二元函数taylor展开
二元泰勒展开
同号,因此f 与 A同号,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
(2) 设 AC B2 0,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 2 0. (9)
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt
),
(t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
(t ) C h k xy p (n1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
表示 h2 fx x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
h x
k
y
m
f
(
x0 ,
y0
)表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，
关于二元函数可微性的判定
关于二元函数可微性的判定二元函数可微性是微积分学中一个重要的概念，对于判断一个二元函数是否可微有着很大的指导作用。
在实际应用中，我们经常需要判断一个二元函数在某一点是否可微，这对于求极值、判断函数的性质等都是至关重要的。
那么，如何判定一个二元函数在某一点是否可微呢？本文将在这方面进行介绍和分析。
我们来回顾一下二元函数的可微性的定义。
对于一个二元函数f(x, y)，在点(x0, y0)处可微的定义为：存在A、B，使得f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+AΔx+BΔy+o(√(Δx^2+Δy^2))o(√(Δx^2+Δy^2))表示当(Δx, Δy)趋于0时，o(√(Δx^2+Δy^2))/√(Δx^2+Δy^2)→0。
接下来，我们将介绍几种常见的二元函数可微性的判定方法：一、偏导数存在且连续对于一个二元函数f(x, y)，如果在点(x0, y0)处的偏导数fx(x0, y0)和fy(x0, y0)都存在且连续，那么此函数在点(x0, y0)处可微。
这是二元函数可微性最为常见的判定方法之一。
我们知道，偏导数的存在表示函数在这一点可导，而偏导数的连续则保证了函数在这一点的导数存在且连续，从而满足了可微的条件。
举个例子：对于二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点(1, 2)处的偏导数分别为fx(1, 2) = 2x = 2和fy(1, 2) = 2y = 4，在点(1, 2)处偏导数存在且连续，因此函数在点(1, 2)处可微。
三、Taylor公式Taylor公式是另一种判定二元函数可微性的方法。
对于一个二元函数f(x, y)，如果在点(x0, y0)附近可以展开成Taylor级数，并且满足f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+AΔx+BΔy+o(√(Δx^2+Δy^2))，则函数在点(x0, y0)处可微。
Taylor公式的展开不仅可以判断函数在某一点的可微性，还可以用于函数的逼近和数值计算等方面。
数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用许文锋华南师范大学数学科学学院信息与计算科学专业 2007级6班指导老师：谢骊玲中文摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用；在最优化问题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用.关键词：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用Taylor Formula and its ApplicationXu WenFeng（Grade 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School ofMathematics,South China Normal University)Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation. And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some non—mathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we mainly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design.Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization, applications一、前言对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数f在0x 点可导，则)())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο，即在点x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x-的高阶无穷小.然而在通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似计算和数值方法上发挥着举足轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论；第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍；第三部分是通过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。
第八节 多元函数的Taylor公式
定理 2 设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )处有极值且可偏导, 则 r (8.7) ∇ f ( x 0 , y0 ) = 0 或即 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 (8.7)'
满足 (8.7 )或(8.7 )' 的点称为 f ( x , y )的驻点.
f ( x , y ) ≥ f ( x 0 , y0 ) 则称f ( x , y )在M 0取得极小值 f ( x0 , y0 ), M 0 ( x0 , y0 )称为 f ( x , y )的极小值点 . 极大值与极小值统称为 极值 , 极大值点与极小值点 统称为极值点 .
如同一元函数 , 首先建立可微函数取得 极值的必要条件 .
∂2 f = − (1 + x + y )− 2 , ∂y 2 ∂k f 一般地 j k − j = ( −1)k −1 ( k − 1)!(1 + x + y )− k , ∂x ∂y
∂k f ( j k − j )( 0 , 0 ) = ( −1)k −1 ( k − 1)! ∂x ∂y
由(8.1)得
+ 2 f xy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 )( y − y0 ) + f yy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( y − y0 )2 ∂ ∂ 2 = [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )], ∂x ∂y
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
浅谈二元函数的带peano型余项的taylor公式
在定理1的条件下（甚至可减弱为f在P。点有
连续的"阶偏导数） R" 也可取为佩亚诺型余项 即
R" — ） o（p" ! — 0，其中 p —槡H% + Hy2，于是得
下述定理2
定理2［） 若函数f在点2。（％。，y。）的某领域 U（P。*）内具有”阶连续偏导数，则对于U（P。*） 内任一点（％。+ H%，y。+ Hy）都成立
槡 此处余项R< = O(pn) != H%2十Hy2 !称它为
Peano型余项. 证明 已知f具有 < 阶连续的偏导数，先把
f%0 + H%y0 + Hy)作为△%的一元函数展开! 即得(1)式： f%0 + H%'0 + Hy) = f%0 ,y° + Hy) +
f% %0! y0 + Hy)H% + 1f% (%°, y° + Hy)H%2
摘 要 本文讨论了二元函数带Peano型余项的泰勒公式及唯一性，例说其应用.
