2017届浙江省温州中学高三上学期期末理科数学试题及答案

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若()2a i i b i +=+，其中,∈a b R ，i 是虚数单位，则a b -=（ ▲ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．3 2．()51x -的展开式中，3x 的系数为（ ▲ ）A ．-10B ．-5C ．5D ．103.使不等式230x x -<成立的充分不必要条件是 （ ▲ ）A ．03x <<B 04x <<C 02x <<D 0x <，或3x > 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为（ ▲ ）A ．102B ．410C ．614D ．16385．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是不重合的直线，下列判断正确的是 （ ▲ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγB ．若,,m n αα⊥⊥则//m nC ．若//,//,m n αα则//m nD ．若,//,l αββ⊥则l α⊥ 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ▲ ）A.10B.11C.12D. 13 7．函数 2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的部分图象如图所示，则=)(πf （ ▲ ）A ．4B ．32C ．2D ．38.已知O 为原点，双曲线2221x y a-=上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（ ▲ ）AD9．已知正方体1111ABCD A BC D -，过顶点1A 作平面α，使得直线AC 和1BC 与平面α所成的角都为30 ，这样的平面α可以有（ ▲ ）A.4个B.3个C.2个D.1个10．已知函数q px x x f ++=2)(与函数)))(((x f f f y =有一个相同的零点，则)0(f 与)1(f ( ▲ )A ．均为正值B ．均为负值 C. 一正一负 D. 至少有一个等于0二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 3．12．已知0m >，且cos sin )m αααϕ-+，则tan ϕ= 13.已知ABC ∆中，内角,,A B C ∠∠∠的对边分别记为a ，b ，c ，且60C ∠= ，则a bb c a c+++= 14．已知向量,a b，满足1,()(2)0,a a b a b =+-= 则b的最小值为15．已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+≥，，，m x y y x y 221且y x z 2+=，若z 的最小值的取值范围为[0，2]，则z 的最大值的取值范围是16．设抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物于B A ,两点，则9AF BF+的最小值为17．设集合{}10,,3,2,1 =S ，{}321,,a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，323≤-a a ．则满足条件的子集A 的个数为三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本题满分共14分）甲从装有编号为1,2,3,4,5的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为2,4的卡片的箱子中任取一张,用,X Y 分别表示甲，乙取得的卡片上的数字. （I ）求概率()P X Y >； （II ）设,,X X YY X Yξ≥⎧=⎨<⎩，求ξ的分布列及数学期望.19．（本题满分共14分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知14716a a +=-，且对于任意的n N +∈有n S ，2n S +，1n S +成等差数列； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知n b n =（n N +∈），记312123n n nb b b bT a a a a =++++ ，若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围。

20．（本题满分共14分）如图，四边形ABCD 为矩形，2AEB π∠=,BC ⊥平面ABE ，BF ⊥CE ，垂足为F.（1）求证：BF ⊥平面AEC;（2）已知AB=2BC=2BE=2，在线段DE 上是否存在一点 P ，使二面角P-AC-E为直二面角，如果存在，请确定P 点的位置，如果不存在，请说明理由。

[来源:学,科,网]21．（本题满分共15分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A ，且离心率等于，过点(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于不同两点,P Q ，点N 在线段PQ 上。

（I ）求椭圆的标准方程（II ）设||||||||PM MQ PN NQ λ==，若直线l 与y 试求λ的取值范围。

22．（本题满分共15分）已知函数x ax x f a -+=)1ln()(，（ax a 1,0->>）的最大值可记为)(a g（Ⅰ）求关于a 的函数)(a g 的解析式；（Ⅱ）已知*t N ∈，当a t ≥时，()2(1)ln a g a f t ≤+恒成立，求t 的最小值。

