2019年中考数学复习 第四章 几何初步与三角形 第六节 解直角三角形及其应用练习
(江西专用)2019中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第19讲 解直角三角形及
已知斜边和一个锐角（c，∠A） 已知两直角边（a，b）
已知斜边和一条直角边（c，a）
解法 ∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b＝ taanA（或 b＝ c2－a2）
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b ＝c·cosA（或 b＝ c2－a2）
c＝ a2＋b2，由 tanA＝ab求∠A， ∠B＝90°－∠A b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠A， ∠B＝90°－∠A
• 3．解直角三角形应用的有关概念
概念
定义
图形
在视线与水平线所成的锐角中，视线在
仰角、俯角
水平线上方的角叫仰角，视线在水平线
下方的角叫俯角
坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫
坡度（坡比）、坡角
坡度（坡比），用字母 i 表示；坡面与水 平面的夹角 α 叫坡角，i＝tanα＝hl
概念 方向角
定义 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方 向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一 般指锐角），通常表示成北（南）偏东（西）多少 度，方向角的角度值在 0°～90°之间．如图，点 A， B，C 关于 O 点的方向角分别是北偏东 30°，南偏 东 60°，北偏西 45°（也称西北方向）
③三角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C．
（3）面积公式：S△ABC＝12ab＝③____12_ch___.（h 为斜边 c 上的高） （4）边角间关系：sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba.
• 2．解直角三角形的常见类型和解法
已知条件
图形
一直角边和一锐角（a，∠A）
江西5年真题 · 精选
命题点 解直角三角形的实际应用（5年6考） 1．（2015·江西 13 题 3 分）如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面 抽象为如图 2 所示的几何图形．已知 BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点 B 到 CD 的距离为_1_4．__1____cm（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643， cos40°≈0.766，结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器）．
2019年中考数学全国通用复习讲义§6.3 解直角三角形(讲解部分)
答：这栋高楼的高度为（４０ ３ ＋１Ｃ ＝ ＢＤ ＋ ＣＤ ＝ （４０ ３ ＋１２０㊃ｔａｎ ６５ʎ ） ｍ ．
ʑ ＣＤ ＝ １２０㊃ｔａｎ ６５ʎ ｍ，
（４ 分） （６ 分）
６．５ ｍ（ 即 ＢＣ ＝ ６． ５ ｍ） ，求标语牌 ＣＤ 的长 （ 结果保留小数点后一 ʈ１． ７３）
解析㊀ 在 ＲｔәＡＢＤ 中，
第六章㊀ 空间与图形
４９ ㊀
３００ ｃｍ，ＡＢ 的倾斜角为 ３０ʎ， ＢＥ ＝ ＣＡ ＝ ５０ ｃｍ， 支撑角钢 ＣＤ， ＥＦ
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４８ ㊀
ɦ ６． ３㊀ 解直角三角形
１５４
㊀ ㊀ １． 在 ＲｔәＡＢＣ 中，øＣ ＝ ９０ʎ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＣ ＝ ｂ， ＡＢ ＝ ｃ， 则 ｓｉｎ Ａ ＝ ａ ｂ ａ ，ｃｏｓ Ａ ＝ ①㊀ ㊀ ，ｔａｎ Ａ ＝ ②㊀ ㊀ ． ｃ ｃ ｂ
考点一㊀ 锐角三角函数
㊀ ㊀ 在 ＲｔәＡＢＣ 中，øＣ ＝ ９０ʎ，øＡ㊁øＢ㊁øＣ 的对边分别为 ａ㊁ｂ㊁ ｃ，则有下列关系： （１） 直角三角形中角的关系：øＡ ＋øＢ ＝ ９０ʎ． （２） 直角三角形中边的关系：⑥㊀ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＝ ｃ２ ㊀ ． ａ ｂ １ ＝ ⑧㊀ ㊀ ． ，ｔａｎ Ａ ＝ ｂ ｃ ｔａｎ Ｂ
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
中考解直角三角形知识点复习
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形;考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形;经典直角三角形：勾三、股四、弦五用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1确定最大边不妨设为c ；2若c 2＝a 2＋b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2,则此三角形为钝角三角形其中c 为最大边； 若a 2＋b 2＞c 2,则此三角形为锐角三角形其中c 为最大边4. 勾股定理的作用：1已知直角三角形的两边求第三边; 2已知直角三角形的一边,求另两边的关系;3用于证明线段平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA,即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA,即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA,即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sinα cos αtan α 1 cot α14、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A ； 2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4商弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时,1正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；2余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；3正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；4余切值随着角度的增大或减小而减小或增大 