内蒙古呼伦贝尔市尼一中2016-2017学年高二上学期期末数学(文科)试卷 Word版含解析

尼尔基第一中学2016-2017学年高二（上）期末试卷 （文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则（ ）A ．￢p ：∃x ∈R ，x 2≥0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2≤0D ．￢p ：∀x ∈R ，x 2＜02．椭圆（θ为参数）的长轴长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．已知点P 的直角坐标为（﹣1，），则点P 的极坐标为（ ）A ．（2，）B ．（2，）C ．（2，﹣）D ．（2，﹣）4．下列说法正确的是（ ）A ．合情推理和演绎推理的结果都是正确的B ．若事件A ，B 是互斥事件，则A ，B 是对立事件C ．若事件A ，B 是对立事件，则A ，B 是互斥事件D ．“复数z=a+bi （a ，b ∈R ）是纯虚数”是“a=0”的必要不充分条件5．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）A ．60%，60B ．60%，80C ．80%，80D ．80%，60 6．将曲线y=sin3x 变为y=2sinx 的伸缩变换是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设复数z=，则=（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i8．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（ ）A ．s 1＞s 2B ．s 1=s 2C ．s 1＜s 2D ．不确定9．已知某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）所得的数据如表：经分析，y 与x 有较强的线性相关性，且=0.95x+，则等于（ ）A ．2.6B ．2.4C ．2.7D ．2.510．已知Q={（x ，y ）|x+y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A={（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，x ﹣2y ≥0}，若向区域Q 上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．过点作直线，使它与双曲线=1有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．如图F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…照此规律，第6个等式可为______．14．某单位有技工18人，技术员12人，工程师6人，现从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，则都不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需在总体中剔除1人，由此推断样本容量n为______．15．阅读如图的程序，输出结果为______．16．设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知命题p：f（x）=x2+（4m﹣2）x+5在区间（﹣∞，0）上是减函数，命题q：不等式x2﹣2x+1﹣m＞0的解集是R，若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合．直线l过点P（﹣1，﹣1），倾斜角为45°，曲线C的极坐标方程为ρ=sin（θ+）．直线l与曲线C相交于M，N两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积．19．在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性240人，其中有40人患色盲，调查的260名女性中有10人患色盲．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；（Ⅱ）能否有99.9%的把握认为“性别与患色盲有关系”？附1：随机变量K2=附2：临界值参考表：20．由507名画师集体创作的999幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示．（Ⅰ）求a，b的值；并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；（Ⅲ）在抽出的[20，25）岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师．在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？21．设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．22．已知椭圆C 1：+=1 （a ＞b ＞0）的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ． （i ）求点M 的轨迹C 2的方程；（ii ）过点F 2作两条相互垂直的直线交曲线C 2于A 、C 、B 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值．尼尔基第一中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则（ ）A ．￢p ：∃x ∈R ，x 2≥0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2≤0D ．￢p ：∀x ∈R ，x 2＜0 【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题是全称命题， 则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．椭圆（θ为参数）的长轴长为（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】椭圆的参数方程；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的标准方程，然后求解椭圆的长轴长．【解答】解：椭圆（θ为参数）可得，可得长半轴a=5，椭圆的长轴长为10．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．已知点P的直角坐标为（﹣1，），则点P的极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，﹣）D．（2，﹣）【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】本题利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到本题结论．【解答】解：∵点P的直角坐标为（﹣1，），∴，．∵点P在第二象限，∴取θ=．∴点P的极坐标方程为（2，）．故选：B．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限．本题难度不大，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．合情推理和演绎推理的结果都是正确的B．若事件A，B是互斥事件，则A，B是对立事件C．若事件A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D．“复数z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数”是“a=0”的必要不充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用推理判断A的正误，事件的互斥与对立判断B、C的正误，充要条件判断D的正误．【解答】解：合情推理和演绎推理的结果不一定是正确的，所以A不正确；若事件A，B是互斥事件，则A，B是不一定是对立事件，所以B不正确；若事件A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，满足对立事件的定义，所以C正确；“复数z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数”是“a=0”的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．