高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 课时达标检测(五十二)统计 理
高考数学总复习第十章算法初步、统计与统计课时规范练53用样本估计总体理新人教A版(2021学年)
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课时规范练53 用样本估计总体一、基础巩固组1。
一组数据分别为12,16，20,23,20,1５,28，23,则这组数据的中位数是()A。
19 B.20ﻩＣ．21。
5ﻩ D.23２.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数8．38.8８。
88。
７方差s23．53.62.25。
4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是()A。
甲ﻩB。
乙ﻩ C.丙D。
丁3.(2０17广西南宁一模,理3）某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位:克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组,分别为[80,8２），[８2,84),[84,8６),[86,88）,[8８，90）,[９0,9２）,［９2,94）,[94，9６］，则样本的中位数在()A。
第3组ﻩ B.第４组Ｃ。
第５组Ｄ.第6组4。
从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[120，１30)，［１３0，140)，［１４０，150］三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［14０，150]内的学生中选取的人数应为（）Ａ.２ﻩB。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题
X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检 验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率 问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬 奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自 亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是 否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计 的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年 重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识 竞赛，现从中随机抽取了100名学生的 成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]， 统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，
高考数学一轮复习 第十章 统计与统计案例课时跟踪检测58 理 新人教A版(2021年最新整理)
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课时跟踪检测（五十八）[高考基础题型得分练]1．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（)A．93 B．123C．137 D．167答案：C解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77,高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60,该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C。
2．如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在［5，20]内，其分组为[5，10），[10,15）,[15,20],则样本质量落在[15,20］内的频数为（)A．10 B．20C．30 D．40答案：B解析：由题意，得组距为5，故样本质量在［5,10）,[10，15)内的频率分别为0。
3和0.5，所以样本质量在[15,20]内的频率为1－0。
3－0.5＝0。
2,频数为100×0。
2＝20,故选B.3．[2017·河北邢台摸底]样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m。
若该样本的平均值为1，则其方差为（）A。
错误! B.错误!C. 2 D．2答案：D解析:依题意,得m＝5×1－（0＋1＋2＋3)＝－1,样本方差s2＝错误!×(12＋02＋12＋22＋22）＝2,即所求的样本方差为2。
2018年高考数学(理)一轮复习文档第十章统计与统计案例高考零距离10统计与统计案例Word版含答案
统计与统计案例1．统计与统计案例是高考命题的热点之一，从题型上看，多为选择题和解答题． 2．选择题常出现在第3～4题的位置，多考查统计图表的识别、抽样方法的选取、变量间的相关性判断等，难度较小．3．解答题常出现在第18～19题的位置，多与概率交汇考查，再考查用求线性回归方程、样本的相关性检验、用样本估计总体等，难度中等．1．(必修3 P58内文改编)某校高三年级共有800名学生，学号从1～800号，现用系统抽样抽出样本容量为n的样本；从小号到大号抽出的第1个数为8号，第6个数为168，则抽取的第3个数是多少号( )A．64 B．72C．80 D．88B 由系统抽样的特点得8＋(6－1)×k＝168，k＝32.所以抽取的第3个数为8＋(3－1)×32＝72(号)，故选B．2．(选修23 P97练习改编)某班班主任对全班30名男生进行了“认为作业量多少”的调查，数据如下表：该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．附表：计算得K 2的观测值为k ＝30×（12×8－2×8）14×16×20×10≈4.286>3.841，则推断犯错误的概率不超过0.050.0.0503．(必修3 P95习题2.3B 组T1改编)某店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x 与日销售量y 之间有如下关系：经计算得：x 与y 具有线性相关关系且∑4i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝－11，∑4i ＝1(x i －x )2＝5，并据此估计日利润达到最大值时，销售单价约为________(结果保留一位有效数字)．(附：y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －b ^x ) 由题知，b ^＝∑4i ＝1（x i －x （y i －y ）∑4i ＝1 （x i －x ）2＝－115＝－2.2， 结合数表可得x ＝6.5，y ＝7，由y ^＝b ^x ＋a ^，得a ^＝y －b ^x ＝7－(－2.2)×6.5＝21.3.销售单价为x 时的利润为w ＝(x －4)(－2.2x ＋21.3)＝－2.2x 2＋30.1x －85.2，故当x＝错误!≈7时，日利润最大． 7元/件。
最新高考数学(理)一轮复习第十章 统计与统计案例习题及答案
第十章⎪⎪⎪统计与统计案例第一节 统 计突破点(一) 随机抽样1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机法． 2．系统抽样在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．3．分层抽样在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．4．三种抽样方法的比较本节主要包括2个知识点： 1.随机抽样； 2.用样本估计总体.1．抽签法的步骤第一步，将总体中的N个个体编号；第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀；第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．2．随机法的步骤第一步，将个体编号；第二步，在随机表中任选一个开始；第三步，从选定的开始，按照一定抽样规则在随机表中选取字，取足满足要求的字就得到样本的号码．[例1] (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是( )A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验(2)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机表选取5个个体，选取方法是从随机表第1行的第5列和第6列字开始由左到右依次选取两个字，则选出的第5个个体的编号为( )C．02 D．01[解析] (1)选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.[答案] (1)D (2)D系统抽样的步骤(1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔k(k∈N*)，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整时，取k＝Nn；(3)在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．[例2] (1)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人为( )A ．11B ．12C ．13D ．14(2)中央电视台为了解观众对《中国好歌曲》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．[解析] (1)由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一人，因为包含整个组，所以抽取个体在区间[481,720]的目为(720－480)÷20＝12.(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.[答案] (1)B (2)2 10 [易错提醒]用系统抽样法抽取样本，当N n 不为整时，取k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n ，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N －nk )个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．