第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章 正投影的基础知识(1点和直线的投影
X
ax
●
A
O a●
H
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。点“ ”不 能用“ * ”
投影面展开
不动
V
a
V
●
●
a
●
X
ax
A O X
ax a H
●
O
a
向下翻转90º
●
H
点的投影规律:
① aa⊥OX轴；
② aax= Aa
aax=Aa
各种位置点的投影：
（1）处于投影面上的点
投影特点：在该投影面上的投影和空间点本身重合；另一个投 影在X轴上
d
a b d
b c
b d a 如何判断？
对于特殊位置直线， 只有两个同面投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a A a c
c k
C
b d K D d k
交点是两直 线的共有点
b B a c
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同面投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
例1：习题集P10 例2：习题集P10
2-12（1） 2-13
⒊ 两直线交叉
d
投影特性：
两直线相交吗？
b
a c c
1(2 ) 3 4
●
●
●
为什么？
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
三视图的对应投影规律 三视图间的位置关系
主视图(V面)
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
第2章 点、直线、平面的投影
三、直线上的点
【例2-8】已知如图所示，试在直线AB上取 一点C，使AC∶CB=2∶3。
用点分割线段成 定比的原理作图
四、两直线的相对位置
1.平行两直线
投影特性： 空间两平行直线的投影必定互相平行。 若两直线的三面投影互相平行，则空间 该两直线平行。
四、两直线的相对位置
2.两直线相交
投影特性： 空间相交两直线的投影必定相交，且两直 线交点的投影必定为两直线投影的交点。
五、垂直两直线的投影
【例2-18】已知直角三角形ABC，其一直角 边 BC 在EF 线上，长30mm，试完成三角形 b’c’=30mm ABC 的投影。
EF 为正平线， 正面投影反映实长， 故直角边AB 与EF 的 正面投影垂直。
五、垂直两直线的投影
【例2-19】已知正方形ABCD 的一条对角线 位于直线EF 上，试完成该正方形的正面、侧 面投影。
2.2
点的投影
侧面投影
1.点的三投影面体系的建立
（3）点的三面投影
水平投影面，简称水平面，用H表示； 正立投影面，简称正面，用V表示； 侧立投影面，简称侧面，用W表示。
OY轴 OX轴
OZ轴
2.2
点的投影
2.点的三面投影规律
45°
1、a’a ⊥ OX 轴 2、a’a” ⊥ OZ 轴 3、aaYH ⊥ OYH轴、a“aYW ⊥ OYW轴，且aaX = a“aZ
空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹 角，称为该直线对H、V、W 面的倾角，用α、β、γ 表示。
2.3
直线的投影
一、特殊位置的直线 二、一般位置直线的投影 三、直线上的点 四、两直线的相对位置 五、垂直两直线的投影
2.4
第二章 投影的基本知识
投影面平行线的投影图和投影特性见表2-1。
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
表2-1 投影面平行线的投影图和投影特性
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
（2）三面正投影图中的点、线、面符号 为了作图准确和便于校核，作图时可把所 画物体上的点、线、面用符号来标注（如图218所示）。 一般规定空间物体上的点用大写字母A、B、 C、D…或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ…表示，面用P、Q、 R…表示。 点或面的投影用相应的小写字母表示。 直线不另注符号，用直线两端点的符号表 示，如AB直线的正面投影是a′b′。
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
从图中可以看出点的投影规律： （1）点的V面投影a′和H面投影a的连线垂直 于OX轴（aa′⊥ OX）。 （2）点的V面投影a′和W面投影a″的连线垂直于 OZ轴（a′a″⊥ OZ）。 （3）点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W 面投影a″到OZ轴的距离（ aax=a″az )。 由此可见，在点的三面正投影图中，任何两 个投影都有一定的联系，因此，只要给出一点的 任意两个投影，就可以求出其第三个投影。
2.1 投影的概念
2.2 基本几何元素的投影
2.3 点、直线及平面的投影
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
2.1 投影的概念 2.1.1 投影的形成与分类
1.投影的形成 影子与投影概念的区别： （ 1 ）物体在光源的照射下会出现影子。如图 2-1（a）。 （ 2 ）光源发出的光线，透过形体而将各个顶 点和各条侧棱都在平面 P上投落它们的影，这些 点和线的影将组成一个能够反映出形体各部分 形状的图形，这个图形称为形体的投影。如图21（b）。
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
（a）中心投影
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
机械制图—第二章 点、直线和平面
§2-3 直线投影 例：过C点作直线与AB垂直相交。 分析：
AB为正平线, 正面投 影反映直角。
c c
●
.
