第四版姜启源数学模型复习总结(2015年春)

第四版姜启源数学模型复习总结（2015年春）【内容总结与思考】第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。

建模的一般方法及其在建模中的应用。

建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。

建模的全过程（框图）4个环节的含义。

模型的特点（技艺性）。

模型分类（表现特征），建模中的能力培养。

数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。

模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。

抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。

1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（）。

1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（）A。

数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。

B。

数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。

C。

数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。

D。

数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。

1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（）A。

数学模型和数学建模是完全相同的概念。

B。

数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。

C。

数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。

D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。

§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。

例1-2-1 数学建模的具体应用为（）。

§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。

设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。

（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。

（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<， 即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。

因为**(),()f g θθ至少有一个为零，因此**()()0f g θθ==，即*θ对应的位置就是椅子能放稳的位置。

例1-3-1 椅子放稳问题中椅子的位置是用用（ ）来表示的，最后问题归结为（ ）。

例1-3-2 连续的零点定理可叙述为（ ） 1-4 实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。

多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。

例1-4-1商人过河问题属于（ ），该类问题三要素为（ ），在商人过河问题中，这三要素分别是（ ） 1-5实例3-施救问题。

药物排除过程-指数衰减方程：0,(0)dx x x x dtλ=-=，分离变量，积分得到，解0()t x t x e λ-=。

吸收-排除过程的方程：,(0)0dy x y y dtλμ=-=。

求解过程：凑微分（完全积分法）()00,()t t t dy d y x e e y x e dt dt λμμλμ--+== 积分得到()0(t)y(0)[1]t t x e y e μμλμλ--=--，因此 00()(0)[][]t t t t t x x y t e y e e e e μλμλμμλμλ-----=+-=--- 半衰期确定衰减系数：***00()/2,ln 2/t x t x e x t λλ-===例1-6-1 药物施救问题的微分方程模型为（ ）， 其解为（ ）例1-6-2§7 建模方法与步骤基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。

能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。

建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。

模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。

模型假设：分析影响因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。

模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。

尽量采用简单的数学工具。

模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。

模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。

模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。

模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。

建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）掌握框图：四个环节：表述（Formulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题求解（Solution)- 选择适当的数学方法求得数学模型的解答.解释（Interpretation)- 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答. §8 数学模型的特点与分类特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC ）；模型的技艺性（与其说是一门技术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。

分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。

表现形态分为：确定还是随机，静态还是动态，离散还是连续，线性还是非线性。

了解程度分为：白箱，灰箱，黑箱。

§6。

建模能力培养：想象力，洞察力，判断力。

类比和悟性，实践性。

【典型例题分析】习题 4,5,6,7,8习题4对矩形椅子问题构造模型并求解解：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。

设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。

（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。

（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<，即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。

因为**(),()f g θθ至少有一个为零，因此**()()0f g θθ==，即*θ对应的位置就是椅子能放稳的位置。

6.利用1.5节药物中毒施救模型确定孩子（血液总量为2000ml)及成人（血液总量为4000ml ）服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

提示：设初始剂量为x0,求解方程得到血液中的药物量)t (y ，即把)t (y 表示成0x 的函数。

求)t (y 的最大值m ax y ，它是0x 的函数。

根据中毒和致命的血药浓度可分别求出对应的血液药物量的上限，由此求出对应的0x ，即为最小剂量。

7.对于1.5节的模型，如果采用是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血药浓度的变化并作图。

提示：由原模型求出2t ≤时的)t (y ，对于2t ≥，透析使μ变为μ6，)2(y 作为初始条件，求解2t ),t (y >，应用plot 作图。

例1 考虑药物中毒施救问题，肠胃道药物量()x t 和血液系统药物量()y t 满足0)0(,,)0(,0=μ-λ==λ-=y y x dtdy x x x dt dx（a ）求解微分方程初值问题的解(),()x t y t ，写出详细步骤； （b ）取2λμ=，求()y t 的最大值与0x 之间的关系。

解：（a ）t e x t x λ-=0)(，t e x y dt dy λ-λ=μ+0，t t e x y e dt d )(0)(λ-μμλ=，积分得到)1()()(0-λ-μλ=λ-μμt t e x t y e ，)()(0t t e e x t y μ-λ--μ-λλ-= （b ）当μ=λ2时，)1(2)(2)(020t t t t e e x e e x t y μ-μ-μ-μ--=-=其最大值为2/0m ax x y =，其时间为μ=/2ln *t 。

【拓展综合实验项目】1。

应用MATLAB 求解施救问题，图形显示不施救，口服活性炭和血液透析各种情况下的药物变化情况。

研究不同初始条件下的浓度变化情况。

2. 对于“小狗奔跑”问题，对于不同的初始条件，编程计算小狗最终的位置，用数值结果说明小狗最后的位置是不定的，在任何位置都是可能的。

该问题说明这是一个“混沌系统”，小狗的初始位置有各种各样的假设都是合理的，但初始条件的微小差异将导致其最终位置的非常大的变化。