商人过河问题数学建模
基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档
基于商人过河游戏的数学建模1提出问题文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人怎样才能安全渡河呢？”此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一个可行的方案来。
文献[1]中通过图解法给出了解答，但是当商人数与随从数发生变化，船能容纳的人数不是二人时，图解法就会变得繁复而难以解决问题。
因此，将上述游戏改为n名商人各带一个随从过河，船每次至多运p个人，至少要有一个人划船，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人怎样才能安全渡河的问题。
除此之外，考虑了随着船载人数的增多，以及商人与仆人的对数增多到多少时，会影响商人的安全渡河的问题。
2问题分析由于这个虚拟的游戏已经理想化了，所以不必再作假设。
我们希望能找出这类问题的规律性，建立数学模型，并通过计算机编程进行求解。
安全渡河游戏可以看做是一个多步决策过程，分步优化，船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶回此岸的每一步，都要对船上的商人和随从做出决策，在保证商人安全的前提下，在无限步内使全部人员过河。
用状态表示某一岸的人员状况，决策表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许范围内，确定每一步的决策，最后获取一个全局最优方案的决策方案，达到渡河的目标。
除此以外，我们还要找出，随着船载人数的增加，商人与仆人对数达到多少时，会影响到商人不能安全过河。
这里要对船载人数进行限制，因为船载人数过多时，此智力游戏会变得相当繁复，就会失去作为游戏的本来意义。
3模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，，，。
将二维向量定义为过程的状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。
当时，；当时，。
记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量定义为决策。
商人过河问题数学建模
作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。
二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。
每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4. 随从会听从商人的调度。
四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。
11对商仆过河问题数学建模.
数学建模论文商仆过河问题摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在11名商人、11名随从、船的最大容量为6人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，利用matlab 7.0，win 7软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
一 .问题的提出当今社会每个人都想当王者，谁都想成为富翁，所以就在这个问题中仆人们也想成为商人。
仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，十一名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳六人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？二. 模型假设3 模型假设（1）每个商人和随从都会划船；（2）只有一条船，且每条船上最多只能乘坐六个人；（3）所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现有人不愿意同坐一条船的现象；（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
三．问题符号说明3符号说明A初始状态下，商人和随从所在的一岸；B初始状态下，商人和随从欲到达的一岸；S 商仆对数K 船最多载人的数目四 .问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
数学建模 商人过河
数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。
对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。
对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。
三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。
四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。
用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。
求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
商人过河模型问题的求解
《数学建模实验》课程考试试题----商人安全过河数学建模与求解一．问题提出：4名商人带4名随从乘一条小船过河，小船每次自能承载至多两人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢二．模型假设：商人和随从都会划船，天气很好，无大风大浪，且船的质量很好，可以保证很多次安全的运载商人和随从。
三．问题分析：商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。
对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
四．模型构成：k x ~第k 次渡河前此岸的商人数，k y ~第k 次渡河前此岸的随从数 k x , k y =0,1,2,3,4; k =1,2,… …k S =(k x , k y )~过程的状态,S ~ 允许状态集合，S={(x , y )| x =0, y =0,1,2,3,4; x =4 ,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3} k u ~第k 次渡船上的商人数k v ~第k 次渡船上的随从数k d =(k u , k v )~决策，D={(u , v )| 21≤+≤v u ,k u , k v =0,1,2} ~允许决策集合 k =1,2,… …因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态k S 随决策k d 的变化规律是1+k S =k S +k )1(-k d ~状态转移律求k d ∈D(k =1,2, …n), 使k S ∈S, 并按转移律由1S =(4,4)到达状态1+n S =(0,0)。
数学建模：研究商人过河问题