分层抽样进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个N ＝该层抽取的个体该层的个体；(2)总体中某两层的个体之比＝样本中这两层抽取的个体之比．[例3] (1)某校老年、中年和青年教师的人见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人为( )类别人A．90 B．100C．180 D．300(2)(2016·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )A．54 B．90C．45 D．126(3)某学校三个兴趣小组的学生人分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．[解析] (1)设该样本中的老年教师人为x，由题意及分层抽样的特点得x900＝3201 600，故x＝180.(2)依题意得33＋5＋7×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.(3)由题意知1245＋15＝3045＋15＋30＋10＋a＋20，解得a＝30.[答案] (1)C (2)B (3)30 [方法技巧]分层抽样的解题策略(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．(4)抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本量各层个体量.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法①1,2,3， (100)②001,002， (100)③00,01,02， (99)④01,02,03， (100)其中正确的序号是( )A．②③④ B．③④C．②③ D．①②解析：选C 根据随机法编号可知，①④编号位不统一．2.[考点三]为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C学校中应抽取的人为( )A．10 B．12C．18 D．24解析：选A 根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人为90180＋270＋90×60＝10.3.[考点二]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( )A．10 B．11C．12 D．16解析：选D 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.4.[考点三]某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人成等差列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人．解析：设A、B、C三所学校高三文科学生人分别为x，y，z，由题知x，y，z成等差列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1 500，所以y＝500，用分层抽样方法抽取B校学生人为1201 500×500＝40.答案：405.[考点二]为了了解本班学生对络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：57突破点(二) 用样本估计总体1．频率分布直方图和茎叶图(1)作频率分布直方图的步骤①求极差(即一组据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组；③将据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组增加，组距减小，相应的频率折线图会越越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(3)茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始据，而且可以随时记录，这对据的记录和表示都能带方便．2．样本的字特征(1)众、中位、平均①标准差：样本据到平均的一种平均距离，一般用s表示，s＝1 n x1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2].②方差：标准差的平方s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，其中x i(i＝1,2,3，…，n)是样本据，n是样本容量，x是样本平均．③方差与标准差相比，都是衡量样本据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．(3)平均、方差公式的推广若据x1，x2，…，x n的平均为x，方差为s2，则据mx1＋a，mx2＋a，…，mx n ＋a的平均为m x＋a，方差为m2s2.[例1] (1)(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人是( )A．56 B．60 C．120 D．140(2)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段应抽出________人．[解析] (1)由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人为200×0.7＝140，故选D.(2)月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出100×0.15＝15(人)．[答案] (1)D (2)15[方法技巧]1．绘制频率分布直方图时需注意的两点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．2．与频率分布直方图计算有关的两个关系式(1)频率组距×组距＝频率；(2)频样本容量＝频率，此关系式的变形为频频率＝样本容量，样本容量×频率＝频．茎叶图1(1)“叶”的位置只有一个字，而“茎”的位置的字位一般不需要统一；(2)重复出现的据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的据．2．茎叶图通常用记录两位的据，可以用分析单组据，也可以用比较两组据．通过茎叶图可以确定据的中位，据大致集中在哪个茎，据是否关于该茎对称，据分布是否均匀等．[例2] 某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产据(单位：千克)如下．品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423, 427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401, 403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解] (1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．[方法技巧]茎叶图问题的求解策略(1)由于茎叶图完全反映了所有的原始据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图据求出样本据的字特征，进一步估计总体情况．样本的字特征1．用样本估计总体时，样本的平均、标准差只是总体的平均、标准差的近似．实际应用中，需先计算据的平均，分析平均水平，再计算方差(标准差)，分析稳定情况．2．若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本据，计算平均、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本据的分布情况，大致判断平均的范围，并利用据的波动性比较方差(标准差)的大小．考法(一) 与频率分布直方图交汇命题[例3] (2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量据，整得到如下频率分布直方图．(1)如果w为整，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解] (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的据分组与频率分布表如下：]]]] 频率0.10.150.20.250.150.050.050.054×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．[方法技巧]频率分布直方图与众、中位、平均的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众；(2)中位左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二) 与茎叶图交汇命题[例4] (1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组据的中位为17，乙组据的平均为17.4，则x，y的值分别为( )甲组乙组9099 y61 6 6 x629A.7,8 B．(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分的平均分为91.现场作的9个分的茎叶图后有1个据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：87794010x 9 1则7个剩余分的方差为________．[解析] (1)甲组据的中位为17, 故y＝7，乙组据的平均为3×10＋20＋＋6＋6＋x＋5＝17.4，解得x＝7.(2)由图可知去掉的两个是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝36 7.[答案] (1)D (2)36 7[易错提醒]在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本据，弄清楚这个图中字的特点，不要漏掉了据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．考法(三) 与优决策问题交汇[例5] 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环x8.38.88.88.7方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁[解析] 由题目表格中据可知，丙平均环最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.