数学人教A版必修四学案：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
姓名，年级：时间：2．4。
2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角［教材研读]预习课本P106~107，思考以下问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[要点梳理]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量,向量a＝(x1，y1），b＝（x2,y2），a与b的夹角为θ.2(1）向量的模：设a＝(x，y）,则|a|＝错误!.（2）两点间的距离公式：若A（x1，y1)，B(x2，y2），则｜错误!｜＝错误!.（3）向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），a 与b的夹角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!.［自我诊断］判断（正确的打“√”，错误的打“×”)1．向量a＝(x1，y1)，b＝（x2,y2)的数量积仍是向量，其坐标为（x1x2,y1y2）．（）2．|错误!｜的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的．( ）3．非零向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2)的夹角为锐角，则x1x2＋y1y2〉0,反之，若非零向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2)满足x1x2＋y1y2〉0,则它们的夹角为锐角．（）[答案] 1。
× 2.√ 3.×题型一向量数量积的坐标运算思考:若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2)，则a·b如何计算？提示：a·b＝x1x2＋y1y2。
(1）在平面直角坐标系xOy中，已知错误!＝(－1，t），错误!＝(2,2)，若∠ABO＝90°,则实数t的值为________．（2)已知向量a＝(1,3),b＝(2，5），c＝(2，1)，求：①2a·(b－a）；②（a＋2b)·c。
［思路导引］利用向量垂直的充要条件及数量积的坐标表示求解．[解析］(1)AB，→＝OB，→－OA，→＝（3，2－t)，由题意知错误!·错误!＝0，所以2×3＋2（2－t)＝0，t＝5.（2)解法一：①∵2a＝2(1,3）＝（2，6），b－a＝（2，5)－（1,3)＝(1，2），∴2a·（b－a)＝(2,6）·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2,5）＝（1，3)＋（4,10）＝（5,13)，∴(a＋2b）·c＝(5,13)·（2，1)＝5×2＋13×1＝23.解法二：①2a·（b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2（1＋9）＝14.②（a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2（2×2＋5×1）＝23.[答案］(1）5 （2）①14 ②23数量积运算的途径及注意点(1）进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．［跟踪训练]（1)向量a＝（1，－1)，b＝（－1，2），则(2a＋b)·a＝( ）A．－1 B．0 C．1 D．2（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，错误!＝（1，－2)，错误!＝（2，1),则错误!·错误!＝（）A．5 B．4 C．3 D．2［解析］（1)a＝（1,－1),b＝(－1,2），∴（2a＋b）·a＝(1,0）·（1，－1）＝1。
人教A版《必修4》“2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角”导学案-精选教育文档
高一数学《必修4》导学案2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角【课前导学】（一）复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义： __________a b ⋅=，其中||cos a θ叫做_________________.2．两个向量的数量积的重要性质：（1）________a b ⊥⇔；（2）__________a a a ⋅==或||；（3）cos __________θ= 3．探究：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，试用a 和b 的坐标表示a b ⋅.提示：若直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i ，y 轴方向上的单位向量为j ，则向量,a b 用,i j 可以表示为a = ，b = ；其中i i = ，j j = ，i j = 故：a b ⋅=（二）新课学习 （阅读课本P106～107后，完成下列内容）1、平面两向量数量积的坐标表示：若两个非零向量11()a x ,y =、22()b x ,y =，则_________a b ⋅=即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：（1）设()a x,y =，则2_____________||_________a a ===，故.（2）如果11()A x ,y 、22()B x ,y ，那么_____________,AB = A 、B 间的距离||___________________AB = （平面内两点间的距离公式）3、 向量垂直的判定：设11()a x ,y =、22()b x ,y =，则a ⊥b ⇔_________________a b ⋅=⇔.4、两向量夹角的余弦：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=_____________________.【预习自测】1、已知(34)a ,=-，(5,2)b =，则_________a b ⋅=，||_______a =，||_______b =.2、已知(32)a ,=，(2,3)b =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=______.3、若(22)BA ,=-，C (11)B ,=，则ABC ∠=_________.【典例分析】 例1、(3,4),(6,8),a b =-=-已知求 ()()a b a b +⋅-及a b -｜｜的值. 例2、已知(1,4),(5,2),(3,4)A B C --，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.变式：若(34),12)_______.a ,b a b x,3x b =⊥=，且的起点坐标为(，，终点坐标为(),则 例3、（1）(13)(223)a ,b ,a b ==-已知，，求与的夹角.（2）(12)(23)2a ,b ,c a b ==--=+设，，又，d a mb =+，且45c d ︒与的夹角为，求实数m 的值. 【总结提升】1、掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.【课后作业】1、(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--已知，则 （1）______,______b a b =⋅=；（2）求()()()a b a b a b c +⋅-⋅+，. 2、求证：(1,0),(5,2),(8,4),(4,6).A B C D -为顶点的四边形是一个矩形3、（1）3,//.a b a b a =已知｜｜=(1,2),且,求的坐标.（提示：设a x,y 的坐标为()）（2）(4,2),.a a e =已知求与垂直的单位向量的坐标4、（选做）课本P108 B 组 第2题。
高中数学人教A版必修4导学案设计：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(无答案)
章节2.4.2 课题平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标1.会推导向量数量积的坐标形式，并应用它进行熟练运算；2.掌握向量垂直、模、夹角的坐标表示，并会灵活应用。
教学重点向量数量积坐标形式的推导教学难点利用平面向量数量积表示有关垂直、模、夹角等问题【新知探究】一、数量积的坐标表示1.已知非零向量11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，怎样用ar与br的坐标表示a b⋅r r呢？二、向量垂直的坐标表示2.设11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，则0_________________a b a b⊥⇔⋅=⇔r rr r三、向量模的坐标表示3.若(,)a x y=r则2_________a a a==r r rg，所以2______________a a==r r四、向量夹角的坐标表示4.设非零向量11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，其夹角为θ，则cosa ba bθ==r rgr r【预习自测】1.已知1(1,1),(1,2),(3,)2A B C-则AB AC⋅u u u r u u u r等于（）A.52B.52- C.152D.152-2.若(2,1),(1,)5ma b=--=--rr，且ar与br互相垂直，则m的值为（）A.6-B.8C.10- D.103.与(3,4)a=r垂直的单位向量为，与(3,4)a=r平行的单位向量为。
人教a版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝ (－1)2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)， ∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5. 6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0，即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65.答案：{λ|λ＜103且λ≠－65}8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20＝－22.又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4.(2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线． 又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y ) ＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255)C ．(55，－255)或(－55，255)D ．(－55，－255)解析：选B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)， 所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)， 则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k＋1)＝16，则k ＝12.(3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(2k ＋1)＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12.6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )， 则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0， 即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。
