七年级下册数学三元一次方程组及其解法
人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。
七年级数学下册《三元一次方程组的解法》教案、教学设计
五、作业布置
为了巩固学生对三元一次方程组解法的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成课本第128页的练习题1、2、3，每个题目都要尝试使用代入法和消元法进行解答，并比较两种方法的优劣。
2.从生活中找一个涉及三元一次方程组的问题，将其转化为数学模型，并求解。要求学生写下问题的背景、转化过程以及解答步骤，并在下次课堂上进行分享。
4.通过课堂练习，学生巩固所学知识，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三元一次方程组的解法（代入法、消元法）及其关键步骤。
2.学生分享自己在解题过程中的心得体会，以及在小组讨论中的收获。
3.教师对学生的表现给予积极评价，强调数学知识在实际生活中的应用价值。
4.在讲授过程中，教师注重启发学生思考，引导学生总结代入法和消元法的解题规律。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成若干小组，每组4-6人，要求学生针对课堂例题进行讨论。
2.学生在小组内部分享自己的解题思路和方法，互相交流代入法和消元法的应用心得。
3.教师巡回指导，关注每个小组的讨论情况，及时解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
3.培养学生的合作精神，使其在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，共同解决问题。
4.培养学生面对困难的勇气和信心，使其在克服困难的过程中，不断积累成功的经验，形成自信、自强的品质。
二、学情分析
七年级学生在上学期已经学习了二元一次方程组的解法，具备了一定的方程求解基础。在此基础上，本章节的三元一次方程组对学生来说，既有挑战性，又是提高他们数学思维能力的良好契机。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散，对复杂问题的耐心和毅力有待提高。因此，在教学过程中，应注重激发学生的兴趣，引导他们主动探究，同时关注学生的个体差异，给予不同层次的学生适当的指导和支持，帮助他们克服困难，增强解决问题的信心。此外，学生的合作交流能力也需在教学过程中加以培养，使其在团队中发挥各自优势，共同进步。
七年级下册数学：三元一次方程组的解法 (共17张PPT)
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该 注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④
x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
把 x=
5
2 代入③，得
2
z
3 2
问题探究
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ② x-z=4. ③
分析：
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程 （如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程 组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一 次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某个 未知数，就消某个未知数。
三元一次方程组的解法
教学目标：
1、掌握简单的三元一次方程组的 解法； 2、进一步体会消元转化思想．
什么叫做三元一次方程组?
方程组中含有三个未知数,且含未知数 的项的次数是一次，并且有三个方程， 这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组有哪几种方法 ？它 们的基本思想是什么？ 代入法、加减消元法、消元
x y z 6
总结归纳
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
三元一次方程组及其解法课件数学华师版七年级下册
3 + 4 − 3 = 3， ①
解方程组：
൞2 − 3 − 2 = 2， ②
5 − 3 + 4 = −22. ③
解：③-②，得3x+6z=-24，即x+2z=-8.
通过“加减”，先消去y，
得到关于x、z的二元一次方
程，然后解方程组！
①×3+②×4，得17x-17z=17，即x-z=1.
消元法
代入消元法和加减消元法
问题
在7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我
们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.
在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则
，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数
之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
三元一次
方程组
消元
代入法
加减法
二元一次
方程组
消元
代入法
加减法
一元一次
方程
②-③，得2x+5z=16. ⑤
由④和⑤，解得 ቊ = 3，
= 2.
将x=3，z=2代入①，得y=1.
= 3，
所以原方程组的解是 ቐ = 1，
= 2.
1.三元一次方程组的定义:
只含有三个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的整式方程组叫做三元一次
方程组.
2.解三元一次方程组的基本思想:
= −3.
= 1，
代入④，得z=7-3-6=-2. 所以原方程组的解是 ቐ = −3，
= −2.
概括
这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含x、y
的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，
七年级数学下册三元一次方程组解法
七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。
解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。
在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。
二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。
2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。
三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。
2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。
3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。
四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。
五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。
对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。
希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。
人教版七年级数学下册：三元一次方程组的解法【精品课件】
设x=15a，则y=10a，z=8a，
x 30
代入③得a=2，
y
20,
z 16．
拓广探索
5. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，
y=20;当 x 3 与 x 1 时，y的值相等，求a、b、
c的值.
2
3
解：根据题意，得三元一次方程组
a b c 2,
a 6,
z 10．
∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.
误区 两次消去的未知数不同，导致解方程无法进行
x y 2z 15,
①
解方程组
x
2
y
z
3,
②
2x 3 y z 0．
③
错 解 ②-①，得 y-3z=-12.
④
③+②，得 3x-y=3.
⑤
④和⑤组成的还是三元一次方程组，不能往下解了.
正 解 ②-①，得 y-3z=-12.
问 你能类比二元一次方程组的解法来求解吗？
解答
x y z 12，
①
x 2 y 5z 22，
②
x 4 y．
③
将③代入①②，得
4 y y z 12， 4 y 2 y 5z 22．
即
5y 6y
z 12， 5z 22．
问 为什么要用③代入，而不用①②代入？
思考 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 通过“代入”或“加减”进行消元，把
把 x=2， y=3代入③得 z=1.
x 2,
∴原方程的解是
y
3,
z 1.