数学建模试验一陈述 【1 】试验标题：研讨商人过河问题一.试验目标：编写一个程序（可所以C,C++或Mathlab ）实现商人安然过河问题.二.试验情形：Turbo c 2.0..Matlab 6.0以上三.试验请求：请求该程序不但能找出一组安然过河的可行筹划,还可以得到所有的安然过河可行筹划.并且该程序具有必定的可扩大性,即不但可以实现3个商人,3个侍从的过河问题.还应能实现n 个商人,n 个侍从的过河问题以及n 个不合对象且每个对象有m 个元素问题(解释：对于3个商人,3个侍从问题分离对应于n=2,m=3)的过河问题.从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安然过河筹划.四.试验步调：第一步：问题剖析.这是一个多步决议计划进程,涉及到每一次船上的人员以及要斟酌此岸和此岸上残剩的商人数和侍从数,在安然的前提下（两岸的侍从数不比商人多）,经有限步使全部人员过河.第二步：剖析模子的组成.记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ,侍从数为k y , 2,1=k ,n y x k k 2,1,=,（具有可扩大性）,将）（k k y x ,界说为状况,状况聚集成为许可状况聚集（S ）.S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ,侍从数为k v ,决议计划为),(k k v u ,安然渡河前提下,决议计划的聚集为许可决议计划聚集.许可决议计划聚集记作D,所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向此岸,k 为偶数时船由此岸驶向此岸,所以状况k s 随决议计划k d 变更的纪律是k k k k d s s )1(1-+=-,此式为状况转移律.制订安然渡河筹划归结为如下的多步决议计划模子：求决议计划)2,1(n k D d k =∈,使状况S s k ∈按照转移律,由初始状况)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模子求解.#include "stdio.h"#include "string.h"#include <memory>#include <stdlib.h>#include <iostream>using namespace std;#include "conio.h"FILE *fp;/*设立文件指针,以便将它用于其他函数中*/struct a{long m,s;struct a *next;};/*数组类型a ：记载各类情形下船上的商人和家丁数,m ：代表商人数 s ：代表家丁数*/ struct a *jj,head;/*head 为头指针的链表单元（船上的人数的各类情形的链表）*/ int n,total=0,js=0;/*total 暗示船上各类情形总数*/struct aim {long m1,s1,m2,s2;int n;struct aim *back,*next;};/*用于树立双向的指针链表,记入相符的情形,m1,s1暗示要过岸的商人数和家丁数;m2,s2暗示过岸了的商人数和家丁数,n暗示往返的次数*/ int k1,k2;void freeit(struct aim *p){struct aim *p1=p;p1=p->back;free(p);if(p1!=NULL)p1->next=NULL;return;}/*释放该单元格,并将其上的单元格的next指针还原*/int determ(struct aim *p){ struct aim *p1=p;if(p->s1>k2)return -1;/*家丁数不克不及超出总家丁数*/if(p->m1>k1)return -1;/*商人数不克不及超出总商人数*/if(p->s2>k2)return -1;/*对岸,同上*/if(p->m2>k1)return -1;/*对岸,同上*/if(p->s1<0)return -1;/*家丁数不克不及为负*/if(p->s2<0)return -1;/*商人数不克不及为负*/if(p->m1<0)return -1;/*对岸,同上*/if(p->m2<0)return -1;/*对岸,同上*/if(p->m1!=0)if(p->s1>p->m1)return -1;if(p->m2!=0)if(p->s2>p->m2)return -1;/*两岸商人数均不克不及小于家丁数*/while(p1!=NULL){p1=p1->back;if(p1!=NULL)if(p1->n%2==p->n%2)if(p1->s1==p->s1)if(p1->s2==p->s2)if(p1->m1==p->m1)if(p1->m2==p->m2)return -1;}/*用于解决反复,算法思惟：即将每次算出的链表单元与以前的比拟较,若反复,则暗示消失轮回*/if(p->s1==0&&p->m1==0)if(p->n%2==0)return 1;else return -1;/*显然假如达到前提就解释ok了*/return 0;}/*断定函数*/int sign(int n){if(n%2==0)return -1;return 1;}/*符号函数*/void copyit(struct aim *p3,struct aim *p){p3->s1=p->s1;p3->s2=p->s2;p3->m1=p->m1;p3->m2=p->m2;p3->n=p->n+1;p3->back=p;p3->next=NULL;}/*复制内容函数,将p中的内容写入p3所指向的链表单元中*/ void print(struct aim *p3){struct aim *p=p3;js++;while(p->back){p=p->back;}printf("\n第%d种办法:\n",js);fprintf(fp,"\n第%d种办法:\n",js);int count=0;while(p){ printf("%ld,%ld::%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2); fprintf(fp,"%ld,%ld::%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2);p=p->next;count++;}cout<<"一共有"<<count<<"步完成"<<endl;}/*打印函数,将p3所指的内容打印出来*/void trans(struct aim *p){struct aim *p3;/*p3为申请的构造体指针*/struct a *fla;int i,j,f;fla=&head;p3=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim));f=sign(p->n);for(i=0;i<total;i++){copyit(p3,p);p3->s1-=fla->m*f;p3->m1-=fla->s*f;p3->s2+=fla->m*f;p3->m2+=fla->s*f;/*运算进程,即过河进程*/ j=determ(p3);/*断定,j记载断定成果*/if(j==-1){if(i<total-1){continue;}else{freeit(p3);break;}}int count1=0;if(j==1){if(i<total-1){print(p3);count1++;continue;}else{print(p3);freeit(p3);break;}//cout<<cout1<<endl;printf("%d",count1);printf("\n");}if(j==0)trans(p3);}return;}/*转移函数,即将人转移过河*//*n=0*/void main(){ struct aim *p,*p1;int j,a,e,f;struct a *flag;/*flag是用与记载头指针*/FILE*fpt;if((fpt=fopen("c:result.dat","w+"))==0){printf("can't creat it\n");exit(0);}fp=fpt;system("cls");printf("问题描写：三个商人各带一个侍从乘船过河,一只划子只能容纳X人,由他们本身荡舟.