[答案] C[方法技巧]利用样本的字特征解决优决策问题的依据(1)平均反映了据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组据围绕平均波动的大小．标准差、方差越大，据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的字特征描述总体的字特征．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频为( )A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16 解析：选D 设中间一组的频为x ，依题意有x80＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 80，解得x ＝16. 2.[考点二]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．131415⎪⎪⎪⎪0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 91 1 12 2 23 34 45 5 56 67 80 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个据分成7组，每组有5个据，在区间[139,151]上共有20个据，分在20÷5＝4个小组中，每组取1人，共取4人．3.[考点一]某班50位学生期中考试学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.12B ．0.012C ．0.18D ．0.018解析：选D 依题意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.4.[考点三·考法二如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩据的平均和方差分别为( )7984 4 6 479 3A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4解析：选C 依题意，所剩据的平均是80＋15×(4×3＋6＋7)＝85，所剩据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.5.[考点三·考法三甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：________．解析：x－甲＝x－乙＝9，s2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s2甲，故甲更稳定．答案：甲6.[考点三·考法一(2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人，并说明由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x 的值，并说明由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．7.[考点三·考法二某车间20名工人年龄据如下表：(1)求这20(2)以十位为茎，个位为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)由题可知，这20名工人年龄的众是30，极差是40－19＝21. (2)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(3)这20名工人年龄的平均为x ＝120(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴这20名工人年龄的方差为s 2＝120∑20i ＝1 (x i －x )2＝112＋6×22＋7×12＋5×02＋10220＝25220＝12.6.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国丙卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；故D错误．2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合的抽样方法是( )A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样解析：选C 由于该地区的中小学生人比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均及方差(同一组中的据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为5 50＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位高于对乙部门的评分的中位，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组据的平均，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药解：(1)设A药观测据的平均为x，B药观测据的平均为y－.由观测结果可得x－＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y－＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x－>y－，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有10的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．某学校为了了解某年高考学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 在①中，文科考生、科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校学教研组为了解学生学习学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人为13，则n＝( )A．660 B．720 C．780 D．800解析：选B 由已知条件，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n ＝160，解得n＝720.3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人为( )A．93 B．123 C．137 D．167解析：选 C 初中部的女教师人为110×70%＝77，高中部的女教师人为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人为77＋60＝137，故选C.4.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解析：选B ∵x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x甲<x乙；又s2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户为________．解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1，解得x＝0.004 4；(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故户为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)70[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售。
2017届高考数学大一轮复习 第十章 统计、统计案例 理 北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第十章 统计、统计案例 理 北师大版1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本． 3．了解分层抽样和系统抽样方法．1．抽样调查及相关概念通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．2．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 3．分层抽样(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样． (2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．系统抽样(1)系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔抽取其他样本． 系统抽样又叫等距抽样或机械抽样． (2)系统抽样的步骤①先将总体的N 个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．[基础自测]1．(教材改编题)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )A ．33个，34人，33人B ．25人，56人，19人C．30人，40人，30人D．30人，50人，20人解析：因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为：25人，56人，19人．答案：B2．(2016·抚顺质检)为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是( )A．总体是240 B．个体是每一个学生C．样本是40名学生D．样本容量是40解析：总体容量是240，总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40.答案：D3．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是解析：因为所抽取学生的学号成等差数列，即为等距离抽样，属于系统抽样．答案：C4．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的个数为________．解析：抽取男运动员的人数为2148＋36×48＝12.答案：125．若总体中含有1 650个个体，现在要采用系统抽样法，从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除________个个体，编号后应均分为________段，每段有________个个体．