d
b
●
a
d
b
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§2-3 直线投影 六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 分析：过A点作AC∥ab，
V
b
B a
则得到直角三角形ABC。
ΔZ
X
A a
O
C
b H
在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ Δ Z Δ Z(A、B两点的Z坐标差)， 而∠BAC 即α 角， 斜边即AB实长。
投射中心 投射线
空间物体
投影 投影面
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§2-1 投影法的基本知识 二、投影法的分类
投影法有两类:中心投影法和平行投影法
中心投影法
平行投影法
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§2-1 投影法的基本知识 三、投影法的基本特性
1.中心投影法 投影特性：
投射中心、物体、 投影面三者之间的相 对距离对投影的大小 有影响，度量性较差。
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§2-3 直线投影 ⒉ 两直线相交
V c
b
k
a A a c C
b d K D d k a B a H
c
k
d
d c k b
b
特点：交点是两直线的共有点 判别方法： 若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间点的投影规律。
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§2-3 直线投影 例：过C点作水平线CD,且与AB相交。 分析: CD为水平线, 所以其正面投影平 行于OX轴,因此,先 作出CD的正面投影, 从而找到CD与AB交 点的正面投影。
投影的基本知识2
图2.19 点的三面投影
2.4.2点在三面投影体系中的投影规律：
（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴； （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴； （3）点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离。 （4）点到某投影面的距离等于其在另两个投影面上的投影到相 应投影轴的距离。
图2.23 两点的相对位置
图2.24 重影点的投影
2.5 直线的正投影规律
直线的投影也可以由直线上两点的投影确定。求直线的投 影，只要作出直线上两个点的投影，再将同一投影面上两点的 投影连起来，即是直线的投影。 直线按其与投影面的相对位置不同，可以分为特殊位置的 直线和一般位置的直线，特殊位置的直线又分为投影面平行线 和投影面垂直线。
三 面 投 影 图 的 画 图 方 法
在投影图中可见轮廓画 出实线，不可见的画成 虚线； 为了准确表达形体水平 投影和侧立投影之间的 投影关系，在作图时可 以用过原点O作450斜线 的方法求的，用细线画 出。
图2.18 作形体的三面投影
2.4 点的投影
2.4.1点的三面投影
点在任意投影面上仍是点。 空间点用大写字母 (A、B….)表示； 投影用同名小写字母（a、b….）表示，H面a、b…；V面a'b' …； w面a"b"
表2.1 投影面平行线 名称 立 体 图 水平线 正平线 侧平线
投 影 图
2.5.3
投影面垂直线
垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线称为投影面垂 直线。投影面垂直线也可分为： （1）铅垂线——垂直于H而平行于V和W的直线； （2）正垂线——垂直于V而平行于H和W的直线； （3）侧垂线——垂直于W而平行于H和V的直线。 投影面垂直线的投影特性： （1）投影面垂直线在垂直的投影面上的投影积聚成为一个点； （2）在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，并 反映实长。
