空间几何中的点线面的投影
点线面的投影工程图学
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图 Nhomakorabea一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
d′
B C c D d
O
c
b
b H
两直线相交吗？ 不相交！
为什么？ 交点不符合一个点的投影规律！
工程图学基础/机械设计制图
b′ V 1′ ′ 3(4 ′) c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B ′ a A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
c′ a′ X a c
′ 3(4 ′)
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
工程图学基础/机械设计制图 1）投影面平行线
点线面投影
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
投影法
投 射 方 向
斜投影法
平行投影法
投
射
方
正投影法
向
① 中心投影法：所有的投射线都交于一个点
② 平行投影法 ： 所有的投射线都互相平行
（1）斜投影法：投射线倾斜于投影面
投 射 方 向
90°
② 平行投影法 ：所有的投射线都互相平行
（2）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法
投 射 方 向
90°
2. 特性
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
[例3-10] 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、 AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。
分析：利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。
作图
C B
I
A
E
课后作业：
《习题集》:Ｐ8 ～ 9
3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:
一、平行问题
包括
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
点线面平行投影知识点
点线面平行投影知识点下面是关于点线面平行投影的一些重要知识点：1.投影的基本概念：投影是将三维物体的所有点映射到一个二维平面上的过程。
在点线面平行投影中，物体与投影平面之间的投影关系是平行的，也就是说，物体上的平行线在投影后仍然保持平行。
2.投影平面：在点线面平行投影中，通常选择一个平行于物体的平面作为投影平面。
这个平面可以是一个垂直于地面的垂直面，也可以是平行于地面的水平面，或者是任意其他平行于物体表面的平面。
3.正交投影和斜投影：根据投影平面与物体之间的夹角，点线面平行投影可以分为正交投影和斜投影两种。
正交投影是指投影平面与物体之间的夹角为90度的情况。
在正交投影中，物体的投影与物体的外形一致，不发生形变。
这种投影方法常用于工程制图和建筑绘图中。
斜投影是指投影平面与物体之间的夹角不为90度的情况。
在斜投影中，物体的投影可能发生畸变，但仍能够反映出物体的形状和结构。
这种投影方法常用于艺术设计和插图绘制中。
4.投影方向：投影方向指的是物体在投影平面上的投影方式。
根据物体与投影平面之间的位置关系，投影方向可以分为正投影和倒投影。
正投影是指当物体向投影平面靠近时，投影呈现出与物体一致的方向。
这种投影方法常用于工程制图中。
倒投影是指当物体向投影平面远离时，投影呈现出相反的方向。
这种投影方法常用于艺术设计和插图绘制中。
5.投影比例：在点线面平行投影中，为了准确地表示物体的大小和形状，通常需要指定一个投影比例。
投影比例是指在投影平面上，物体的尺寸与实际尺寸之间的比例关系。
投影比例可以根据实际需要选择，通常为1：1、1：2或其他比例。
在绘制投影时，根据投影比例进行比例转换，可以准确地反映物体的尺寸和形状。
点线面平行投影是绘图学中的重要内容，掌握相关知识点可以帮助我们更好地理解和描述物体的形状和结构，为工程设计和艺术创作提供支持。
同时，熟练运用投影比例和投影方向，可以使投影更加准确、直观地呈现出物体的特征和属性。
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第三讲点线面的投影
第三讲点、线、面的投影（6学时）主要内容: 1.点的投影；（2学时）2.直线的投影；（3学时）（1）直线对投影面的相对位置及投影特性；（2）直角三角形法求一般位置线的实长及对投影面倾角；（3）直线上的点/点分割线段成定比；（4）两直线的相对位置，直角投影定理。
3.平面的投影；（1学时）（1）平面的表示法与投影特性（2）平面上的点和线教学目的: 1.掌握点线面在三面投影体系中的正投影规律；2.掌握点直面在第一角投影中各种位置的投影特性和作图方法；3.掌握直线对投影面的倾角、线段实长和平面图形实形的求法。
学时分配: 6学时（理论学时）教学方式:多媒体教学与普通教学结合。
第一节点的投影（2学时）一.点的二面投影1.二面投影体系的建立及点的二面投影点是形体最基本的元素。
在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。
空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。
如图3-1所示，设立一个投影面P，则A1、 A2、 A3点在投影面P上的正投影是唯一的。
