协方差和相关系数的作用

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第14讲协方差与相关系数

X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关，反之不一定成立。但对下述情形，独立与不相关是一回事：若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
2 1 x2 1 2 dy = 1 x -1 x 1 1 x2 f X ( x) 0, 其他 1 2 E( X ) x 1 x2 d y 0
1

E ( XY )
1
x 2 y 2 1 1 1
( xy/ ) dxdy
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
y 1
1 y 2 1 y 2
xdx dy
1 0 dy 0.
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。但是，在第三章已计算过: X与Y不独立。
第十四讲协方差与相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的协方差和相关系数

协方差与相关系数

其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,

方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系

方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。

（一）方差：方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下：上式中mui为样本均值。

方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。

机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。

（二）标准差：标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式：（三）协方差：协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下：也可以用以下公式表示，两者是等价的：cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y 特征期望或均值。

对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度；协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时，说明两个变量基本没有相关性，接近相互独立。

从以上描述可以看出，协方差可以衡量两个变量相关性大小，绝对值越大，说明越相关。

但是，却不好比较多个变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，因为量纲没有统一。

为了便于比较不同变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，Pearson相关系数被提出了。

Pearson相关系数：如上所述，Pearson相关性系数是为了比较不同变量与另外同一变量间相关性的相对大小，这里要注意的是：Pearson相关性系数衡量的是定距变量间的线性关系，可以用Pearson相关系数来进行特征特征选择。

均值、方差、标准方差、协方差和相关系数

均值、方差、标准方差、协方差和相关系数均值、方差、标准方差、协方差和相关系数是统计学中常用的概念，能够帮助我们更好地理解和描述数据的分布特征以及不同变量之间的关系。

一、均值均值是一组数据中各个数值的平均数。

它是描述数据集中趋势的一种方式，通过计算所有数据点的总和，然后除以数据点的个数来得到。

二、方差方差是衡量一组数据中数据点与其均值之间差异程度的度量。

它是各个数据点与均值差的平方的平均值。

方差越大，说明数据点与均值之间的离散程度越高。

三、标准方差标准方差是方差的平方根。

它衡量数据集中的观测值与均值之间的差异程度，并将其以与原始数据相同的单位进行测量。

标准方差可以帮助我们评估数据集的离散性。

四、协方差协方差是衡量两个变量之间关系的统计量。

它描述了这两个变量的变化趋势是否同向或反向。

具体地说，协方差是各个变量的差与其均值差的乘积的平均值。

协方差公式为：cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))E表示期望，X和Y分别代表两个变量。

五、相关系数相关系数是衡量两个变量之间关系强度和方向的数值。

它取值范围为-1到1之间，接近1表示两个变量正相关，接近-1表示两个变量负相关，接近0表示两个变量没有线性相关性。

相关系数公式为：cor(X, Y) = cov(X, Y) / [σ(X) * σ(Y)]cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σ(X)表示X的标准方差，σ(Y)表示Y的标准方差。

相关系数的绝对值越接近于1，表示两个变量之间的线性关系越强。

如果相关系数为0，说明两个变量之间没有线性关系。

以上是关于均值、方差、标准方差、协方差和相关系数的基本介绍。

它们是统计学中常用的工具，能够帮助我们更好地理解和分析数据。

在实际应用中，我们可以利用这些统计量来描述数据的分布特征和变量之间的关系，并进行相应的推断和决策。

金融计算中的协方差和相关系数计算方法

金融计算中的协方差和相关系数计算方法在金融领域中，协方差和相关系数是两个重要的统计量，用于衡量不同资产之间的关联性。

协方差和相关系数的计算方法对于投资组合的风险管理、资产配置和投资决策具有重要意义。

本文将介绍协方差和相关系数的计算方法，并探讨它们在金融计算中的应用。

协方差是衡量两个随机变量之间关系的统计量。

它描述了两个变量的变化趋势是否一致。

协方差的计算方法如下：1. 计算每个变量的平均值。

2. 将每个变量的观测值减去其平均值，得到离差。

3. 将两个变量的离差相乘，并求和。

4. 将上述结果除以观测值的个数减一，得到协方差。

协方差的计算公式为：cov(X, Y) = Σ((X - μX) * (Y - μY)) / (n - 1)其中，X和Y分别表示两个变量，μX和μY分别表示X和Y的平均值，n表示观测值的个数。

协方差的值可以为正、负或零。

当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量的增加伴随着另一个变量的增加；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量的增加伴随着另一个变量的减少；当协方差为零时，表示两个变量之间没有线性关系。

然而，协方差的值无法直接比较不同变量之间的关联程度，因为它受到变量单位的影响。

为了解决这个问题，引入了相关系数作为衡量变量之间关联程度的统计量。

相关系数是协方差除以两个变量的标准差的乘积，其计算方法如下：1. 计算每个变量的标准差。

2. 将协方差除以两个变量的标准差的乘积。

相关系数的计算公式为：ρ(X, Y) = cov(X, Y) / (σX * σY)其中，ρ表示相关系数，cov表示协方差，σ表示标准差。

相关系数的取值范围在-1到1之间。

当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关关系；当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关关系；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。

协方差和相关系数在金融计算中具有广泛的应用。

例如，在投资组合管理中，投资者可以通过计算不同资产之间的协方差和相关系数来评估它们之间的关联性，从而选择合适的资产组合，以实现风险分散和收益最大化。

简要说明协方差和相关系数的区别

简要说明协方差和相关系数的区别下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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数据分析利器EXCEL的协方差与相关系数

数据分析利器EXCEL的协方差与相关系数在数据分析的领域中，EXCEL是最为常用的工具之一。

其中，协方差和相关系数是用来衡量两个变量之间关系的重要指标。

本文将介绍如何使用EXCEL进行协方差和相关系数的计算，并探讨其在实际数据分析中的应用。

一、协方差的计算与应用协方差是衡量两个变量之间关系强度和方向的统计量。

它描述的是两个变量的总体变动趋势是否相似。

在EXCEL中，我们可以使用COVAR函数来计算协方差。

COVAR函数的使用方法为：=COVAR(范围1, 范围2)。

范围1和范围2是指两个变量的数据范围，可以是单列或单行的数据。

函数将返回两个变量之间的协方差值。

协方差的值越大，表示两个变量的变动趋势越一致；协方差的值越小，表示两个变量的变动趋势越不一致。

当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系。

在实际应用中，我们可以利用协方差来判断两个变量之间的关系。

如果我们希望衡量两个变量的变动趋势，以及它们之间的相关性，协方差可以提供一个初步的评估。

二、相关系数的计算与应用相关系数是衡量两个变量之间关系密切程度的统计量。

与协方差不同的是，相关系数除以了两个变量的标准差，将其标准化，使得相关系数的取值范围在-1到1之间。

在EXCEL中，我们可以使用CORREL 函数来计算相关系数。

CORREL函数的使用方法为：=CORREL(范围1, 范围2)。