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第二章投影法基本知识
V、W面成倾斜
➢ 侧平线——平行于W面，
与V、H面倾斜
§2-4 直线的投影
投影面平行线的投影特点：
投影面的平行线在其所平行的投影面上的投影为倾斜的
直线，并反映实长。（正投影的真实性）
另外两个投影分别平行于相应的投影轴。 真实性投影即倾斜的直线与投影轴的夹角反映空间直线
点；当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为 一直线。
积聚性
类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影为缩短
的线段； 当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影 为缩小的类似图形。
类似性
§2-2 三视图的形成及其对应关系
根据国标规定，用正投影法绘制出物体的图形称为视图。 下图表示的是三个不同形体，在一个投影面上的视图却是完 全相同的。
1、主视图—从前向后投射，在V 面上所得的视图。
2、俯视图—从上向下投射，在H 面上所得的视图。
3、左视图—从左向右投射，在W 面上所得的视图。
三视图的形成
三投影面的展开
V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕 OZ轴向右旋转90°，这样V、H和W三个投影面就摊 平在了同一平面上。
水 平 投 影 面 和侧立投影 面旋转后，OY轴被分成两 条，分别用OYh和OYw 表 示 。
三、画物体三视图的步骤
作图之前，首先选择反映物体形状特征最明显的方向作为 主视图的投射方向，并将物体在三投影面体系中放正，然后 按正投影法分别向各投影面投射。
§2-3 点 的 投 影
点是最基本的几何元素，为了正确表达物体，首先应 掌握点的投影规律。 一、点的三面投影
在三投影面体系中有一点A，过点A分别向三个投影 面作垂线，其垂足a、a′、a″即为点A在三个投影面上的 投影。
第二章工程制图A 投影法和点、直线、平面的投影
过ax、az、aYH、aYW等点分别作所 a
在轴的垂线，交点a、a′、a″既为
所求。
12
O
aYH YH
a YW YW
例：根据点的两投影求第三投影
方法一：直接量取法 方法二：45º斜线法
a’ x
z
a”
a’
yW
x
a
yH
a
图2-14 已知点的两投影求第三投影
z a” yW
yH
例 已知点C的两个投影c和c， 求作其水平投影c。
第二章 投影法和点、直线、平面的投影
本 §2-1 投影法概述 §2-2 点的投影
章 §2-3 直线的投影 内 §2-4 平面的投影 容 §2-5 直线与平面、平面与平面
的相对位置
第一节 投影法 一、投影法的基本知识
如图，建立一个平面P和不 在该平面内的一点S，在平面P 和点S之间放一物体A。过点S 发射一光线SA，SA与平面P的 交点a称为物体A在平面P上的 投影。这种确定空间物体投影的方法，称为投影法。
3.3物体的三面投影 W
V
W V
H H
通常情况下，物体的三面投影可 以确定唯一物体的形状
3.4三面投影体系的建立
投影面
◆正面投影面
（简称正面或V面）
◆水平投影面
（简称水平面或H面）
◆侧面投影面
（简称侧面或W面）
投影轴
◆ OX轴 ◆ OY轴 ◆ OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
a ●
X
ax
a●
Z
az
●a
O
YW
ay
ay
YH
2.点的三面投影规律
1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X 轴；aa⊥OX轴。
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第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
如图 2-4所示，形体上互相平行且长度相等的线段，在轴测图上仍互相平行、长度相等。
轴测图虽不符合近大远小的视觉习惯，但仍具有很强的直观性，所以在工程上得到广泛应用。
3、标高投影图根据正投影法所得到的图形称为正投影图。