[来源:Z_xx_]温州市2017学年高三期末考试参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．))11． 40 ， 12． -2 ， 13． 1 ， 14．12， 15． [1153，] ，16． 16 ，17． 85 ．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分共14分）甲从装有编号为1,2,3,4,5的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为2,4的卡片的箱子中任取一张,用,X Y 分别表示甲，乙取得的卡片上的数字.（I ）求概率()P X Y >； （II ）设,,X X YY X Yξ≥⎧=⎨<⎩，求ξ的分布列及数学期望.解答：（I ）()25P X Y >= （5分） （II ） （13分）3710E ξ=（14分） 19．（本题满分共14分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知14716a a +=-，且对于任意的n N +∈有n S ，2n S +，1n S +成等差；（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知n b n =（n N +∈），记312123n n nb b b bT a a a a =++++ ，若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围。

解答：132********14111,,,2,12(1)(2),=-211+=1+=-=-()22n n n q S S S S S S a q q a q q a a a q a a a q -∴=+∴++=+∴==- 设公比为，成等差得，7又（），，所以1620．（本题满分共14分）如图，四边形ABCD 为矩形， 2AEB π∠=,BC ⊥平面ABE ，BF ⊥CE ，垂足为F.（1）求证：BF ⊥平面AEC;（2）已知AB=2BC=2BE=2，在线段DE 上是否存在一点 P ，使二面角P-AC-E为直二面角，如果存在，请确定P 点的位置，如果不存在，请说明理由。

解法（一）：(1) BC ⊥平面ABE ⇒BC ⊥AE ，又2AEB π∠=，所以，AE ⊥平面CBE ⇒AE ⊥BF ，而BF ⊥CE ，所以，BF ⊥平面AEC 。

（2）过P 作PK ⊥AC 于K,PL ⊥EC 于L,连接K,L 。

则090PKL ∠=。

设PE=x ，则PK=,4xPL=4x ，KL=1(14x -43x ∴=，所以，P 为DE 的三等分点，且13DP DE =3(1)02220tx y t z y ++-=∴⎪+=⎩，令y=1，则z=-2，72tx -=，而平面AEC的法向量是11,)42BF =- ，721104t--=，解得13t =，所以，存在点P ，且13DP DE=21．（本题满分共15分） 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A ，且离心率等于，过点(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于不同两点,P Q ，点N 在线段PQ 上。

[来源:] （I ）求椭圆的标准方程；（II ）设||||||||PM MQ PN NQ λ== ，若直线l 与y 轴不重合，试求λ的取值范围。

解（1）设椭圆的标准方程是22221(x y a b a b +=>>由于椭圆的一个顶点是A ，故22b =，根据离心率是得，c a==，解得28a =。

所以椭圆的标准方程是22182x y +=。

（2）设112200(,),(,),(,)P x y Q x y N x y 。

设直线l 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立消去y 得22(14)1680k x kx +++=，根据韦达定理得1221614k x x k +=-+，122814x x k =+。

由||||||||PM MQ PN NQ = ，得20201100x x x x x x --=--，整理得120122()x x x x x =+，把上面的等式代入得01x k =-，又点N 在直线2y kx =+上，所以01()21y k k =-+=，于是有11y <<，11121111y y y λ-==---，由11y <，得1111y >-，所以λ>2>λ。

22．（本题满分共15分）已知函数x ax x f a -+=)1ln()(，（ax a 1,0->>）的最大值可记为)(a g（Ⅰ）求关于a 的函数)(a g 的解析式；（Ⅱ）已知*t N ∈，当a t ≥时，()2(1)ln a g a f t ≤+恒成立，求t 的最小值。

解：（Ⅰ）1()111a a a axf x ax ax --'=-=++ 令()0a f x '=，得111a x a a-==- 当11(,1)x a a ∈--时，()0a f x '>，()a f x 是增函数；当1(1,)x a∈-+∞时，()0a f x '<，()a f x 是减函数，所以()a f x 在11x a =-处取到最大值)(a g ，111()ln[1(1)]1ln 1g a a a a a a=+--+=+-。