2. 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比
乙数大
5，乙数的
人教版七年级数学下册_8.4三元一次方程组的解法
农作物 每公顷需 每公顷需投入 品种 劳动力 的设备资金
水稻 4人
1 万元
棉花 8人
1 万元
蔬菜 5人
2 万元
感悟新知
知3－练
已知该农场计划投入设备资金67 万元，应该怎样安排 这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作， 而且投入的设备资金正好够用？
感悟新知
知3－练
解：设种植水稻 x 公顷，棉花 y 公顷，蔬菜 z 公顷．
③与④组成二元一次方程组
2 5
x－y x＋8
7, y 7.
解得
把x=3，y=－1 代入①，得3+3×(－1)+2z=2，
x y
3, －1.
所以z=1.
x 3,
所以这个三元一次方程组的解为
y
－1,
z 1.
感悟新知
(2)① + ③，得3x+5y=11；④
知2－讲
③ ×2+ ②，得3x+3y=9，即x+y=3. ⑤
解：A 选项中，方程x2－y=1 与xz=2 中有含未知数的项
的次数为2 的，不符合三元一次方程组的定义，故A 选
项不是；B
选项中，1
x
，1
y
，1
z
不是整式，故B
选项不是；
C 选项中，方程组含有四个未知数，故C 选项不是；
D 选项符合三元一次方程组的定义.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( B )
将 z＝2 代入方程②，得 y＝53.
x＝－34， 故这个三元一次方程组的解为y＝53，
z＝2.
感悟新知
(3)②×2－③，得 5x＋27z＝34.④ ①和④组成方程组45xx－＋92z7＝z＝173，4，解得xz＝＝135.，
初中数学七年级下册三元一次方程组的解法
*8.4 三元一次方程组的解法教学目标1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组． 教学过程一、情境导入《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧z＝y＋x，①2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13；③(2)⎩⎨⎧2x＋3y＋z＝11，①x＋y＋z＝0，②3x－y－z＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去z，得⎩⎨⎧4x－y＝5，2x＋3y＝13.解得⎩⎨⎧x＝2，y＝3.把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x＝2，y＝3，z＝5；(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎨⎧x＋2y＝11，5x＋2y＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234.把x＝－12，y＝234代入②，得z＝－214.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234，z＝－214.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．探究点三：三元一次方程组的应用【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组⎩⎨⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2.方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【类型二】利用三元一次方程组求数字问题一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．【类型三】列三元一次方程组解决实际问题某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4.答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．三、板书设计 三元一次方程组⎩⎨⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用教学反思通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。
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解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
{ x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y
说一说 观察这个方程组，是由 三 个 一 次方程组成的含有
__三___个未知数的方程组,叫做____三__元__一_次__方__程__组____．
√
×
√
特别感谢你们的合作!
作业布置
必做题：教科书116页 练习题． 选做题：教科书118页习题3.5第1、2题．
×
√
?
温故而知新
1、解二元一次方程组有哪几种方法？ 代入消元法和加减消元法
2、它们的实质是什么？ 消元法
代入
二元一次方程组
消元
加减
一元一次方程
课中探究
试一试：试着求解我们前面列出的三元一次方程组．
x y z 12 ①
x
2
y
ห้องสมุดไป่ตู้
5z
22
②
x 4 y
③
解 ：把③分别代入①②，得
5 y z 12 6 y 5z 22
解这个二元一次方程组得
y 2, z 2
把y=2代入③ ，得x=8 x 8
三元一次方程组的解为
y
2
z 2
例1.解方程组
x y 2z 3 2x y z 3
① ②
课中探究
x 2 y 4z 5
解:②+①×2,得: y+5z=3。④
③-①，得: y-6z=-8 ⑤
③
解三元一次方程组的基本 思路是什么？
（1）若先消去x,得到的含y，z的二元一次方程组是__________． （2）若先消去y,得到的含x，z的二元一次方程组是__________． （3）若先消去z,得到的含x，y的二元一次方程组是__________． 2． 选择一种你认为简便的消元方法求解上题的方程组．
祝:同学们学习进步，学有所成!
想一想 这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
悟空手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币， 共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4 倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？
由④⑤联立成二元一次方程组： yy
5z 6z
3 8
解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把 “三元”转化为“二元”，使解三元一
y 2 解这个方程组得: z 1
次方程组转化为解二元一次方程组，进 而再转化为解一元一次方程。
把y=-2, z=1, 代入①得: x=3.
►3.5三元一次方程组及其解法
悟空手头有12张面额分别是1元、2 元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸 币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？
悟空手头有12张面额分别是1元、2元、5元 的课纸币中 ，探共究计22元，其中1元纸币的数量是2元 纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多 少张？
消元
x 3 三元一次方程组
所以这个三元一次方程组的解为:
y
2
消元 二元一次方程组
z 1
一元一次方程
尝试应用
x y 3
解方程组
y
z
4
z x 5
小组间交流．完成后与小组同学交流，说说你找出的消元方法．
学习体会
1.本节课你学到了什么内容？ 2.你有什么收获和体会？
当堂达标
1． 解方程组： 2x y 3z 3 3x y 2z 1 x y z 5