解析：计算1 650除以35的余数，可知商为47，余数为5，所以采用系统抽样首先要从总体中随机剔除5个个体，由于抽取的样本容量为35，所以编号后应均分为35段，每段有47个个体．答案：5 35 47考点一简单随机抽样[例1] 某大学为了支持亚运会，从报名的24名大三学生中选6人组成志愿小组，请用抽签法和随机数法设计抽样方案．审题视点考虑到总体的个数较少，利用抽签法和随机数法可容易地获取样本，须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”，随机数法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．解抽签法：第一步：将24名志愿者编号，编号为1,2,3， (24)第二步：将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将24个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．随机数法：第一步：将24名学生编号，编号为01,02,03， (24)第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向选取两列组成两位数；第三步：凡不在01～24中的数或重复出现的数，都不能选取，依次选取即可得到6个样本的编号；第四步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．1．(2016·昆明调研)下列说法中正确说法的个数是( )①总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抓奖活动是抽签法；④整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样；④不正确．答案：C2．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？解：法一：抽签法：将100件轴编号为1,2，…，100，并制成大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．法二：随机数法：将100件轴编号为00,01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如从第21行第1个数开始，选取10个，为68,34,30,13, 70,55,74,77,40,44，这10件即为所要抽取的样本．考点二系统抽样[例2] 某单位在职职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本．审题视点由题意应抽取62人，624不是10的整数倍，需先剔除4人，再利用系统抽样完成抽样．解第一步：将624名职工用随机方式进行编号；第二步：从总体中用随机数法剔除4人，将剩下的620名职工重新编号(分别为000,001,002，…，619)，并分成62段；第三步：在第1段000,001,002，…009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码为l；第四步：将编号为l，l＋10，l＋20，…，l＋610的个体抽出，组成样本．(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．1．(2015·高考湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( ) A．3 B．4C．5 D．6解析：因为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．答案：B2．某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( ) A．15 B．16C．17 D．18解析：由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17.答案：C考点三分层抽样[例3] 某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．审题视点先求出样本抽取的比例，再逐个求解解析应从小学中抽取150150＋75＋25×30＝18(所)．应从中学中抽取75150＋75＋25×30＝9(所)．答案 18 9分层抽样的操作步骤及特点 (1)操作步骤①将总体按一定标准进行分层；②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量； ③在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)． (2)特点①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； ②更充分地反映了总体的情况；③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N.1．(2015·高考北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )A.90 B ．100 C ．180D ．300解析：设该样本中的老年教师人数为x ，由题意得x 900＝3201 600，故x ＝180.答案：C2．(2015·高考福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：男生人数为900－400＝500(人)，设男生应抽取x 人，则有45900＝x500，解得x ＝25.答案：25分层抽样的易错点[典例] 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解题指南 由男生和女生的总人数和样本容量可得分层抽样的比例，进而可得男生的入样人数． 解析 男生人数为560×280560＋420＝160.答案 160阅卷点评 (1)不能正确确定抽样比例从而导致失误． (2)在求解过程中计算失误．备考建议 解决随机抽样问题时，还有以下几点容易造成失误，在备考时要高度关注： (1)熟练掌握各种抽样方法的步骤和适用条件；(2)系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数；(3)分层抽样中各层所占的比例要确定准确．另外，某些情况下还需先剔除若干个体，注意剔除个体的等可能性．◆一条规律三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是n N.◆三个特点(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2015·高考四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．答案：C2．(2016·浙江杭州模拟)某校150名教职员工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教职工编号为00,01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本．下列说法中正确的是( )A．无论采用哪种方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的解析：三种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于30150＝15，故选A.答案：A3．(2014·高考湖南卷)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3解析：根据三种抽样方法的特征求解．由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.答案：D4．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析：设两组中应抽取的城市数为x，由分层抽样的性质可知824＝x6，∴x＝2.答案：25．(2014·高考天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.答案：606．(2016·兰州模拟)最近网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，对此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：577．(2016·沈阳质检)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：18人，结果拳击社被抽出了6人． (1)求拳击社女生有多少人；(2)从围棋社指定的3名男生和2名女生中随机选出2人参加围棋比赛，求这2名同学是一名男生和一名女生的概率． 解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人， ∴628＋m ＝1820＋40＋28＋m，∴m ＝2. (2)指定3男生记为A 1，A 2，A 3,2女生记为B 1，B 2，选取2人有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，B 1B 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2共10种选法，其中一男一女有6种选法，故设A 为“这2名同学是一名男生和一名女生”，则P (A )＝610＝35.8．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，C (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.[B 级 能力突破]1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样解析：由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样． 答案：C2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N ＋.∴24120≤k ＋x 020≤36.∵x 020∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12. 答案：B3．(2016·鄂州模拟)一个总体共有600个个体，随机编号为001,002，…，600.现采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600个个体分三组，从001到300在第一组，从301到495在第2组，从496到600在第3组，则这三组抽中的个数依次为( )A ．25,16,9B ．