关键词 Peano余项；Taylor公式；存在唯一性
中图分类号 O172
文献标识码 A
文章编号 1008 - 1399(2020)02 - 0063 - 03
On Taylor Formula with Peano Remainder for Functions of TWo Variables
(p = 槡△% % + Hy 2 )
证毕. 例1写出函数f(%,y) = y2在点(11)附近的
Taylor公式(到二阶为止). 根据定理2的公式，易得：
f(%,y) = f(1,1)+ (% —1) ? + (y —1) ?f(1,1)
二元函数求极限的通用方法与技巧
二元函数求极限的通用方法与技巧在数学中，我们经常会遇到二元函数求极限的问题。
二元函数是指含有两个自变量的函数，而求极限则是要求在某个点上函数的值趋于无穷或趋于某个确定的值。
本文将介绍二元函数求极限的通用方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、基本性质首先，我们需要了解二元函数求极限的基本性质。
对于二元函数f(x, y)，如果在点P(a, b)的某个邻域内，f(x, y)的值趋于L，则称L为f(x, y)在点P(a, b)处的极限，记作lim[f(x, y)] = L, (x, y)→(a, b)。
二、分别求限法对于一些特殊的二元函数，我们可以通过将其中一个自变量固定，然后求另一个自变量趋于某个确定的常数，从而得到二元函数的极限。
1. 水平线法对于形如f(x, y) = F(x)的二元函数，我们可以先将其中一个变量固定，对另一个变量求极限。
例如，对于f(x, y) = x^2 + y，我们可以将y固定为某个常数c，然后对x进行求极限，即求lim[x^2 + c]。
通过求解这个一元函数的极限，我们可以得到f(x, y)的极限。
2. 垂直线法类似的，当二元函数f(x, y)中含有一个x和一个y的系数，且此系数仅与其中一个变量相关时，我们可以先固定一个自变量，再对另一个自变量进行求极限。
例如，对于f(x, y) = (x^2 + 2xy)/(3x)，我们可以将x固定为某个常数c，然后对y进行求极限，即求lim[(c^2 +2cy)/(3c)]。
三、使用一元函数的性质除了分别求限法外，我们还可以使用一元函数的性质来求解二元函数的极限。
1. 夹逼定理对于形如g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)的二元函数，如果lim[g(x, y)] =lim[h(x, y)] = L，那么我们可以推断lim[f(x, y)] = L。
2. 代数运算法则对于一组二元函数f(x, y)和g(x, y)，如果lim[f(x, y)] = L1，lim[g(x, y)] = L2，则我们可以利用代数运算法则求解f(x, y)和g(x, y)的和、差、乘积和商的极限。
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二元函数taylor展开
二元函数的T aylor展开是一种将函数在某个点附近用无穷级数来逼近的方法。
通过Taylor展开，我们可以将一个复杂的函数转化为一系列简单的多项式相加，从而更容易进行计算和分析。
Taylor展开的基本思想是将函数在某一点的值和各阶导数值联系起来。
假设我们要将函数f(x, y)在点(x0, y0)附近展开，我们可以得到以下的T aylor展开式：
f(x, y) ≈ f(x0, y0) + (x - x0)∂f/∂x + (y - y0)∂f/∂y + (x - x0)²∂²f/∂x² + (x - x0)(y - y0)∂²f/∂x∂y + (y - y0)²∂²f/∂y² + ...
在这个展开式中，f(x0, y0)是函数在点(x0, y0)处的值，∂f/∂x和∂f/∂y是函数在点(x0, y0)处的偏导数，∂²f/∂x²、∂²f/∂y²和∂²f/∂x∂y 是函数的二阶偏导数。
通过截取T aylor展开式的前几项，我们可以得到函数在(x0, y0)附近的近似值。
当我们选择截取到第n项时，得到的近似值与实际值之间的误差会随着展开点距离目标点的距离的增大而增大。
因此，选择合适的展开点对于得到较精确的近似值是非常重要的。
在实际应用中，Taylor展开有着广泛的用途。
例如，在数值计算中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，通过截取Taylor展开的前几项，我们可以得到较为精确的近似结果。
此外，在物理学和工
程学中，Taylor展开也经常用于分析函数的性质和研究物理现象。
然而，需要注意的是，T aylor展开只在展开点附近有效，当距离展开点较远时，展开式的误差会逐渐增大。
因此，在使用Taylor展开时，我们需要选择合适的展开点，并对展开范围进行合理的限定，以保证近似结果的精度。
Taylor展开还可以用于求解函数的极值和方程的根。
通过对函数进行Taylor展开，并利用展开式的性质，我们可以推导出一些有用的结论，从而简化问题的求解过程。
总结起来，T aylor展开是一种将函数在某一点附近进行近似计算的方法，通过截取展开式的前几项，可以得到函数在展开点附近的近似值。
它在数值计算、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
然而，需要注意选择合适的展开点和合理的展开范围，以保证近似结果的精度。