【同步教学】天津市七年级数学：8.4 三元一次方程组的解法(2)
8.4三元一次方程组的解法教案 2021—2022学年人教版数学七年级下册
《8.4三元一次方程组的解法》教学设计一、教学目标（一）知识技能：了解三元一次方程组及其解法，进一步体会消元思想，能根据三元一次方程组的具体形式，选择适当的解法.（二）数学思考：在运用三元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，感受方程对解决实际问题的作用.（三）问题解决：能根据具体问题列出三元一次方程组，并顺利运用三元一次方程组解决实际问题，能够对三元一次方程组的解法进行归纳和总结.（四）情感态度：渗透方程思想，培养学生的方程意识，在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，在探索解决问题的过程中，敢于发表自己的见解.二、教学重点让学生经历和体验，把实际问题转化成三元一次方程组的过程，用三元一次方程组解决实际问题，进一步体会消元的基本思想.三、教学难点针对方程组的特点，灵活使用代入法，加减法等重要方法四、教法与学法分析教法：情境教学法、比较教学法，讲练结合法学法：比较，小组合作，自主探究的学习方式.五、教学过程（一）情境引入创设情境，引入课题.问题：2022年，北京成功举办了第24届冬季奥运会，中国健儿顽强拼搏，奋勇争先，取得了非常亮眼的“中国成绩”，中国共获得15奖牌，其中银牌数量是铜牌数量的2倍，银牌数量的2倍与铜牌数量的和比金牌的数量还多了1枚，你知道中国获得金牌、银牌、铜牌的数量各是多少吗？师：冬奥会上，中国运动健儿取得了亮眼的成绩，那么中国分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌呢？（1）题目中有几个未知量？师：可以设3个未知数吗？（2）题目中有哪些等量关系？师：这个问题能用一元一次方程，二元一次方程解决吗？（3）如何用方程表示这些等量关系？解：设中国获得金牌、银牌、铜牌分别为x枚、y枚和z枚．可列出方程_______________________________________________________师：对于所列出来的三个方程，前面两个你觉的是二元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？从而揭示课题.（二）探究新知1、概念思辩，认识三元一次方程组师：观察这个方程组有什么特点？（学生思考后回答）①含有三个未知数②含未知数的项的次数都是1③一共有三个整式方程归纳总结：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1， 并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．师：组成三元一次方程组的某个方程一定是三元一次方程吗？（学生通过观察已经列出的方程组，交流讨论，得出结论）注意：组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.师：你认识三元一次方程组了吗？即学即练：下列方程组是三元一次方程组的是( )（设计意图：通过观察列出的的3个方程，寻找共同特点，在已经学过二元一次方程的概念的基础上，引导学生类比给出三元一次方程和三元一次方程组的概念.即学即练着重引导学生正确辨析概念，加深对概念的理解.）2、类比迁移，探究三元一次方程组解法师：二元一次方程组是如何来解的？（学生独立思考，回答问题）师:那么能否用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程来解呢？（学生独立分析、思考，回答思路）仿照前面学过的代入法，可以把③分别带入①②，得到两个只含x ，z 的方程：得到二元一次方程组之后，就不难求出x 和z ，进而可求出y .师：解三元一次方程组的基本思路是什么？（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下进行小组讨论.在此基础上，由学生代表回答教师适时的引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）归纳总结： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.）（设计意图：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找到相应的消元方法——代入法，让学生充分理解解三元一次方程组的思想与方法.）3、典例精析，解三元一次方程组例1 解三元一次方程组 三元一次方程组组二元一次方程组一元一次方程消元 消元⎪⎩⎪⎨⎧8795932743=+-=++=+z y x z y x z x ③②①师：对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？（学生小组讨论，代表发言）方程①只含 x 、z ，因此，可以由②③消去 y ，得到的方程可与①组成一个二元一次方程组.教师板书加减法消元的求解过程，强调解题的格式. 师：你能总结一下解三元一次方程组的一般步骤吗？（学生交流讨论，代表发言，教师加以规范） 归纳总结：解三元一次方程组的一般步骤：（1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；（5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.(设计意图：一是引导学生发现这一类方程组的一般解法：例1方程组的特点是方程①中不含y ，②③中y 的系数为整数倍数关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成二元一次方程组最为合理，简言之，可以总结为“缺谁消谁”；二是通过例题的示范作用，归纳解三元一次方程组的一般步骤，培养学生举一反三的数学品质)例2 在等式c bx ax y ++=2中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a ，b ，c 的值. 