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形; 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c 1三边之间的关系：222c b a =+勾股定理 2锐角之间的关系：∠A+∠B=90°3边角之间的关系：正弦sin,余弦cos,正切tan4 面积公式：h c 为c 边上的高考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：1仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角;2坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等; 把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==; 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;解直角三角形的基本类型及其解法公式总结2测量底部可以到达的物体的高度h ＝h 1＋h 2＝a 1tan α＋tan β3测量底部不可到达的物体的高度1数学模型所用工具 应测数据 数量关系根据 理论 皮尺 侧倾器仰角α 俯角β 高度a tan α＝x h 1 ,tan β＝xah ＝a ＋h 1＝a ＋a ＝a1＋矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α 俯角β 高度 tan α＝, tan β＝xa∴x ＝＝ ∴h ＝a －测量底部不可到达的物体的高度2数字模型 所用工具 应测距离 数量关系根据 原理皮尺侧倾器 仰角α, 仰角β 水平距离a 1 侧倾器高a 2tan α＝xa h +11tan β＝x h 1∴h 1＝αββαtan tan tan tan 1-ah ＝a 2＋h 1＝a 2＋αββαtan tan tan tan 1-a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝ h ＝tan α＝, tan β＝、h ＝仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝h ＝第三部分 真题分类汇编详解2007-2012200719．本小题满分6分一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈2200819．本小题满分6分在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且2AB =米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6,最大夹角β为64.5．请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米结果保留两个有效数字参考数据：sin18.60.32=,tan18.60.34=,sin 64.50.90=,tan 64.5 2.1=200919．本小题满分6分在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器,测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°,然后往塔的方向前进50米到达B 处,此时测得仰D ＤＣ BβC GEFhα β x h xaα βhAa x α βhaxαβ hx α β角37CGE ∠=°,已知测倾器高米,请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． 参考数据：3sin 375°≈,3tan 374°≈,9sin 2125°≈,3tan 218°≈ 201019．本小题满分6分小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．结果保留整数参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，解：201119．6分某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 原来的40o 减至35o ．已知原楼梯AB 长为5m,调整后的楼梯所占地 面CD 有多长结果精确到0.1m ．参考数据：sin40o ≈,cos40o ≈≈,tan35o ≈ 201220.8分附历年真题标准答案：200719．本小题满分6分解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°． ∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近． …………………………6′ 200819．本小题满分6分解：设CD 为x ,在Rt△BCD 中, 6.18==∠αBDC ,∵CDBCBDC =∠tan ,∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ········· 2′ 在Rt△ACD 中, 5.64==∠βADC , ∵CDACADC =∠tan ,∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=,∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为米． 200919．本小题满分6分B CD A CG EDBAF B37° 48°DC A 第19题图40o 35o ADBC解：由题意知CD AD ⊥,EF AD ∥, ∴90CEF ∠=°,设CE x =,在Rt CEF △中,tan CE CFE EF ∠=,则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中,tan CE CGE GE ∠=,则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°∵EF FG EG =+,∴845033x x =+． 37.5x =,∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=米．答：古塔的高度约是39米． ························ 6分 201019．本小题满分6分解：设CD = x ．在Rt △ACD 中,tan37ADCD︒=, 则34AD x =,∴34AD x =. 在Rt△BCD 中,tan48° = BD CD,则1110BD x=, ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ,∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分201119．本小题满分6分 201220.8分第19题图。