三个商人窃听到侍从们谋害,在河的随意率性一岸上,只要侍从的人数比上人多,就杀失落商人.但是若何乘船渡河的决议计划权在商人手里,商人们若何安插渡河筹划确保自身安然？\n");printf("\n");p=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim));p->back=NULL;p->next=NULL;p->s2=0;p->m2=0;p->n=1;/*设立初始头指针*/printf("please input the total of people on the board\n");fprintf(fp,"\n请输入船上的人数\n");scanf("%d",&n);fprintf(fp,"\n%d\n",n);flag=&head;for(e=0;e<=n;e++)for(f=0;f<=n;f++)if(e+f>0&&e+f<=n){ total++;jj=(struct a*)malloc(sizeof(struct a));jj->m=e;jj->s=f;flag->next=jj;jj->next=NULL;flag=jj;}/*********************************/printf("please input the total of merchant and salvent as follow: mechant,salvent;\n"); fprintf(fp,"\nplease input the total of merchant and salvent as follow: mechant,salvent;\n"); scanf("%ld,%ld",&p->m1,&p->s1);fprintf(fp,"\n%ld,%ld\n",p->m1,p->s1);/**********************************/k1=p->m1;k2=p->s1;trans(p);fclose(fpt);getch();}第一步：三个商人,三个侍从的模子求解答案为：运行后的成果为：第1 种筹划：(3,3) 到(0,0).(3,1) 到(0,2).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2).(0,2) 到 (3,1).(0,0) 到 (3,3)第2 种筹划：(3,3) 到(0,0).(3,1) 到(0,2).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2).(1,1) 到 (2,2).(0,0) 到 (3,3)第3 种筹划：(3,3) 到(0,0).(2,2) 到(1,1).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2)(.0,2) 到 (3,1).(0,0) 到 (3,3)第4 种筹划：(3,3) 到(0,0).(2,2) 到(1,1).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2).(1,1) 到 (2,2)(0,0) 到 (3,3)第二步：四个商人三个侍从,其成果为：第1种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第2种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第3种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第4种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第5种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第6种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第7种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第8种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第9种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第10种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第11种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第12种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第13种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第14种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第15种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第16种办法:2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第17种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第18种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第19种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第20种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第21种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第22种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,10,3::4,0 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第23种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 2,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,20,0::4,3 一共有16步完成第24种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第25种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第26种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第27种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,10,0::4,3 一共有16步完成第28种办法:4,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第29种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第30种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 2,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,20,0::4,3 