师：分析已知条件，你能得到什么？把c b a ,,看作三个未知数，分别把已知的y x ,值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-605253240c b a c b a c b a教师带领学生列出方程组，分析如何学生独立完成解方程组，学生板演.师：（1）可以消去a 吗？如何操作？（2）可以消去b 吗？如何操作？教师选择几名消“元”不同的同学的过程给大家展示.归纳总结：解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.4.巩固练习，深化解方程组的方法与技巧即学即练：解下列三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-472392x z z y y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-6123243z y x z y x z y x（设计意图：通过练习，可以使同学们进一步体会消元的思想，通过观察方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”，从而降低运算的难度，提高准确性）（三）课堂小结本节课你有收获吗？能和大家说说你的感想吗？（四）随堂检测1.对于方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=+22362532z y x z y x y x ， 此二元一次方程组的最优的解法是先消去（ ）转化为二元一次方程组.A.xB.yC.zD.都一样2.若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（ ）A.2B.3C.4D.53.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的31等于丙数的21，求这三个数. (设计意图：通过进一步的练习，达到检测学生掌握情况的目的.针对三元一次方程组的解法进一步加强练习.不仅可以开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且通过类比，让学生在解题时归纳题目的特点，找到最基本解题方法，更有助于学生探索方法，掌握解题技巧.)（五）作业布置必做题：课本作业题2、3、4选做题：请同学们发挥想象，编辑一道与我们生活息息相关的应用题，其中x,y,z 满足下列条件：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+201610z y z x y x ，并解答出来.。
人教版七年级数学下册《三元一次方程组的解法》PPT (2)
题型 1 消元法在解三元一次方程组中的应用
1．解下列方程组：
x－2y＋z=0 ①
(1)
3x＋y－2z=0 ② 7x＋6y＋7z=100 ③
x＋z－3=0 ① (2) 2x－y＋2z=2 ②
x－y－z=－3 ③
解：(1)①＋②×2，得7x－3z＝0.④
①×3＋③，得10x＋10z＝100，
即x＋z＝10.⑤
2．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－2时，y＝－1；当 x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0.求a，b，c的值.
解：把x＝－2，y＝－1；x＝0，y＝2；
x＝2，y＝0分别代入等式y＝ax2＋bx＋c，
得
4a－2b＋c＝－1
c＝2
解得
4a＋2b＋c＝0
a＝－5
b＝
1 4
8
c＝2
即a，b，c的值分别为－5 ，1，2.
84
题型 3 构建三元一次方程组模型在非负数中的应用
3．已知|x－8y|＋2(4y－1)2＋3|8z－3x|＝0，求x＋y＋z的 值.
x－8y=0
解： 由题意得 4y－1=0 x=2 8z－3x=0
解得
1
y= 4
z= 3 故x＋y＋z4＝2＋ 1＋ 3＝3.
44
题型 4 三元一次方程组的解在求字母值中的应用
知识点 2 三元一次方程组的解法
4．解三元一次方程组的基本思路是：通过“__代__入____” 或“__加__减__”进行消元，把“三元”转化为“__二__元___”， 使解三元一次方程组转化为解__二__元__一__次__方__程__组__， 进而再转化为解___一__元__一__次__方__程___.
请同学们以《我……》为题目写下你的想法。
人教版七年级下册数学：8.4 三元一次方程组的解法 课件 (共19张PPT)
b 2．
代入①，得 c=-5
②-①，得a+b=1; ④ ③-①，得4a+b=10; ⑤
因此，
a b
3， 2，
④与⑤
答：a
c 5． 3，b 2，c
5．
消去a可以吗？如何操作？ 可将②-①×4，得
6b 3c 3， ④ 即 2b c 1．
新课导入
小明手头有12张面额分别为1元、2元、
5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数
量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元
纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？有几 个相等关系？
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1 元、2元、5元纸币各多少张. 分析： （1）这个问题中包含有 三个相等关系： 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张， 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍， 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元. （2）这个问题中包含有 三个未知数： 1元、2元、5元纸币的张数.