如图2-6所示为房屋（模型）的正投影图。
正投影图直观性不强，但能正确反映物体的形状和大小，并且作图方便，度量性好，所以工程上应用最广。
绘制房屋建筑图主要用正投影，今后不作特别说明，“投影”即指“正投影”。
一、内容：1、点在三投影面体系中第一分角的投影；2、两点的相对位置。
二、要求及重点：1、要求了解三投影面体系；2、掌握投影的特性；3、根据点的坐标，判定点的类型。
4、掌握点的相对位置关系；5、了解重影点概念，判断重影点的可见性。
三、教学方式：1、利用教具、模型使学生在头脑中形成空间印象，做到平面投影与实际空间中的对应关系；2、利用例题使学生掌握并知道如何利用这些原理、概念；3、通过课上实际绘制，使学生更加深理解绘图过程及技巧。
四、作业：布置点投影的作业。
一、投影的形成与特性1、三个互相垂直的投影面V、H、W，组成一个三投影面体系，将空间划分为八个分角。
V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。
规定三个投影轴OX 、OY、OZ向左、向前、向上为正，在三条投影轴都是正相的投影面之间的空间第一分角。
、[例2-1] 已知空间点B的坐标为X=12，Y=10，Z=15，也可以写成B（12、10、15）。
单位为mm（下同）。
求作B点的三投影。
1、分析图2-10 由点的坐标作三面投影2、作图①画投影轴，在OX轴上由O点向左量取12，定出bX，过b X作OX轴的垂线，如图2-10（a）。
②在OZ轴上由O点向上量取15，定出b Z，过b Z作OZ轴垂线，两条线交点即为bˊ，如图2-10（b）。
③在bˊb X的延长线上，从b X向下量取10得b；在bˊb Z的延长线上，从b Z向右量取10得b″。
或者由bˊ和b用图2-10（c）所示的方法作出b″。
点与投影面的相对位置有四类：空间点；投影面上的点；投影轴上的点；与原点O重合的点。
二、两点的相对位置1、两点的相对位置是指空间两个点的上下、左右、前后关系，在投影图中，是以它们的坐标差来确定的。
2、两点的V面投影反映上下、左右关系；两点的H面投影反映左右、前后关系；两点的W面投影反映上下、前后关系。
[例2-2]已知空间点C（15，8，12），D点在C点的右方7，前方5，下方6。
求作D点的三投影。
分析D点在C点的右方和下方，说明D点的X、Z坐标小于C点的X、Z坐标；D点在C点的前方，说明D点的Y坐标大于C点的Y坐标。
可根据两点的坐标差作出D点的三投影。
图2-11 求作D点的三投影3、重影点：2.3 直线的投影一、内容：1、直线的类型；2、直线的投影特性；3、求一般位置直线的实长与倾角；4、直线上点的投影；5、两直线的相对位置；6、一边平行与投影面的直角的投影。
二、要求及重点：掌握上述几部分内容的基本概念、原理，并应用。
三、教学方式：1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；3、通过绘制，使学生对点的投影有更加深刻的理解。
四、作业：布置相关直线投影的作业，巩固知识，灵活运用。
2.3 直线的投影空间直线与投影面的相对位置有三种： 投影面平行线特殊位置直线 投影面垂直线 一般位置直线一、特殊位置直线及其投影特性1、投影面平行线只平行于一个投影面，而对另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
投影面平行线又有三种位置： 水平线：平行于水平面 正平线：平行于正平面 侧平线；平行于侧面投影面平行线的投影特性见表2-1。
直线对投影面所夹的角即直线对投影面的倾角，α、β、γ分别表示直线对H 面、V 面和W 面的倾角。
表2-1 投影面平行线的投影特性投影面垂直线也有三种位置： 铅垂线：垂直于水平面的直线 正垂线：垂直于正面的直线 侧垂线：垂直于侧面的直线 投影面垂直线的投影特性见表2-2。
表2-2 投影面垂直线的投影特性二、一般位置直线及其真长与倾角1、一般位置直线既不平行也不垂直于任何一个投影面，即与三个投影面都处于倾斜位置的直线。
2、一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。