一共有16步完成第31种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第32种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第33种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第34种办法:2,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,10,0::4,3 一共有16步完成第35种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第36种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第37种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第38种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第39种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第40种办法:2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第41种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第42种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第43种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第44种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第45种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第46种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第47种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第48种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第49种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成。
商人过河的数学模型及编程解决【范本模板】
14对商仆过河问题题目有14名商人各带一名仆人要过河,但船最多能载4人。
商人已获得仆人的阴谋：在河的任意一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取货物。
安排如何乘船的权利权利在商人手上，试为商人制定一个安全的过河方案。
一．摘要n对商仆过河,一只船最多载m人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数,否则商人有危险。
安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。
（可利用向量，矩阵，图解等方法）。
二．问题提出：有14对商仆乘船过河,一只船最多载4人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死,谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？三．问题分析商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成,而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。
对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态,从而对整个过程都会有影响。
所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。
在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆人数,用最少的步伐是人员全部过河.应用状态向量和运载向量，找出状态随运载变化的规律，此问题就转化为状态在允许范围内（即安全渡河条件)，确定每一次该如何过河，从而达到渡河的目标。
现在我们都把它们数量化：即用数学语言来表示。
四．模型假设与符号假设（一）模型假设商人和仆人都会划船，天气很好，无大风大浪，船的质量很好，船桨足够很多次的运载商人和仆人。
（二）符号假设设（x，y）是状态向量，表示任一岸的商人和仆人数,且x，y分别要大于等于0，小于等于M。
1.设(m,n)是运载向量，表示运载的商人数和仆人数，0<=m<=N，0<=n<=N，0〈=m+n〈=N。
2.设用s表示所有的可取状态向量的集合。
数学建模案例作业
数学建模案例作业作业1 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行（六个人都会划船）。
随从们密谋，无论何时，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的决定权掌握在商人手中。
商人们怎样才能安全渡河？示意图如下： 随从：商人： 一、状态变量一次决策),(k k k y x S = 3,2,1=k 表示第k 次渡河时，此岸的商人数，随从数. 最初 )3,3(0=S 且为整数）3,0(≤≤k k y x)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),0,1(),1,1(),2,1(),3,1(),0,2(),1,2(),2,2(),3,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S要安全过河，需保证彼岸此岸都安全，及随从数不能大于商人数，所以安全的情况有10种，即)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),1,1(),2,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S ② 二、决策变量设),(k k k v u d =2,0(≤≤k k v u 且)21≤+≤k k v u 表示第k 次渡河时，船上的商人数和随从数 )}1,0(),0,1(),2,0(),1,1(),0,2{(=D与状态变量相结合，安全的情况有三种，即 )}1,0(),2,0(),1,1{((=D ③ 三、状态转移方程奇数次（此案到彼岸）k k k d S S -=+1 偶数次（彼岸到此案）k k k d S S +=+1 即k k k k d S S )1(1-+=+ ① 数学建模：由①确定的转移方程下，经过n 次决策，将初始状态转移到最终状态)0,0(=n S . 每次的决策取自③式，每次到达的状态在②中. 图解法：①从右上角移到左下角，每次最多移两步；②奇数次渡河往左下方，偶数次渡河往右下方。
建立平面直角坐标系如图：n S 过河方案：从A 点)3,3(0=S 出发到D 点)0,0(=n S 结束① 小船一次最多能载两人，所以每次最多移动两个格子② 由此岸即彼岸时人员减少，即奇数遍时向左下方行走；有彼岸及此岸时人员增加，即偶数遍时向右上方行走。
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作业1、2：
商人过河
一、问题重述
问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载
两个人过河，包括划船的人。
随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人
多,就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?