再将③-①×25，得
30b 24c 60， 即 5b 4c 10. ⑤
消去b可以吗？如何操作？ 可将 ①×2+②，得
6a 3c 3， ④ 即 2a c 1．
再将 ①×5+③，得
30a 6c 60， 即 5a c 10． ⑤
例：在等式 yax2bxc中，当x1时， y 0；当 x 2时， y 3；当 x 5时，y 60．求 a ，b ，c 的值．
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
（1）先消去哪个未知数？为什么？ （2）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意，
8.4三元一次方程组的解法(教案)-2022-2023学年七年级数学下册同步备课系列(人教版)
-结合生活情境，设计实际问题，指导学生如何构建三元一次方程组并求解。
2.教学难点
-理解并运用代入法、消元法时，对于系数的变换和方程的转换可能会产生困惑。
-在实际问题中，如何将问题描述转化为三元一次方程组是学生容易感到困难的地方。
-对于解法的逻辑推理过程，学生可能难以把握整体思路，导致解题过程中出现混乱。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三元一次方程组的基本概念、解法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些解法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-在讲解代入法时，强调如何选择合适的方程和未知数进行代入，以及如何简化计算过程。
-在讲解消元法时，详细解释如何通过加减乘除运算来消去一个未知数，并说明每一步的目的。
-对于实际问题的转化，通过具体案例，指导学生如何从问题中提取信息，建立方程组。
-通过图示、表格等多种形式，帮助学生理解决策过程中每一步的逻辑关系，从而更好地理解解法。
8.4三元一次方程组的解法（教案）-2022-2023学年七年级数学下册同步备课系列（人教版）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学下册第8章第4节“三元一次方程组的解法”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解三元一次方程组的概念，能够识别方程组中的各个方程及未知数。
2.学习并掌握三元一次方程组的解法，包括代入法、消元法等。
2023~2024学年【导】8.4 三元一次方程组的解法(20页)
45y + yz =+ 1z2=，12， 46y + 25yz =+ 252z，= 22，
解这个二元一次方程组，得
y = 2， z = 2.
把 y = 2，z = 2代入①，得 x = 8.
因此这个方程组的解是
x = 8， y = 2，
z = 2.
你还可以尝试 其它的解题过
程哦！
总结归纳
解三元一次方程组的思路： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”
x张
y张
z张
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2 元、5元的纸币各多少张？
问题2：你能找出哪些等量关系？
①1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12张 ②1元纸币金额+2元纸币金额+5元纸币金额=22元 ③ 1元纸币的数量=2元纸币的数量的4倍
代入 二元一次方程组 消元
加减
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
新知探究
新课讲解
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2
元、5元的纸币各多少张？
问题1：题中有哪些未知量？
1元纸币的数量、2元纸币的数量、5元纸币的数量
25a + 5b + c = 60.③
② – ①，得 a + b = 1；④ 把a =3，b = –2代入①，得 c = –5.
③ – ①，得 4a + b = 10；⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 因此
8.4 三元一次方程组的解法(课件)七年级数学下册(人教版)
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
8.4三元一次方程组的解法(第2课时)课件人教版数学七年级下册
列三元一次方程组解决实际问题的方法 列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一 次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找 等量关系是解题的关键.列三元一次方程组解决实 际问题时，需设三个未知数并找出三个等量关系.
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1.审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们 之间的等量关系； 2.设：恰当地设未知数； 3.列：依据题中的等量关系列出方程组； 4.解：解方程组，求出未知数的值； 5.验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； 6.答：写出答.
认真审题，明确等量关系
④与⑤组成二元一次方程组
④与⑤组成二元一次方程组
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面积=51(公顷)；
8．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准
备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有( C )
12．有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的 和，个位上的数字与十位上的数字之和等于8，百位上的数字与个位上的数字对 调后所得的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数．
解：设原来的百位上的数字为 x，十位上的数字为 y，个位上的数字
为 z，则yz＋＝yx＝＋8z，， 100z＋10y＋x＝100x＋10y＋z＋99， x＝2，
3x－2y－z＝－2，
A．消 x B．消 y C．消 z D．都一样
x＋2y－z＝－3， 4．三元一次方程组x＋y＋z＝2， 的解是(
D
)
z－x＋y＝0
A.xy＝＝21 B.xy＝＝21 z＝3 z＝－1
x＝－1 x＝1 C.y＝1 D.y＝－1
七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法新版新人教版精选教学PPT课件
一、出示学习目标
学习目标: 学习三元一次方程组及其解法和应用.
二、引入概念
学习任务:了解三元一次方程组的概念.
x y z 12, x 2y 5z 22, x 4 y.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程 组叫做三元一次方程组.
问题：怎样解三元一次方程组？
三、探究三元一次方程组的解法
问题:如何解这个方程组?
y=2x-7， 5x+3y+2z=2， 3x-4z=4. 分组进行讨论、探究,自主学习、交流,然后 归纳总结.
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
8.4.2三元一次方程组的解法(2)
⑤
农作物品种 水稻 棉花 蔬菜
每公顷所需劳动力 4人 8人 5人
每公顷投入资金 1万元 1万元 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的
种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金
正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、 z公顷种蔬菜。由题意得
x+y+z=51， 4x+8y+5z=300， x+y+2z=67. x=15， 解得： y=20， z=16.
x＋y－z＝11，
2.解方程组
y＋z－x＝5， z＋x－y＝1.