中考数学复习《解直角三角形》 知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
精选-中考数学复习第四章几何初步与三角形第六节解直角三角形及其应用课件
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考点三 解直角三角形 (5年0考)
例3 (2018·自贡中考)如图，在△ABC中，BC＝12，tan A
3
＝ ，∠B＝30°，求AC和AB的长．
4
【分析】 过点C作CD⊥AB，在直角三角形中求出AD，BD，即 可得解．
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仅供学习交流！！！
【自主解答】如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△BCD中， ∵∠B＝30°，BC＝12， ∴CD＝BCsin 30°＝6，
BD＝BCcos 30°＝6 .3最新Βιβλιοθήκη 精选中小学课件17
在Rt△ACD中，
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6．(2018·贵阳中考)如图，A，B，C是小正方形的顶点， 且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为( B )
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7．(2018·齐齐哈尔中考)四3边形ABCD中，BD是对角线， ∠ABC＝90°，tan∠ABD＝ 4，AB＝20，BC＝10，AD＝13，
例2 在△ABC中，若|sin A－ 2|＋( 3－cos B)2＝0， ∠A，∠B都是锐角，则∠C＝ 2 ． 2
【分析】 根据绝对值及完全平方的非负性，可得出∠A 及∠B的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出∠C的
度数．
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【自主解答】∵|sin A－ 2 |＋( 3 －cos B)2＝0，
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【自主解答】由勾股定理可得AB2＝32＋42＝25，
BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，
∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，
2019届中考数学总复习第四章三角形课时17解直角三角形及其应用课件
• ☞ 思路点拨 • 过点A作AE⊥BD于点E.分别求出BE，DE的长，即可求得BD的长，再根 据CD＝BD－BC计算即可．
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【解答】如答图，过点A作AE⊥BD于点E. 在Rt△AEB中，∵∠EAB＝30° ，AB＝10 m， 1 ∴BE＝ AB＝5 m，AE＝5 2 ∴BD＝DE＋BE＝12.79 m， ∴CD＝BD－BC＝12.79－6.5≈6.3 m. 答：标语牌CD的长约为6.3 m. 3 m.
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解：(1)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90° ，∠BCA＝60° ，AB＝60米， AB 60 ∴AC＝ ＝ ＝20 3(米)． tan60° 3 答：坡底C点到大楼距离AC的值是20 3 米． (2)过点D作DF⊥AB于点F.设CD＝2x，则DE＝x，CE＝ 3x. 在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45° ，∴BF＝DF，∴60－x＝20 3＋ 3x， 解得x＝40 3－60，∴CD＝2x＝80 3－120，即CD的长为(80 3－120)米． 答：斜坡CD的长度为(80 3－120)米．
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【注意】直角三角形中的边角关系 三边关系 三角关系 边角关系 勾股定理：a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝∠C a b a 1 sinA＝ c ＝cosB，cosA＝ c ＝sinB，tanA＝b＝ tanB
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• 2．解直角三角形的常见类型和解法
已知条件 一直角边和一锐角 (a，∠A) 斜边和一锐角(c， ∠A) 两直角边(a，b) 斜边和一直角边 (c，a)
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• 6．4月26日，2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视 台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观 测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的高度CD为200米，点A， 200( ______________ 3＋1) D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是 米．
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
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第六节 解直角三角形及其应用
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2018·天津中考)cos 30°的值等于( ) A.2
2
B.3
2
C ．1
D. 3
2．(2018·云南中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为( ) A ．3
B.13
C.1010
D.310
10
3．(2019·易错题)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝12
13，则小车上升
的高度是( )
A ．5米
B ．6米
C ．6.5米
D ．12米
4．(2018·孝感中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于( )
A.3
5
B.4