25,18,7C ．25,17,8D ．25,19,6解析：按照系统抽样，间隔为60050＝12.∵随机号码为003，∴被抽出的个体编号为12k ＋3，所以在001～300间抽出25个个体，从301到495间抽出17个个体，在496～600间抽出8个个体． 答案：C4．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x4 800，解得x ＝1 800(件)．答案：1 8005．(2016·黄冈模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人进一步调查，则在[2 500,3 000)元/月收入段应抽出________人．解析：收入在[2 500,3 000)元/月的人占总数的频率为(3 000－2 500)×0.0005＝0.25，故应抽出100×0.25＝25(人)． 答案：256．某校初一、初二、初三三班各有300人，400人，302人，取系统抽样从中抽取一个容量为100的样本检查学生的视力情况，则初三年级每人被抽到的概率为( )A.3021 002 B.1001 002 C.3001 000D.30302解析：利用系统抽样，虽然剔除2人，但每人能抽到的概率为n N ＝1001002.答案：B7．(2016·衡水中学一模)已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行)63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：20＋18＋4＝42人．①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)从第8行第7列的数开始向右读，依次检查的编号分别为785,916(舍)，955(舍)，667,199，….故最先检查的3个人的编号为785,667,199.(2)①7＋9＋a 100＝30%，∴a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17. ②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31.∵a ≥10，b ≥8，∴a ，b 的搭配为(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14种．记a ≥10，b ≥8，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A .则事件A 包括(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6个基本事件． ∴P (A )＝614＝37，∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为37.第2课时 统计图表、 数据的数字特征及用样本估计总体1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点． 2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．统计图表统计图是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有频率分布直方图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数．即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(2)样本方差、标准差 标准差s ＝1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2]，其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．3．用样本估计总体(1)我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的频率分布估计总体的分布．另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.(3)连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精确地反映出总体在各个范围内取值的百分比．[基础自测]1．(教材改编题)某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为(单位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为( )A ．14.8 mmB ．14.9 mmC ．15.0 mmD ．15.1 mm解析：平均数x ＝18(14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9)＝14.9(mm)．答案：B2．(2016·合肥月考)一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64解析：由列表可知样本数据落在(10,40]上的频数52. 故其频率为0.52. 答案：C3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为________．解析：根据中位数的含义及茎叶图可知，甲的中位数是19，乙的中位数是13. 答案：19、134．已知一个样本为：1,3,4，a,7.它的平均数是4，则这个样本的标准差是________． 解析：由平均数是4，得1＋3＋4＋a ＋75＝4，∴a ＝5，代入标准差的计算公式得s ＝2. 答案：2考点一 频率分布直方图的绘制与应用[例1] 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：(1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在[100,400)h 以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400 h 以上的概率．审题视点 分组及频数统计题中已给出，只需列表画图即可，解答(3)(4)可用频率代替概率．解(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如下：(3)由频率分布表和频率分布直方图可得，寿命在[100,400)h内的电子元件出现的频率为0.10＋0.15＋0.40＝0.65，所以我们估计电子元件寿命在[100,400)h内的概率为0.65.(4)由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为0.20＋0.15＝0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.1．(2016·厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A．90 B．75C．60 D．45。
高三数学一轮精品复习学案：第十章 统计、统计案例
高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例【知识特点】1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。
2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。
增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。
【重点关注】1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。
对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。
2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。
【地位与作用】《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。
数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。
统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。
统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。
统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修2—3第三章（约9课时）。
相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。
高考数学(理)大一轮复习习题：第十章 统计与统计案例 课时达标检测(五十二) 统计 Word版含答案
课时达标检测（五十二）统计1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝( )A．660 B．720 C．780 D．800解析：选B 由已知条件，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n ＝160，解得n＝720.3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．93 B．123 C．137 D．167解析：选C 初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.4.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：选B ∵x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x甲<x乙；又s2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间一、选择题1．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，中位数分别为m甲、m乙，则( )A.x甲<x乙，m甲>m乙B.x甲<x乙，m甲<m乙C.x甲>x乙，m甲>m乙D.x甲>x乙，m甲<m乙解析：选B 由茎叶图知m甲＝22＋182＝20，m乙＝27＋312＝29，∴m甲＜m乙；x甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716，∴x甲<x乙．2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A ，编号落入区间的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0,1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15,16，…，24，共10人．