问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。
二、问题分析
问题可以看做一个多步决策过程。
每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的
人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。
用状
态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随
决策变化的规律。
问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确
定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三．问题假设
1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度。
四、模型构成
x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;
y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..
s(k)=[x(k),y(k)]~过程的状态S~允许状态集合
S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4;x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}
u(k)~第k次渡船上的商人数u(k),v(k)=0,1,2;
v(k)~第k次渡船上的随从数k=1,2…..
d(k)=(u(k),v(k))~过程的决策D~允许决策集合
D={u,v ?u+v=1,2,u,v=0,1,2}
状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律
求d(k)?D(k=1,2,….n),使s(k)?S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）
数学模型：k+1k S =S +k
k D （-1）（1） '4k k x x +=（2）
'4k k y y +=（3）
k.k x y ≥（4）
''k k x y ≥（5）
模型分析：
由（2）（3）（5）可得
化简得
综合（4）可得
k k x y =和{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）
还要考虑
随从y
商人x
{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（7）
把（2）（3）带入（7）可得
化简得
{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（8）
综合（6）（7）（8）式可得
满足条件的情况满足下式
{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ====（9） 所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由
{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（8）
到达
{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）
时，可以认为完成渡河。
因为移动的格数小于等于2，只有中心点（2，2）到（6）点和（8）点的距离为2，所以中心点（2,2）成为渡河的关键点。
当我们移动到（2,2）点时，就无法进行下去。
故4个商人，4个随从，船容量为2人时，无法安全渡河。
对于问题二，我们可以建立模型为：
k+1k S =S +k k D （-1）（10）
'k k x x M +=（11）
'k k y y M +=（12）
k.k x y ≥（13）
''k k x y ≥（14）
u(k),v(k)=0,1,2,3;（15）
通过类似于问题一的步骤可以知道：坐标上的关键点是（3,3），最多可以五名商人带五名随从过去。
需要确定五名商人带五名随从的方案可行再确定六名商人带六名随从的方案不可
行
1、五名商人带五名随从的情况：
（1）首先不可能有三名商人先过河，两名商人一名随从过河，一名商人两名随从过河
（2）三个随从先过河（5,2），回来一个随从（5,3），过去两个随从（5,1）回来一个随从（5,2），再过去三个商人（2,2），回来一个商人一个随从（3,3），再过去三个商人（0,3），回来一个随从（0,4），过去三个随从（0,1），回来一个随从（0,2）再过去两个随从（0,0）
综上可知：五名商人带五名随从，小船可以载三个人可以过河
2、六名商人带六名随从的情况：
（1）首先不可能有三名商人先过河，两名商人一名随从过河，一名商人两名随从过河
（2）三个随从先过河（6,3），回来一个随从（6,4），过去两个随从（6,2）回来一个随从（6,3），过去三个商人（3,3），此时两岸都是（3,3），由坐标法分析知，这是最接近终点的临界点，但是如果回来的时候一定是回来一个商人和一个随从，如果这一步可行，后面就进行不去
综上所述，六个商人带六个随从，小船载三个人的情况下不能渡河
结合1、2知，当小船最多载三个人的时候，最多五名商人各带一个随从可以过河。
五、模型的检验与评价
由少数人的过河问题推广到了更多数人的过河问题，使得问题变得明了有规律。
六、参考文献
[1]章胤，2014年燕山大学全国大学生数学建模竞赛培训ppt，2014年4月17日。