5．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80故选C．【点评】本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量．6．将曲线y=sin3x变为y=2sinx的伸缩变换是（）A ．B ．C ．D ．【考点】伸缩变换．【分析】先设出在伸缩变换前后的坐标，对比曲线变换前后的解析式就可以求出此伸缩变换．【解答】解：设曲线y=2sinx 上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x ，y ）根据曲线y=sin3x 变为曲线y′=2sinx′，∴伸缩变换是，故选：D ．【点评】本题主要考查了伸缩变换的有关知识，以及图象之间的联系，属于基础题．7．设复数z=，则=（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z=，利用两个复数代数形式的除法法则化简为a+bi ，从而得到它的共轭复数．【解答】解：∵复数z===i （1+i ）=﹣1+i ，∴=﹣1﹣i ， 故选：D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．8．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（ ）A ．s 1＞s 2B ．s 1=s 2C ．s 1＜s 2D ．不确定 【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】首先做出两个选手的平均分，结果两个选手的平均分相同，观察两个人的分数在茎叶图中甲的分数是单峰的，比较集中，而乙的分数是双峰的，比较分散，由茎叶图的性质可得答案．【解答】解：甲选手的平均分是=84乙选手的平均分是=84这两个选手的平均分是相同的，从茎叶图上看甲的分数是单峰的，分数比较集中，乙的分数是双峰的，分数分散，∴甲的方差一定小于乙的方差，故选C．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查从茎叶图中观察两组数据的波动大小，考查求两组数据的平均数，本题是一个基础题．9．已知某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）所得的数据如表：经分析，y与x有较强的线性相关性，且=0.95x+，则等于（）A．2.6 B．2.4 C．2.7 D．2.5【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标代入回归直线方程求解即可．【解答】解：由题意可知： =， ==4.5．因为回归直线经过样本中心，所以4.5=0.95×2+，解得=2.6．故选：A．【点评】本题考查回归直线方程的应用，基本知识的考查．10．已知Q={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域Q上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S==18；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部==4可以计算出它的面积为S1根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．11．过点作直线，使它与双曲线=1有且只有一个公共点，这样的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论．【解答】解：∵点P 点，x=5时，y=±，显然点在双曲线上，过点作直线，与双曲线=1有且只有一个公共点的直线有3条． 第1条是双曲线的切线，第2、3条是与两条渐近线平行的直线，综上，符合条件的直线只有3条．故选：C ．【点评】本题考查了直线与双曲线的交点的问题，解题时应灵活应用双曲线的渐近线，是基础题．12．如图F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】由题设条件知，把A 代入椭圆，得，整理，得e 4﹣8e 2+4=0，由此能够求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意知，把A 代入椭圆，得，∴（a 2﹣c 2）c 2+3a 2c 2=4a 2（a 2﹣c 2），整理，得e4﹣8e2+4=0，∴，∵0＜e＜1，∴．故选D．【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…照此规律，第6个等式可为13+23+33+43+53+63=441 ．【考点】归纳推理．【分析】可以发现等式左边是连续整数的立方和，右边是1+2+3+…+n的平方．从而写出第六个等式．【解答】解：13=1=12，13+23=9=32，13+23+33=36=62，13+23+33+43=100=102，13+23+33+43+53=152=225，13+23+33+43+53+63=212=441．故答案为：13+23+33+43+53+63=441．【点评】本题考查归纳推理及运用，注意总结等式的左右特点是解题的关键．14．某单位有技工18人，技术员12人，工程师6人，现从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，则都不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需在总体中剔除1人，由此推断样本容量n为 6 ．【考点】系统抽样方法；分层抽样方法．【分析】采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，根据总体个数，分层抽样的比例和抽取的工程师人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到必须是整数，从而得出n 的值．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6=，技术员人数为×12=，技工人数为×18=，∵n 应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是36﹣1=35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n=6． 故答案为：6．【点评】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析与讨论，以便求出样本容量，是基础题目．15．阅读如图的程序，输出结果为 15 ．【考点】伪代码． 【分析】根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出结果． 【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；i=1，s=2×0+1=1， i=2，s=2×1+1=3， i=3，s=2×3+1=7，i=4，s=2×7+1=15； 结束循环，输出s=15． 故答案为：15．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．16．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若，则=6 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据，可判断点F 是△ABC 重心，进而可求x 1+x 2+x 3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．【解答】解：抛物线焦点坐标F （1，0），准线方程：x=﹣1设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）∵=，∴点F 是△ABC 重心， ∴x 1+x 2+x 3=3，∵|FA|=x 1﹣（﹣1）=x 1+1，|FB|=x 2﹣（﹣1）=x 2+1，|FC|=x 3﹣（﹣1）=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=（x 1+x 2+x 3）+3=3+3=6故答案为：6【点评】本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F点为三角形的重心．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知命题p：f（x）=x2+（4m﹣2）x+5在区间（﹣∞，0）上是减函数，命题q：不等式x2﹣2x+1﹣m＞0的解集是R，若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．