函数的单调性与曲线的凹凸性精选

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 3.

4.1函数的单调性的判别法

定理3.8 设函数()f x 在(),a b 内可导，则()f x 在(),a b 内递增（或递减）的充分必要条件是

()()()()00,,.f x f x x a b ''≥≤∀∈或 （3—21）

证 只证递增的情形.

充分性 ()1212,,,.x x a b x x ∀∈<设则由拉格朗日中值定理的，()12,x x ξ∃∈使得

()()()()2121f x f x f x x ξ'-=-

因()()0,,f x x a b '≥∀∈，故()0.f ξ'≥故()()()()21120,.f x f x f x f x -≥≤于是()f x 在(),a b 内单调递增.

必要性 (),,x a b ∀∈则当x ∆充分小时，(),x x a b +∆∈.因()f x 在(),a b 内递增，故

()()

0,f x x f x x

+∆-≥∆

于是，由极限的不等式性得，

()()()

lim

0.x f x x f x f x x

∆→+∆-'=≥∆

定理3.9 若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且

()()()()()0,,0,,f x x a b f x x a b ''>∀∈<∀∈或，

则()f x 在(),a b 内严格单调递增（或严格单调递减）. 例1 判定函数sin y x x =-在[]0,2上的单调性.

解 因该函数在[]0,2上连续，在()0,2内，1cos 0y x '=->，故sin y x x =-在[]0,2上单调递增.

例2 讨论函数1x

y e x =--的单调性.

解 该函数的定义域为(),-∞+∞， 1.x

y e '=-解方程10x

e -=得0.

x =

列表

故该函数(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增.

例3 讨论函数y =.

解 函数y =

(),-∞+∞，其不可导点是0.x =当0x ≠时，

()

f x '=

故该函数在(],0-∞是单调递减，在[)0,+∞是单调递增. 例4 （自学）

例5 讨论函数3

y x =的单调性.

解 函数的定义域为(),-∞+∞，2

3.y x '=令0y '=得，0.x =列表

故3

y x =在(],0-∞及[)0,+∞上都是递增的，又因该函数在点0x =是连续的，故该函数在区间(),-∞+∞内是连续的.

3.4.2 曲线的凸凹性与拐点

定义3.2 设函数()y f x =在(),a b 内可导，若曲线()y f x =都位于其每个点处的切线的上方（或下方），则称函数()y f x =在(),a b 内的图象是凹（或凸）的. 定理3.10 设函数()f x 在区间(),a b 内具有二阶导数()f x ''，那么 （1） 若在(),a b 内，()0f x ''≥，则曲线()y f x =在[],a b 内是凹的； （2） 若在(),a b 内，()0f x ''≤，则曲线()y f x =在[],a b 内是凸的. 严格凹，严格凸，P122

例7 判断曲线ln y x =的凹凸性. 解 该函数的定义域为()0,+∞，()211

,0,0,y y x x x

'''==-<∀∈+∞ 故曲线ln y x =在()0,+∞内是凸的. 例8 讨论曲线arctan y x =的凹凸性. 解 该函数的定义域为(),-∞+∞，易得()

2

221x

y x ''=-

+，令0y ''=得0x =.

当0x <时，0y ''>；当0x >时，0y ''<，所以曲线arctan y x =在(],0-∞是凹的，在

[)0,+∞是凸的.

本例中，点()0,0是曲线的凹凸分界点，称为曲线的拐点.

定理 3.11 若函数()f x 在区间(),a b 内存在二阶导数，则()00f x ''=是点()()

00,x f x 为函数()f x 的拐点的必要条件.

例9 求曲线3

2

23214y x x x =+-+的拐点.

解 该函数的定义域为(),-∞+∞，2

1662,12612.2y x x y x x ⎛

⎫

'''=+-=+=+

⎪⎝⎭

令0y ''=得1.2

x =-当12x >-

时，0y ''>；当12x <-时，0y ''<，故点1

1,152

2⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点.

例10 求曲线4

3

341y x x =-+的拐点及凹、凸区间.

解 该函数的定义域为(),-∞+∞；3

2

2

2=1212,362436.3y x x y x x x x ⎛⎫'''-=-=-

⎪⎝⎭

解方程0y ''=，得122

0,.x x ==列表

故曲线()y f x =在区间(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭

和都是凹的，在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

是凸的.

作业 P125: 1.(1), 3.(1).

部分习题解答

1. 确定下列函数的单调区间： （1）3

3.y x x =-

解 该函数的定义域为(),-∞+∞，()()2

33311.y x x x '=-=-+-令0y '=得

121, 1.x x =-=列表

故该函数在(],1-∞-上单调递减，在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减. 2. 确定下列函数的凹凸区间与拐点： (1) 3

2

233625.y x x x =--+

解 该函数的定义域为(),-∞+∞，2

16636,1266.2y x x y x x ⎛⎫

'''=--=-=-

⎪⎝⎭

令0y ''=得1

.2

x =

列表