2，∴CD=2OA=4（cm）．故答案为4．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的部分对应值如下表：则当x=﹣2时，y的值为11．【解答】解：由表可知，该抛物线的顶点坐标为（1，2），设函数解析式为y=a（x﹣1）2+2，将（0，3）代入得，a（0﹣1）2+2=3，解得a=1，所以，抛物线解析式为y=（x﹣1）2+2，当x=﹣2时，y=（﹣2﹣1）2+2=9+2=11．故答案为：11．15．（3分）如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH ⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A的坐标为（3，）．【解答】解：点G的坐标为（a，a2），则点D的坐标为（﹣a，a2），∴点A的坐标为（a2，a），∵射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，∴tan30°=，即，解得，a=，∴点A的坐标为（3，）．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应下厨文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）解方程：x（x+5）=5x+25（2）已知点（5，0）在抛物线y=﹣x2+（k+1）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．【解答】解：（1）∵x（x+5）=5x+25，∴x（x+5）﹣5（x+5）=0，∴（x+5）（x﹣5）=0，则x+5=0或x﹣5=0，解得：x=﹣5或x=5；（2）将点（5，0）代入，得：﹣25+5（k+1）﹣k=0，解得：k=5，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5，则抛物线的对称轴为x=﹣=3．17．（6分）如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．（1）请你写出旋转中心的坐标是（0，0）．（2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．【解答】解：（1）旋转中心的坐标是（0，0）；故答案为（0，0）；（2）如图，△A1A2C2和△A2BC3为所作；19．（7分）已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2，∴二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣2，0）；（2）∵二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，令y=0，﹣x2+x+a=0，有两个相等的实数根，∴△=1+4a=0，∴a=﹣．20．（12分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得，y与x的函数关系式为y=（20+2x）（60﹣40﹣x）=﹣2x2+20x+400；（2）①当x=5时，y=﹣2×52+20×5+400=450．故平均每天盈利450元；②当y=400时，400=﹣2x2+20x+400，解得x1=10，x2=0（不合题意舍去）．故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；③该专卖店不可能平均每天盈利600元．当y=400时，600=﹣2x2+20x+400，整理得x2﹣10x+100=0，∵△=（﹣10）2﹣4×1×100=﹣300＜0，∴方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元．21．（7分）如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．（1）求证：OD为△ABC的中位线；（2）若AC=6cm，求点O到DE的距离．【解答】解：（1）连接CD，∵BC是圆的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，又∵AC=BC，∴AD=BD，又∵OC=OB，∴OD为△ABC的中位线．（2）连接OD，∵AD=BD，OB=OC，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，OD=AC=×6=3，又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∴点O到直线DE的距离为3．22．（12分）综合与探究问题情境：（1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E 分别共线，则FH和FG的数量关系是FH=FG，位置关系是FG⊥FG．合作探究：（2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为：FG=FH，FG⊥FH．（2）（1）中结论成立，证明：如图2，∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的结论成立．（3）（1）中的结论成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．理由：如图3，连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同（1）可证FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∵△ECD、△ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，∴FH=FG，FH⊥FG，即：（1）中结论成立．23．（14分）综合与实践：如图，二次函数y=﹣x 2+x +4的图象与x 轴交于点B ，点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点A ，连接AC ，AB ．（1）求证：AO 2=BO•CO ；（2）若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作MN ∥AC ，交AB 于点M ，求当△AMN 的面积取得最大值时，直线AN 的表达式．（3）连接OM ，在（2）的结论下，试判断OM 与AN 的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）当y=0时，0=﹣x 2+x +4，整理得：x 2﹣6x ﹣16=0，解得：x 1=﹣2，x 2=8．∴B （﹣2，0），C （8，0）．令x=0得：y=4，∴A （0，4）．∴OA=4，OB=2，OC=8，∴OA 2=OB•CO ．（2）设点N （n ，0）（﹣2＜n ＜8），则BN=n +2，CN=8﹣n ．∵MN ∥AC ，∴==．∵OA=4，BC=10，∴S △ABC =BC•OA=×4×10=20，S △BNM =BN•OA=×（n +2）×4=2n +4．∵===，∴S △AMN =S △BMN =×（2n +4）=（8﹣n ）（n +2）=﹣（n ﹣3）2+5． ∴当n=3时，即N （3，0），△AMN 的面积最大．设直线AN的表达式为y=kx+b．将点A和N的坐标代入得：，解得．∴直线AN的表达式为y=﹣x+4．（3）∵N（3，0），∴ON=3．∴CN=8﹣3=5．∵BC=10，∴N为线段BC的中点．∵MN∥AC，∴M为AB的中点，∴AB===2．∵∠AOB=90°，∴OM=AM=．∵AN===5．∴OM2=AN．即OM与AN的数量关系是OM2=AN．。