2015-2016学年高一数学人教A版必修四教案：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含答案
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。
3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和 补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•讨论结果:略.（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC 中,AB =(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15. 又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ; (2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139-(2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴⊥CD ,即l 1⊥l 2.（四）课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.（五）作业。
高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:(1)设单位向量i,j别离与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b=.二、信息交流,揭露规律问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a与b的坐标来表示a·b呢?问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件和夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.(2)若是表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标别离为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式).3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cosθ==.三、运用规律,解决问题【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.【例3】在Rt△OAB中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.四、变式演练,深化提高练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求知足x·a=9与x·b=-4的向量x.五、反思小结,观点提炼本节课咱们学习了哪些知识?用到了什么思想方式?你还有其他什么收获?布置作业P108习题2.4A组第9,10,11题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)(3,2) a=i-2j(2)1二、信息交流,揭露规律问题2:设向量i,j别离为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得·b=x1x2+y1y2.问题3:2.(1)|a|=(2)(3)x1x2+y1y2=04. .三、运用规律,解决问题【例1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,|a|==2,|b|==2,cosθ==-,因为0≤θ≤π,所以θ=.【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:因为=(1,1),=(-3,3),=1×(-3)+1×3=0,所以,所以△ABC是直角三角形.【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则,所以2+3k=0可得k=-;(2)若∠OAB=90°,则,而=(-2,-3),=(-1,k-3),所以2-3(k-3)=0,从而k=;(3)若∠OBA=90°,则,而=(-1,-k),=(1,3-k),因为-1-k(3-k)=0,所以k= .四、变式演练,深化提高练习:解:设x=(t,s),由所以x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式和平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.。
人教A版必修4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Q 情景引入ing jing yin ru“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．X 新知导学in zhi dao xue1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos a，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示模|a |2＝__x 21＋y 21__或|a |＝__x 21＋y 21__设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝__(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2__ 夹角cos θ＝a·b|a||b|＝__x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22__(a ，b 为非零向量)[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．Y 预习自测u xi zi ce1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( √ ) (2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1y 1＋x 2y 2.( × ) (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ⊥b ，则x 1y 1＋x 2y 2＝0.( × ) (4)若a ·b ＝|a ||b |，则a ，b 共线．( √ ) (5)若a ·b >0，则a ，b 的夹角为锐角．( × ) 2．已知a ＝(－1,3)，则|a |＝( C ) A ．2 B ．2 C ．10D ．103．若向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a·b ＝( D ) A ．0 B ．2 C ．－4D ．－54．已知a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则a 与b 的夹角为__3π4__.[解析] cos a ，b ＝a ·b|a ||b |＝2×(－1)＋(－1)×322＋(－1)2＋(－1)2＋32＝－22，∴a ，b ＝3π4.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨数量积的坐标表示典例1已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析]解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.『规律总结』进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．2[解析]a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.命题方向2⇨利用坐标运算解决模与夹角的问题典例2已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9,12)，c＝(4，－3)，(1)求|b|与|c|；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[思路分析](1)根据模长公式求解；(2)根据两向量的夹角公式求解．[解析](1)∵b＝(9,12)，∴|b|＝92＋122＝15，同理|c|＝42＋(－3)2＝5.(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.『规律总结』 解决向量夹角问题的方法：先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.〔跟踪练习2〕设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)． (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20.由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去， ∴t ＝1.X 学科核心素养ue ke he xin su yang利用平行、垂直求参数借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量运算的重要应用之一，具体做法就是借助a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0或a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．典例3 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．