3.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在的网民人数成递减的等差数列，则年龄在的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.6÷3＝0.2.4．10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选 D 依题意，a ＝(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)×110＝14.7.这些数据由小到大依次是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，因此b ＝15，c ＝17，c >b >a .5．(2016·九江二模)已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为2，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a >0)的方差为8，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C 根据方差的性质可知，a 2×2＝8，故a ＝2.6．(2017·邢台模拟)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105 B.305C. 2 D ．2解析：选D 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.二、填空题7.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________．解析：由甲班学生成绩的众数是85，知x ＝5，由乙班学生成绩的中位数是83，得y ＝3.所以x ＋y ＝8.答案：88．某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．解析：由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4～1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在1.4～1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72.答案：729．某学校共有教师300人，其中中级教师有192人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展需求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师64人，则该样本中的高级教师人数为________．解析：由题意可知，高级教师有(300－192)×55＋4＝60人，抽样比k ＝n N ＝64192＝13.故该样本中高级教师的人数为60×13＝20.答案：2010.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝25.答案：25三、解答题11．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283(1)完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；(2)估计8(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限．解：(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：(2)由题意可得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时．(3)由频率分布直方图可知x＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时．12．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A 和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．。
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课时达标检测（五十二）统计[练基础小题——强化运算能力]1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝( ) A．660 B．720 C．780 D．800解析：选B 由已知条件，抽样比为13780＝1 60，从而35600＋780＋n ＝160，解得n＝720.3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．93 B．123 C．137 D．167解析：选C 初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.4.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解析：选B ∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙；又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4；(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)70[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，中位数分别为m甲、m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙解析：选B 由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29，∴m 甲＜m 乙；x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716，∴x 甲<x 乙．2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0,1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15,16，…，24，共10人．3.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析：选C 由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.6÷3＝0.2.4．10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选D 依题意，a ＝(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)×110＝14.7.这些数据由小到大依次是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，因此b ＝15，c ＝17，c >b >a .5．(2016·九江二模)已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为2，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a >0)的方差为8，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C 根据方差的性质可知，a 2×2＝8，故a ＝2.6．(2017·邢台模拟)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105 B.305C. 2 D ．2解析：选D 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.二、填空题7.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________．解析：由甲班学生成绩的众数是85，知x ＝5，由乙班学生成绩的中位数是83，得y ＝3.所以x ＋y ＝8.答案：88．某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．解析：由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4～1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在1.4～1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72.答案：729．某学校共有教师300人，其中中级教师有192人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展需求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师64人，则该样本中的高级教师人数为________．解析：由题意可知，高级教师有(300－192)×55＋4＝60人，抽样比k ＝n N ＝64192＝13.故该样本中高级教师的人数为60×13＝20.答案：2010.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝25.答案：25三、解答题11．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283 (1)完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；(2)估计8(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限．解：(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：(2)由题意可得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时．(3)由频率分布直方图可知x＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时．12．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A 和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．。