5
C.3
4
D.43
5．(2018·宜昌中考)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于( )
A ．100sin 35°米
B ．100sin 55°米
C ．100tan 35°米
D ．100tan 55°米
6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1＝
2
2
，则∠2的度数为( )
A ．120°
B ．135°
C ．145°
D ．150°
7．(2018·天水中考)已知在Rt △ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝12
13，则tan B 的值为________．
8．(2019·原创题)如图，已知△ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos C 的值为________．
9．(2018·咸宁中考)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为___________(结果保留整数，3≈1.73)
10．(2019·原创题)某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P 处建一个监测点，道路AB 段为检测区(如图)．在△ABP 中，∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
11．(2018·恩施州中考)如图所示，为测量旗台A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在A 处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．(结果精确到1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73)
12．(2019·原创题)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A>
3
2
，则下列各式成立的是( )
A ．cos A>1
2
B ．sin B<1
2
C ．tan B> 3
D ．tan A< 3
13．(2018·重庆中考B 卷)如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，
然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )
A．21.7米B．22.4米
C．27.4米D．28.8米
14．(2018·眉山中考)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．
15．(2017·黑龙江中考)△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是______________．16．(2018·湘西州中考)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A，B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10 km.
(1)求景点B与C的距离；
(2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)
17．(2018·安徽中考)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan 84.3°≈10.02)
18．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
si n(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝
3
2
×
3
2
＋
1
2
×
1
2
＝1.
类似地，可以求得sin15°的值是________．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.B 7.
512 8.2
2
9.300 10．解：如图，作PC⊥AB 于点C.
在Rt△APC 中，tan∠PAC＝PC AC ，
则AC ＝PC
tan∠PAC ＝1003≈173(米)．
同理，BC ＝PC
tan∠PBA ＝PC ＝100(米)，
则AB ＝AC ＋BC ＝273(米)． ∵40千米/时＝100
9米/秒，
则273÷100
9
≈24.6(秒)．
答：车辆通过AB 段的时间在24.6秒内时，可认定为超速． 11．解：如图，由题意知∠MAC＝30°，∠NBC＝15°，
∴∠BAC＝60°， ∠ABC＝75°，
∴∠C＝45°.
过点B 作BE⊥AC，垂足为E. 在Rt△AEB 中，
∵∠BAC＝60°，AB ＝100米，
∴AE＝cos∠BAC·AB＝1
2×100＝50(米)，
BE ＝sin∠BAC·AB＝3
2
×100＝503(米)． 在Rt△CEB 中，
∵∠C＝45°，BE ＝503米， ∴CE＝BE ＝503米，
∴AC＝AE ＋CE ＝50＋503≈137(米)． 答：旗台与图书馆之间的距离约为137米． 【拔高训练】 12．B 13.A
14．2 15.153或21 3
16．解：(1)如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°， ∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°， ∴∠CAB ＝∠C＝30°，∴BC＝AB ＝10 km ， 即景点B ，C 相距的路程为10 km.
(2)如图，过点C 作CE⊥AB 于点E.
∵BC＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上， ∴∠CBE＝60°. 在Rt△CBE 中，CE ＝
3
2
BC ＝53(km)． 17．解：由题意可得∠FED＝45°.
在Rt△DEF 中，∵∠FDE＝90°，∠FED＝45°， ∴DE＝DF ＝1.8米，EF ＝2DE ＝92
5(米)．
∵∠AEB＝∠FED＝45°，
∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠FED＝90°.
在Rt△AE F 中，
∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°＋45°＝84.3°， ∴AE＝EF·tan∠AFE≈92
5×10.02＝18.0362(米)．
在Rt△ABE 中，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°， ∴AB＝AE·sin∠AEB≈18.0362×2
2
≈18(米)． 答：旗杆AB 的高度约为18米． 【培优训练】 18.6－2
4。