高二数学一次分式函数

学案15 一次分式型函数y =
ax+b
cx+d
(x ∈D) 一、课前准备： 【自主梳理】
1． 一次分函数的定义
我们把形如(0,)cx d
y a ad bc ax b
+=
≠≠+的函数称为一次分函数。

2． 一次分函数的图象和性质
(0,)cx d
y a ad bc ax b
+=
≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示.
2.2定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；
2.3 值域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠
a c y y ； 2.4 对称中心：⎪⎭
⎫
⎝⎛-
a c a
b ,； 2.5 渐近线方程：b x a =-
和c y a
=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b
a
-∞-和(,)b
a
-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b
a
-+∞分别单调递增； 【自我检测】 1．函数1
1
1--=x y 的图象是 ．
2．函数31
()1
x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10x
y x x
-=
≠的值域是 ． 4．函数21
()3x f x x +=+的单调增区间是 ．
5．函数21
()3
x f x x -=+的对称中心是 ．
6．函数()x
f x x
=
是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 二、课堂活动： 【例1】填空题：
（1）函数21
()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21
()3
x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________．
（3）已知函数()a
x x x f -+=12，若*
∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围
是 ． （4）若函数21
()x f x x a
+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .
【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x
x
x f ∈+-
=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有几个？
【例3】已知函数2()1
ax a
f x x +-=
+，其中a R ∈。

(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值及不等式()1f x x >-的解集；
(2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围.
课堂小结
高考试题对一次分式函数的考查，主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。

因此，抓住了以上七个方面的内容，也就抓住了解决一次分式函数试题的要害，也就能有效地解决一次分式函数问题。

三、课后作业
1．函数y=432
-+x x 的值域 ．
2．函数y=432
-+x x （21><x x 或）的值域 ．
3．函数y=42
-+-x x 的对称中心是 ．
4．函数y=4
2
-+-x x 的单调增区间是 ．
5．已知函数()x f =a
x x -+-2，若若*
∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围
是 ．
6．设曲线1
1
-+=
x x y 在点（3，2）处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a= ． 7．若函数2
+-=x b
x y 在区间()4,+b a ()2-<b 上的值域为()+∞,2，则
=b a ______________．
8．若函数x
x x f 1
)(-=
，则函数()()x x f x g -=4的零点是______________． 9．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”。

若函数()a
x x x f +-=1
3的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围。

10．已知函数()),(1a x x
a a
x x f ≠--+=
（1）证明：对定义域内的所有x ，都有()()022=++-x f x a f 。

（2）当()x f 的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++1,21a a 时，求()x f 的值域。

答案：【自我检测】1． B 2． {}1-≠x x
3．{}
1-≠y y
4． ()()+∞--∞-,3,3, 5． （-3，2）
例1． （1） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-89,5 （2）⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛9,21189,53 （3）65<<a （4）a ＝－2.
例2． 分析：函数f （x ）= -(0)11(0)1x
x x x x
x x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨+⎪-<⎪-⎩
其图象如右图所示，由图象可知，y=f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。

而N=｛y|y=f （x ），
x ∈M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［a ，b ］时其值域为Ｎ。

由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a<b 矛盾，所以0个.
点评：本题考查了一次分式函数、分段函数的解析式、单调性和函数的定义域、值域与集合等知识。

解题过程是由定义域与值域相等的特性建立方程，考查方程的思想和创新能力。

其中，函数大致图象的作出起到了关键作用。

例3 分析：(1)函数2()1
ax a
f x x +-=
+的对称中心为(－1，a)，与P(－1，3)比较
得a ＝3。

此时31()1x f x x -=+，不等式()1f x x >-，即3131
1(1)011
x x x x x x -->-⇔-->++
(3)
0(1)(3001
x x x x x x -⇔<⇔+-<+，由序轴标根法即得解集为{}103x x x <-<<或；
(2)由2()1
ax a
f x x +-=+知x ＝-1为()f x 的一条渐近线，又由一次分函数的性质2.6知，
当且仅当1(2)1a a ⨯->⨯，即a<1时，()f x 在(－1,+∞)上单调递减，故a 的范围是
{}1a a <。

三、课后作业 1． 13y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭
2． ()()2,11,3⋃- 3． （4，-1） 4． ()()+∞∞-,4,4,
5． 65<<a 6． -2
7．
161 8． 2
1
9． 解：由题意：方程
x a
x x =+-1
3，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴0
130432
2
a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或 10． （1）略 （2）()a x x a a x x f --+
-=--+=111，()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++1,21a a 上单调递增，所以()x f 的值域为[]1,3--。