初中数学：圆单元测试题

初中数学：圆单元测试题1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b,,则a与b大小为（）A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a≥b2．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°3．如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB =AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠ABC =30°，BC =23，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．23B．32C．2 D．34．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C．若∠CAB=30°，CD=2，则阴影部分面积是（）A． B．C．﹣D．﹣6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB7．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OPD．2PA=PC•PO8．如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则劣弧AC 的长为()A ． 6πB ． 3πC ． 2πD ． π9．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3．以点A 为圆心，AC 长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ） A ． 点B 在圆内 B ． 点B 在圆上C ． 点B 在圆外D ． 点B 和圆的位置关系不确定 10．已知⊙O 的半径为4cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P （ ）A ． 在圆内B ． 在圆上C ． 在圆外D ． 不能确定11．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，边AE 在边AB 上，AB ＝2AE ＝2．将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转60°，BE 的延长线交直线DG 于点P ，旋转过程中点P 运动的路线长为_______．12．如图，在Rt △ABC 中，∠B=60°，AB=1，现将△ABC 绕点A 逆时针旋转至点B 恰好落在BC 上的B'处，其中点C 运动路径为，则图中阴影部分的面积是_____．13．如图，扇形AOB 的圆心角为122°，C 是上一点，则∠ACB=___°.14．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=_____度．15．已知圆锥的底面半径是3cm ，高为4cm ，则其侧面积为__ 2cm ． BD16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， AB 为⊙O 的直径，点C 为的中点.若40DAB ∠=︒，则ABC ∠=_______.17．如图，粮仓的顶部是锥形，这个圆锥底面周长为32m，母线长7m，为防雨，需要在粮仓顶部铺上油毡，则共需油毡______m2．18．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则∠BOD的度数是 _______ 度.19．如图，点A，B，C，D分别在⊙O上，，若∠AOB=40°，则∠ADC的大小是_____度．20．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是________________________．21．AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线.22．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO 并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=DP，OB=3，求的长度；（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．23．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB 延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC，若∠DAO=105°，∠E=30°．（Ⅰ）求∠OCE的度数；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，求线段EF的长．24．如图，点P在射线AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，点M是射线AB上的动点(点M不与点A重合)，现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，连接AQ，PM，PN，作直线QN.(1)求证:AM=QN.(2)直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在，请求出此时AM的长，若不存在，请说明理由.(3)当以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积.25．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=2，sin∠P=，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．26．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0,2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标.27．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=9，tan∠CDA=，求BE的长．28．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形。