【分析】利用已知条件判断命题的真假，列出不等式求解即可．【解答】解：若命题p为真，即f（x）=x2+（4m﹣2）x+5在区间（﹣∞，0）上是减函数，只需对称轴x=1﹣2m≥0，即若命题q为真，即不等式x2﹣2x+1﹣m＞0的解集是R，只需△=4﹣4（1﹣m）＜0，即m＜0因为“p∨q”为真，命题“p∧q”为假所以p，q一真一假，所以【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．18．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合．直线l过点P（﹣1，﹣1），倾斜角为45°，曲线C的极坐标方程为ρ=sin（θ+）．直线l与曲线C相交于M，N两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l过点P（﹣1，﹣1），倾斜角为45°，能求出直线l的参数方程，由曲线C的极坐标方程为ρ2=ρsinθ+ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，由此能求出线段MN的长和点P 到M，N两点的距离之积．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（﹣1，﹣1），倾斜角为45°，∴直线l 的参数方程为：．∵曲线C 的极坐标方程为ρ=sin （θ+），∴ρ2=ρsin θ+ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程：x 2+y 2﹣x ﹣y=0．（Ⅱ）把直线l 的参数方程：代入到：x 2+y 2﹣x ﹣y=0．得，∴|MN|=|t 1﹣t 2|==．|PM||PN|=|t 1t 2|=4．【点评】本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段MN 的长和点P 到M ，N 两点的距离之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．19．在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性240人，其中有40人患色盲，调查的260名女性中有10人患色盲．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；（Ⅱ）能否有99.9%的把握认为“性别与患色盲有关系”？附1：随机变量K 2=附2：临界值参考表：【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）直接利用数据建立一个2×2列联表；（Ⅱ）求出随机变量K 2=，即可判断“性别与患色盲有关系”．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）假设H：“性别与患色盲没有关系”，根据（Ⅰ）中2×2列联表中数据，可求得．成立的概率不超过0.001，又P（K2≥10.828）=0.001，即H故有99.9%的把握认为“性别与患色盲有关系”．【点评】本题考查对立检验计算，考查基本知识的应用．20．由507名画师集体创作的999幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示．（Ⅰ）求a，b的值；并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；（Ⅲ）在抽出的[20，25）岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师．在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？【考点】频率分布直方图；频率分布表．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能求出a，b，能补全频率分布直方图．（Ⅱ）利用频率分布直方图能求出507名画师中年龄的平均数的估计值．（Ⅲ）三名男画师记为a，b，c，两名女画师记为1，2，利用列举法能求出选出的恰好是一男一女的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布表得：a=100×0.200=20，b==0.35，∴补全频率分布直方图如图所示：（Ⅱ）507名画师中年龄的平均数的估计值为：22.5×0.05+27.5×0.2+32.5×0.35+37.5×0.3+42.5×0.1=33.5（岁）．（Ⅲ）三名男画师记为a，b，c，两名女画师记为1，2，五人中任选两人的所有基本事件如下：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共10个基本事件，其中一男一女的是（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），共6个基本事件，∴选出的恰好是一男一女的概率p==．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．21．设焦点在y 轴上的双曲线渐近线方程为y=±x ，且焦距为4，已知点A （1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A （1，），过点A 的直线L 交双曲线于M ，N 两点，点A 为线段MN 的中点，求直线L 方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x ，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L 方程．【解答】解：（1）设双曲线的标准方程为（a ＞0，b ＞0），则∵双曲线渐近线方程为y=±x ，且焦距为4，∴，c=2∵c 2=a 2+b 2∴a=1，b=∴双曲线的标准方程为；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），代入双曲线方程可得，两式相减，结合点A （1，）为线段MN 的中点，可得∴=∴直线L 方程为，即4x ﹣6y ﹣1=0．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知椭圆C 1：+=1 （a ＞b ＞0）的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ． （i ）求点M 的轨迹C 2的方程；（ii ）过点F 2作两条相互垂直的直线交曲线C 2于A 、C 、B 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得2a 2=3b 2．再由直线l ：y=x+2与圆x 2+y 2=b 2相切，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 1的方程．（2）（ i ）推导出动点M 到定直线L 1：x=﹣1的距离等于它到定点F 2（1，0）的距离，从而得到动点M 的轨迹C 2是以L 1为准线，F 2为焦点的抛物线，由此能求出点M 的轨迹C 2的方程．（ ii ）由题意令AC ：y=k （x ﹣1），则：，得k 2x 2﹣2（k 2+2）x+k 2=0，由此利用韦达定理、抛物线定义，结合已知条件能求出四边形ABCD 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C 1：+=1 （a ＞b ＞0）的离心率为，∴，∴=，∴2a 2=3b 2．∵直线l ：y=x+2与圆x 2+y 2=b 2相切，∴b=，b 2=2，∴a 2=3．∴椭圆C 1的方程是．（2）（ i ）∵|MP|=|MF 2|，∴动点M 到定直线L 1：x=﹣1的距离等于它到定点F 2（1，0）的距离，∴动点M 的轨迹C 2是以L 1为准线，F 2为焦点的抛物线．∴点M 的轨迹C 2的方程为：y 2=4x ．（ ii ）由题意可知：直线AC 的斜率存在且不为零，F 2（1，0）， 令AC ：y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则：，得k 2x 2﹣2（k 2+2）x+k 2=0，由韦达定理知：， 由抛物线定义知：|AC|=|F 2A|+|F 2B|=（x 1+1）+（x 2+1）=（x 1+x 2）+2=+2=，∵BD ⊥AC ，∴y=﹣（x ﹣1），同样可得：|BD|==4（1+k 2），则S △BCD =|AC||BD|=8=8（）≥8（2+2）=32，（当且仅当k 2=1时取“=”号）∴四边形ABCD 面积的最小值是：8．【点评】本题考查椭圆方程和点的轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、抛物线定、椭圆性质、点到直线距离公式的合理运用．。