[思路分析] 找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k 即可． [解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0， ∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132.综上所述：k ＝－23或113或3±132.『规律总结』 解决本题的关键是要判断△ABC 中哪个内角为直角，故应进行分类讨论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．〔跟踪练习3〕已知三个点A 、B 、C 的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m ，－3－m )，若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] 由已知，得AB →＝(3,1)， AC →＝(2－m,1－m )．∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴AB →⊥AC →.∴AB →·AC →＝3(2－m )＋(1－m )＝0， 解得m ＝74.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽视向量共线致误典例4 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 [错解] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0，即a ·b ＝1－2λ>0，得λ<12，故选D ．[错因分析] 由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cos θ＞0成立，但夹角不是锐角．[正解] A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0且cos θ≠1，即a ·b >0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A ． [误区警示] 对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m >0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0.〔跟踪练习4〕设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围． [解析] 由cos θ<0得x <85，因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论正确的是( C )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b [解析] 由题意|a |＝12＋02＝1，|b |＝(12)2＋(12)2＝22. a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，∴a －b 与b 垂直．2．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( C ) A ．{2,3} B ．{－1,6} C ．{2}D ．{6}[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x －5)＋3x ＝0，解之得x ＝2，则由x 的值构成的集合是{2}． 3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( A ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形[解析] AC →＝(－3,3)，AB →＝(1,1)，AC →·AB →＝0. ∴A ＝π2.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ( B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3. 5．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )b .[解析] (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 新人教A版必修4 学案
1 / 5某某省某某市馆陶县第一中学高中数学 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 新人教A 版必修41. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 一、课前准备（预习教材P106—P107） a 与b 的数量积a b ⋅=.a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=；②a =；③cos θ=.二、新课导学※探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于。
2 /5问题2：如何求向量(),a x y =的模a 和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥_________________ ※典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
例2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b 的夹角θ.3 / 5变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、小结反思1、平面向量数量积的坐标表示.2、向量数量积的坐标表示的应用.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、若()4,3a =-，()5,6b =，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a=--，()4,b k =-，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.4 / 53、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？它们是同向还是反向？4、 已知()3,4a =-，()2,b x =，()2,c y =，且//a b ，a c ⊥，求：（1）b c ⋅； （2）b 、c 的夹角.1. 已知点()1,2A 和()4,1B -，问能否在y 轴上找到一点C ，使90ACB ∠=，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.5 / 52.已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使＝＋(t －3) ，＝－k ＋t ，且x ⊥，试求函数关系式k ＝f (t )；(3)求函数k ＝f (t )的最小值．。
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§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】
1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；
2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅=.
2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则
①a b a b ⊥⇔⋅=；②a =；③cos θ=.
（二）自主探究：（预习教材P106—P108）
探究：平面向量数量积的坐标表示
问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？
1. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？
2.平面内两点间的距离公式
（１）设a=(x,y),则2
a =________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？
3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________ 向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥_________________
二、合作探究
1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A （1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1=
=，求a 与b 的夹角θ.
变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为
3,k=4π则______________.
三、交流展示
1、若()4,3a =-，()5,6b =，则234a a b -⋅=
2、已知()3,2a =--，()4,b k =-，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.
3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，
（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？它们是同向还是反向？
四、达标检测（A 组必做，B 组选做）
A 组：1. 已知()3,4a =-，()5,2b =，则a b ⋅等于（）
A.23
B.7
C.23-
D.7-
2. 若()3,4a =-，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（）
A.6365
B.3365
C.3365-
D.6365- 3. ()2,3a =，()2,4b =-，则()()
a b a b +⋅-=， 4.已知向量()1,2OA =-，()3,OB m =，若OA AB ⊥，则m =。
5.已知四点()1,3A -，()1,1B ，()4,4C ，()3,5D 求证：四边形ABCD 是直角梯形.
B 组：1. 已知()3,4a =-，()2,b x =，()2,c y =，且//a b ，a c ⊥，求：
（1）b c ⋅；（2）b 、c 的夹角.
2.已知点()1,2A 和()4,1B -，问能否在y 轴上找到一点C ，使90ACB ∠=，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.
3.已知＝(3，－1)，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)求证：⊥； (2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使＝＋(t －3) ，＝－k ＋t ，
且⊥，试求函数关系式k ＝f (t )；
(3)求函数k ＝f (t )的最小值．。