① ② ③
,则x＝_____，
y＝______，z＝_______. 【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求 出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一 个方程求出x即可. 【答案】6 8 3
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
巩固新知
4.下列解三元一次方程组的消元过程正确 吗？若有错误，请改过来，说明这样消 元对方程合理吗？并求出方程组的解．
5x y z 1, ① 解方程组 2x y 2z 1, ② x 5 y z 4. ③ ①+②，得 7x3z 2. ④ ①+③，得（消 z） 6x6 y 3. ④、⑤组成方程组 7x 3z 2, 6x 6 y 3.
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组 的解法（2）
巩固新知
3.解方程组：
①
x 2 y 3z 11, x y 4z 10, x 3 y 2z 2;
②
a b c 1, a 2b c 3, 2a 3b 2c 5.
8.4 三元一次方程组的解法
一课一案 创新导学
某牧场用卖2头牛、5只羊的钱买13头猪,还剩下1 000元; 用卖3头牛、3头猪的钱买9只羊,钱正好花完;用卖6只羊、8头 猪的钱买5头牛,还差600元.求牛、羊、猪的价钱各是多少.
一课一案 创新导学
解:设每头牛的价格是 x 元,每只羊的价格是 y 元,每 头猪的价格是 z 元,根据题意得 ������������ + ������������-������������������ = ������ ������������������, ������������ + ������������-������������ = ������, ������������ + ������������-������������ = -������������������. ������ = ������ ������������������ 解得 ������ = ������������������, ������ = ������������������. 答:每头牛的价格是 1 200 元,每只羊的价格是 500 元,每头猪的价格是 300 元.
一课一案 创新导学
第八章
二元一次方程组
*8.4 三元一次方程组的解法
一课一案 创新导学
学习目标
1.能识别三元一次方程与三元一次方程组. 2.会解三元一次方程组. 3.会用三元一次方程组的数学模型解决简单的实际问题.
学习重点
三元一次方程组的解法.
一课一案 创新导学
为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→
密文(加密),接收方由密文→明文(解密).假设加密规则为:
明文x,y,z对应密文2x+3y,3y+4z,4z+2x.例如:明文1,2,3对应
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思考4：如果用加减法消元，先消哪个元 比较简便？
思考 5：这个方程组可以先消 a 或 b 吗？比较三种 消元方案，你认为哪种方案最好？
巩固新知
1.解方程组 要使运算简便，应选择消去________.
2.甲、乙、丙三人一起去集邮市场，甲买入 A 种邮票 3 张，B 种邮票 2 张，C 种邮票 1 张，按票值付款 13 元．乙买入 A 种邮票 1 张，B 种邮票 1 张，C 种邮票 2 张，按票值付款 7 元．丙买入 A 种邮票 2 张，B 种 邮票 3 张， 并卖出 C 种邮票 1 张， 按票值结算还需付 12 元．问 A、B、C 三种邮票面值各是多少元？
温故知新
问题1：解三元一次方程组的 基本思路是什么？
采用哪些方法 ax bx c 中，当 x 1时， y 0 ；当 x 2时， y 3；当 x 5时， y 60．求 a ，b ， c 的值．
2
思考1：这个问题怎样转化为方程组？ 思考2：这个方程组与前面见过的三元 一次方程组有何不同？ 思考3：三个方程都含有三个未知数的 方程组怎样实现由“三元”转化 为“二元”？ 选择代入法还是加减法？
5x y z 1, ① 解方程组 2x y 2z 1, ② x 5 y z 4. ③ ①+②，得 7x3z 2. ④ ①+③，得（消 z） 6x6 y 3. ④、⑤组成方程组 7x 3z 2, 6x 6 y 3.
⑤
问题2：解三个方程都含有三个未知数的三 元一次方程组时应该注意什么？ 基本思路：通过“带入”或“加减”进行 消元 基本思想：消元（选择合适的未知数为消去
的对象）
小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
还有什么疑惑？
布置作业： 习题 8.4 第 2 （ 2 ） 题， 第 5 题．
巩固新知
3.解方程组：
①
x 2 y 3z 11, x y 4z 10, x 3 y 2z 2;
②
a b c 1, a 2b c 3, 2a 3b 2c 5.
巩固新知
4.下列解三元一次方程组的消元过程正确 吗？若有错误，请改过来，说明这样消 元对方程合理吗？并求出方程组的解．