但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。
因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。
如图3-2所示，设立两个互相垂直的投影面正立投影面V （也称正面或V 面）、水平投影面H （也称水平面或H 面），从而构成二投影面体系。
V 面和H 面的交线OX 称为投影轴。
A 点的在V 面上的投影称为A 点的正面投影或A 点的正投影、A 点的V 投影，用a’表示。
A 点的在H 面上的投影称为A 点的水平投影或A 点的H 投影，用a 表示。
我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。
保持V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90º直至与V 面重合，从而得到点的二面投影图。
为简便起见，投影图中投影面的边框不必画出，如图3-3所示。
在点的二面投影体系中，X 、Y 、Z 三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。
第3章-点线面投影
V面倾斜
a”b”与OYW夹角反映α实际大小，
编辑a版”pbp”t 与OZ夹角反映β实际大小。 22
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 正平线(‖V面，对H、W面 侧平线(‖W面，对H、V
b=AB；
1.正面投影a’b’=AB；
1.侧面投影a”b”=AB；
– 点的三面投影及其规律，两点的相对位置；
– 各种位置直线的投影特点，直角三角形法求直 线的实长，两直线的相对位置；
– 各种平面的表示法，各种位置平面的投影特点， 直线与平面、平面与平面的相对位置。
编辑版ppt
3
3.1 三面投影体系与物体的三视图
一、三投影面体系与物体的三视图 1.单面投影
空间形体1
水平投影ab‖ OX，侧面投影 a”b” ‖OZ，都不反映实长；
a’b’与OX夹角反映α实际大小，
a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。
编辑版ppt
21
2.投影面平行线——侧平线
直线AB与哪个投影面 平行？
实长
侧面投影a”b”=AB；
平行于W面，对H、
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长；
性 大小。
实际大小。
A、B为基于H面的重影点。
编辑版ppt
不可见点一般 加括号表示
思考：基于V面、W面的重 影点的投影图。
15
3.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
编辑版ppt
16
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
垂直于投影面； 直线平行于投影面； 直线倾斜于投影面；
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
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空间几何中的点线面的投影在空间几何中，投影是一种常见的几何现象。
当我们将一个三维物体投影到一个平面上时，就形成了物体在平面上的投影。
投影可以用来描述物体的形状、大小和位置，并在设计、建筑、绘画等领域有着广泛的应用。
本文将探讨空间几何中的点线面的投影。
一、点的投影
在空间几何中，点的投影是最简单的形式。
当我们将一个点投影到一个平面上时，投影点与原点和平面上的投影点连线构成一条垂线。
投影点表示了点在平面上的位置。
投影点的坐标可以通过相似三角形关系来求解。
设点的坐标为P(x, y, z)，平面的方程为ax + by + cz + d = 0。
过点P作平面的垂线，与平面的交点为Q(x', y', z')。
根据相似三角形关系，我们可以得到以下的投影坐标公式：
x' = x - (ad+bc)/(a^2+b^2+c^2)
y' = y - (bd+ac)/(a^2+b^2+c^2)
z' = z - (cd+ab)/(a^2+b^2+c^2)
通过这些公式，我们可以求得点P在平面上的投影坐标。
二、线的投影
线的投影是点的投影的延伸。
当一条直线在空间中移动时，其投影在平面上会呈现出不同的形态。
我们可以通过线的投影来观察直线在平面上的位置关系以及交点的情况。
对于一条直线，我们可以通过将直线上的点进行投影，形成一系列位于平面上的点，连接这些点就可以得到直线的投影。
直线在平面上的投影也可以用参数方程表示，该参数方程描述了直线上每个点在平面上的投影坐标。
三、面的投影
面的投影是最复杂的形式。
当一个三维面体在空间中移动时，其投影在平面上会形成一个多边形。
投影多边形可以用来描述面体在平面上的形状和大小。
对于一个面体，我们可以将其每个点进行投影，从而形成一个多边形的顶点集合。
连接这些顶点，即可得到面的投影多边形。
投影多边形可以通过面体的参数方程和平面的方程来求解。
总结：
在空间几何中，点线面的投影是一种常见的几何现象。
通过点线面的投影，我们可以描述物体在平面上的形状、大小和位置。
投影的计算可以通过相似三角形关系和参数方程来进行。
在实际应用中，投影在设计、建筑、绘画等领域有着广泛的应用，深入理解和掌握空间几何中的点线面的投影对于这些领域的专业人士来说十分重要。
观察和研究物体的投影有助于我们理解空间中的几何关系，并在实
际应用中提供了建模和设计的依据。
通过学习和探索空间几何的投影，我们可以更好地理解三维空间的形状和结构，为解决实际问题提供有
力支持。