图2-13 一般位置直线图2-14 用直角三角形法求直线的真长和倾角三、直线上的点的投影特性1、直线上的点的投影，必在直线的同面投影上；2、若直线不垂直于投影面，则点的投影分割直线线段投影的长度比，都等于点分割直线线段的长度比。
[例2-3] 如图2-15a所示，已知直线AB求作AB上的C点，使AC：CB=2：3。
图2-15 作分割AB成2：3的C点[解] 根据直线上的点的投影特性，作图过程见图2-15b所示：⑴自a任引一直线，以任意直线长度为单位长度，从a顺次量5个单位，得点1、2、3、4、5。
⑵连5与b，作2c//5b，与ab交于c。
⑶由c引投影连线，与a′b′交得cˊ。
cˊ与c即为所求的C点的两面投影。
[例2-4] 如图2-16a所示，试判断K点是否在侧平线MN上？[解] 可按直线上点的投影特性，用方法一或方法二进行判断。
方法一的判断过程如图2-16b所示：⑴加W面，即过O作投影轴OY H、OY W、OZ。
⑵由m′n′、mn和k′、k作出m″n″和k″。
⑶由于k″不在m″n″上，所以K点不在MN上。
方法二的判断过程如图2-16c所示：MN上。
四、两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行相交共面直线交叉异面直线它们的投影特性列在表2-3中。
当两直线处于交叉位置时，有时需要判断可见性，即判断它们的重影点的重合投影的可见性。
确定和表达两交叉线的重影点投影可见性的方法是：从两交叉线同面投影的交点，向相邻投影引垂直于投影轴的投影连线，分别与这两交叉线的相邻投影各交得一个点，标注出交点的投影符号。
按左遮右、前遮后、上遮下的规定，确定在重影点的投影重合处，是哪一条直线上的点的投影可见。
图2-17 检验侧平线AB和一般位置直线CD的相对位置五、一边平行于投影面的直角的投影当直角的一边为投影面平行线时，则在它所平行的投影面上的投影，仍为直角。
[例2-5] 如图2-18a所示，已知交叉两直线AB、CD，作出它们的公垂线MN（M、N分别是公图2-18 作交叉线AB、CD的公垂线MN和距离[解] 如图2-18b所示，先进行几何分析和投影分析：公垂线MN是与交叉两直线AB、CD都垂直的直线，垂足M与N之间的距离，即为这两条交叉直线之间的距离。
由于图2-18a中给出的直线AB是铅垂线，MN与AB垂直，MN必为水平线。
既然MN是水平线，MN与CD垂直，按一边平行于投影面的直角的投影特性，mn也应与cd垂直。
由于AB是铅垂线，MN 在AB上的垂足M的H面投影m，必积聚在ab上，于是就可由此开始，按上述的几何分析和投影分析逐步进行作图，作图过程如图2-18c所示。
⑴点m积聚在ab上，从m引cd的垂线，得交点n，即为MN与CD的垂足N的H面投影。
⑵由n作投影连线，与cˊdˊ交得nˊ，就是MN与CD的垂足N的V面投影。
⑶由nˊ作OX轴的平行线，与aˊbˊ交得mˊ，即为MN与AB的垂足M的V面投影。
于是m ˊnˊ、mn即为所求的公垂线MN的两面投影。
⑷由于MN是水平线，则其H面投影mn的长度，即为真长，也就是交叉两直线AB与CD之间的距离，用引出线在图中注明。
2.4 平面的投影一、内容：1、平面对投影面的相对位置及投影特性；2、平面上点、线、图形的投影特性及判断方法；3、最大斜度线；4、换面法。
二、要求及重点：1、掌握平面及平面上点、线、图形的投影特性，知道如何判定平面上点、线、图形；2、了解最大斜度线的原理，能应用最大斜度线求出平面与投影面夹角α、β、γ；3、掌握换面法的基本用法。
三、教学方式：1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；3、通过绘制，使学生对点、线、图形的投影有更加深刻的理解。
四、作业：布置相关平面投影的作业，巩固知识，灵活运用。
2.4 平面的投影一、各种位置的平面及其投影特性平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面特殊位置平面 投影面垂直面 一般位置平面平面与投影面H 、V 、W 的倾角，分别用α、β、γ表示。
（一） 投影面垂直面垂直于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。
正垂面：垂直于正面的平面 铅垂面：垂直于水平面的平面 侧垂面：垂直于侧面的平面 投影面垂直面的投影特性见表2-4。