复变函数-10

n
称s(z)为级数
( z ) 的和函数。
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n 1
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n 2 n z 1 z z z 例4.1.3 求级数 1
的定义域、收敛域,证明和函数为 1 z 。 解 n N，z n在复数域 C上有定义，
n
n0
z 的定义域为复数域 C。 n n 1 1 z k , ( z 1) 级数的部分和函数为 Sn ( z ) z k 0 n 1 z 1 z 1 ; 当|z|<1时， s( z ) lim S n ( z ) lim n n 1 z 1 z
z
n 1
n s a bi源自xn 1n
a且 yn b。
n 1

注：定理4.1.2表明由实级数的性质可以平行地得到 复级数的性质；复级数的审敛问题可以转化为实级 数的审敛问题。
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的敛散性 。 例 4.1.2 1 解 由实级数敛散性判别可知, 调和级数 发散, n 1 n 1 等比级数 n 收敛, 由定理4.1.2可知题设级数发散。
in 1 | n | n发 散 ， n n n sin cos 2 (1) 2 n 2n , n

(1) n 2n 1收 敛
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4.1.4. 复函数项级数及其收敛域
复函数列 设 f n(z) ( n=1,2, …)是定义在D上的 复变函数, 称{f n(z)}为定义域是 D C的复函数列。 复变函数项无穷级数 设{f n(z)}的定义域为D C ;

下列序列是否收敛, 若收敛求其极限
ni 2
2)
2 n lim z n不存在。 lim cos 不存在， n
n
z n cos
2
i sin
2
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i n 2 6 i 3) zn (1 ) ( )e 3 3 3 n n 3 n n ( ) cos i( ) sin 2 6 2 6
n
但是收敛级数增加、减少或改变有限项后所得到 的级数的和一般会发生变化, 因此级数求和时不
能采用这种简记法。
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收敛级数的次结合性 设级数
z
n 1

n
收敛, 则
( z1 zn1 ) ( zn1 1 zn2 ) ( znk 1 znk1 )
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4.1.1. 复数项数列的极限
若 0, N N,当n N时, | zn | , 则称复数列 {zn }当n 时以为极限 , 也称 {zn }收敛于 记为 lim z n , 或 z n , (n )。
复极限与实极限的联系 a bi的 定理 4.1.1 {zn } {xn iyn }收敛于
x
(3) 当0 时,收 敛 半 径 R
1

。
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若 l i mn | cn | , 则 n 1 (1) 当0 时,收 敛 半 径 R 。 (2) 当＝0时,收敛半径 R ; (3) 当＝ 时,收敛半径 R 0; 定理4.2.3 (根值法) 例4.2.1 求下列幂级数的收敛半径, 并讨论其收敛圆 边界上的敛散性。 n n
n
数列极限的概念 a bi, 定义 4.1.1 设{zn } {xn iyn }是一复数列，
充要条件是 {xn }收敛于 a且{ yn }收敛于 b。即
n
lim z n lim x n a 且 lim y n b 。
n n
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lim S n s , 则称级数 n

z
n 1

n
收敛, 称s为级数
z
n 1

n
的和, 记为
z
n 1


lim S n不存在, 则称级数 若 z s 。 n n
n 1
n
发散。
复级数与实级数的联系 定理 4.1.2 设z n= x n+i y n, n =1,2, …, 则
第四章
级数
§4.1 复数项级数与复函数项级数 §4.2 幂级数
§4.3 Taylor级数 §4.4 Laurent级数
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§4.1 复数项级数与复函数项级数

一. 复数项数列的极限
二. 复数项级数的概念


三. 收敛级数的性质
四. 复函数项级数及其收敛域
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一个发散点。 称级数 若
定义 4.1.4 若z0 D, 级数
f
n
( z0 )收敛 , 则称 z0
E D 为级数的收敛域 , 则 在E上定义了函数： s( z ) f n ( z ), z E;
n
f (z) 的定义域为D,
f
n 1 n
f ( z) 的全体收敛点组成的集合为其收敛域。

in (3) n 1 n
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解 (1)
n 1

(6 5i ) n (6 5i ) 61 n ( ) 绝对收敛 n 8 8 8 n 1 n 1
n
cosin 1 e n en (2) ( ) 发散 n n 2 2 n0 n0 2 cosin 1 e n en 0 n n 2 2 2 n cos n sin in 2 2 (3) ( i ) 条件收敛 . n n n 1 n n 1
也收敛且和不变。 注: 收敛级数可以任意添加括号, 但不能任意去括号;
发散级数则不可随意添加括号。
收敛级数的必要条件 级数
z 收敛
n 1 n

n
lim z n 0。
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绝对收敛与条件收敛 定理 4.1.3 若级数
定义 4.1.3 若级数 | zn |收敛, 则称级数
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珞珈学院 1) 只在z=z0收敛
2) 在复平面的每 一点都收敛 3)既有z≠z0的收敛 点又有发散点
收敛的几种情形
既有z≠z0的收敛点又有发散点时,将收敛部分涂为
绿色,发散部分涂为黄色, 都是绿色,
逐渐变小, 在C 外部都是黄色，
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逐渐变大,在C内部
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绿、黄色不会交错。 故存
z0

z R成为 在R>0,使得 C R：
绿、黄两种颜色的分界线。
R
z0
z0
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n c ( z z ) n 0
(2) 若幂级数
c (z z )
n 0 n 0
n
除了中心z0收敛外, 在复平面
上其余点处处发散,则称收敛半径为R=0; (3) 若
当|z|≥1时， lim S n ( z )不存在; n 所以级数的收敛域为E={z | |z|<1}; 和函数为
1 s( z ) , z E。 1 z
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§4.2

幂级数
4.2.1.幂级数及其收敛半径、收敛圆
4.2.2.幂级数在收敛圆内的性质

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为无穷复数项级数, 简称为级数, 简记为 zn ; 称
z1 z2 zn
n

S n zk z1 z2 zn
k 1
n 1
为级数的部分和。 收敛与发散 定义 4.1.2 设{Sn}为级数
z
n 1

n
的部分和数列, 若
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收敛半径与收敛圆 定理4.2.1 (Abel定理) 若幂级数
c z
n 1 n

n
在z=z0(z0≠0) z1
y
处收敛, 则适合 |z|<|z0|的 一切z均为这一幂级数的 绝对收敛点;
z0
O x
若
c z
n 1 n

n
在z=z1处发散,
则适合|z| >|z1|的一切z均 为这一幂级数的发散点。
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n c ( z z ) 若R是幂级数 n 0 的收敛半径, 则称集合
D={z | |z－z0|< R}为幂级数的收敛圆。
收敛半径的求法 定理4.2.2 (比值法) cn1 , 则 若 lim n c n
y
R
O
z
0
(1) 当 ＝0 时, R ;
(2) 当 ＝ 时, R 0;
称无穷形式和 f 1(z)+ f 2(z)+…+ f n(z)+…为定义在
D上的复变函数项无穷级数, 简称函数项级数, 记为
f
n 1

n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 。
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收敛域与和函数
为 f n ( z) 的一个收敛点； 若z0 D, 级数 f n ( z0 ) 发散 , 则称 z0为 f n ( z)的