(1)BC是⊙O的切线吗?若是，给出证明：若不是，请说明理由；(2)若⊙O半径为1，求AD的长。

答案：1．D直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选D．2．D首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．3．A分析：根据扇形的圆心角的度数和直径BC的长确定扇形的半径，然后确定扇形的弧长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列式求解即可．详解：如图，连接AO，∠BAC=120°，∵BC=23，∠OAC=60°，∴OC=3，∴AC=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=12024 1803ππ⨯=，解得：r=23，故选B．4．C分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO ﹣S扇形AOC可得答案．详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=，AC=2CD=2，∵sin∠COD= ，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=B×AC=×2×2=2，S扇形AOC=，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO ﹣S扇形A OC=，故选：C．5．C分析：直接利用切线的性质结合扇形面积求法得出阴影部分面积=S△OBA -S扇形OBD，进而得出答案．详解：连接BO，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBA=90°，∵∠CAB=30°，CD=2，∴OB=1，AO=2，∠BOA=60°，则AB=，∴阴影部分面积=S△OBA -S扇形OBD=×1×-=﹣．故选C．6．C连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断B选项正确；连结AD，由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出不一定等于那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．连接OA，OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△OAE与△OBF中，，∴△OAE≌△OBF（SAS），∴OE=OF，故A选项正确；∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，∴，故B选项正确；连结AD,∵，∴∠BAD=∠ADC，∴CD∥AB，故D选项正确；∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，∴不一定等于，∴AC=BD不一定等于CD，故C选项不正确，故选C．7．D连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：2PA=PC•（PO+OC），因此D错误．故选D．8．C试题解析：如图所示：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×16=60°，∴∠AOC=120°，∴AC的长为1203180π⨯⨯=2π．故选C．9．C试题解析：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=2222 435AC BC+=+=．∵AB=5＞4，∴点B在⊙A外．故选C.10．A∵3<4，∴点P在圆内.故选A.11．2π试题解析：在△DAG和△BAE中{AD AB DAG BAEAG AE=∠=∠=，∴△DAG≌△BAE(SAS)，∴∠ADG =∠ABE ，如图1，∵∠1=∠2，∴90BPD BAD ∠=∠=，连接BD ，则△BPD 是以BD 为斜边的直角三角形，设BD 的中点为O ,连接OP ,则12222OP BD AB ===， ∴旋转过程中，点P 运动的路线是以O 为圆心，以OP 为半径的一段弧，如图2,当边AE 在边AB 上时,P 与A 重合,当60BAE ∠=时,设AB 的中点为M ,连接ME ,则12AE AM BM AB ===， ∴△AEM 是等边三角形，∴60,30EMA MBE MEB ∠=∠=∠=，∴90BEA ∠=， ∴B 、E . F 三点共线，∴P 与F 重合，连接AF ,可得△OFA 是等边三角形, 60AOF ∠=，∴点P 运动的路线长为：260π2π.1803⨯= 故答案为：2π. 12．分析：根据直角三角形的性质分别求出BC 、AC ，根据旋转变换的性质得到∠CAC′=60°，AC′=AC=，AB′=AB，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算．详解：Rt △ABC 中，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB=，由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AC′=AC=，AB′=AB，∴△AB′B 为等边三角形，∴BB′=1，即B′是BC的中点，∴S△AB′C =S△ABC=×1××=，S扇形C′AC=，∴图中阴影部分的面积=，故答案为：．13．119分析：在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ADB 的度数；又因为四边形ADBC是圆内接四边形，可知圆内接四边形对角互补，据此进行求解即可.详解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD.∵∠AOB=122°，∴∠ADB=12∠AOB=12×122°=61°.∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°-61°=119°.故答案为：119.14．30试题解析：连接AC，如图.∵AB 为直径，90.ACB ∴∠=︒ 63AB BC ==，， 31sin .62BC CAB AB ∴∠=== 30CAB ∴∠=︒，30.BDC ∴∠=︒故答案为： 30.15．15π试题分析：∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，由勾股定理得母线长为5cm ，∴圆锥的侧面积为12×2π×3×5＝15πcm 2． 故答案为15π．16．70解：连接AC ．∵点C 为弧BD 的中点，∴∠CAB =12∠DAB =20°．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ABC =70°．故答案为：70°．17．112试题解析：∵圆锥的底面周长为32cm, 母线长为7cm,∴圆锥的侧面积为：S 侧211327112.22lr m ==⨯⨯=（） 即所需油毡的面积至少是2112.m故答案为：112.18．100∵∠B =60°，∠C =70°，∴∠A =50°，∵OA =OD ，∴∠A =∠ADO =50°，∴∠BOD =∠A +∠ADO =100°.故答案为100.19．20分析：直接利用圆周角定理求解．详解：∵=，∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°．故答案为：20．20．直径所对的圆周角为直角试题分析：根据圆周角定理的推论求解．解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角.故答案为：直径所对的圆周角为直角.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析分析：（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；（2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，即可得到DE为⊙O的切线.详解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，又∵BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC；（2）连接OD，∵点O、D分别是AB、BC的中点，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴OD⊥DE,∴DE为⊙O的切线.22．（1）证明见解析（2）π（3）2试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°，∴的长度=（3）解：连接DG，如图2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG==6，∴EG==.23．（Ⅰ）45°；（Ⅱ）2﹣2．分析：（1）由CD是⊙O的切线可得OC⊥CD，结合AD⊥CD于点D可得OC∥AD，从而可得∠COE=∠DAE=105°，结合∠E=30°即可得到∠OCE=45°；（2）如下图，过点O作OM⊥CF于点M，则CM=MF结合∠OCE=45°，OC=即可得到OM=CM=2=MF，结合∠E=30°可得OE=2OM=4，则由勾股定理可得ME=，从而可得EF=ME-MF=.详解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠COE=∠DAO=105°，又∵∠E=30°，∴∠OCE=180°﹣∠COE﹣∠E=45°；（Ⅱ）如下图，过点O作OM⊥CE于M，∴ CM=MF，∠OMC=∠OME=90°，∵∠OCE=45°，∴OM=CM=2=MF，∵∠E=30°，∴在Rt△OME中，OE=2OM=4，∴ME=，∴EF=ME-MF=.24．(1)证明见解析； (2)存在.理由见解析； (3)劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积为π.（1）根据旋转的旋转判断出△APQ为等边三角形，再判断出∠APM=∠QPN，从而得出△APM≌△QPN即可；（2）由直线和圆相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出结论；（3）先判断出PA=PQ，再判断出PQ=PN=PM，进而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面积公式即可．(1)如图1,连接PQ,由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,可得AP=AQ,∠PAQ=60°,∴△APQ为等边三角形,∴PA=PQ,∠APQ=60°,由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N,可得PM=PN,∠MPN=60°,∴∠APM=∠QPN,则△APM≌△QPN(SAS),∴AM=QN.(2)存在.理由如下:如图2,由(1)中的证明可知△APM≌△QPN,∴∠AMP=∠QNP,∵直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆相切,∴∠AMP=∠QNP=90°,即PN⊥QN.在Rt△APM中,∠PAB=45°,PA=2,∴AM=.(3)由(1)知△APQ是等边三角形,∴PA=PQ,∠APQ=60°.∵以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q,∴PN=PQ=PA.∵PM=PN,∴PA=PM,∵∠PAB=45°,∴∠APM=90°,∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°.∵∠MPN=60°,∴∠QPN=90°,∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积,而此扇形的圆心角∠QPN=90°,半径为PN=PM=PA=2.∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积==π.25．（1）见解析；（2）20-4π.分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=，PC=2，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(2)2，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为×4×2=4，扇形ABE的面积为π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.26．（1）4；（2）存在符合条件的P点：P1（，3）；P2（，﹣1）．1）首先连接AB，由点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），利用勾股定理即可求得线段AB的长；（2）首先过点C作CD⊥OB于点D，过点C作CE⊥OA于点E，由垂径定理即可求得点C的坐标，然后由圆周角定理，可得AB是直径，即可求得⊙C的半径；（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，由垂径定理知：MN必过点C，即MN是⊙C的直径，由此可知M、N均符合P点的要求，由此即可得.1）∵A（0，2），B（2，0），∴OA=2，OB=2，Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4；（2）过点C作CD⊥OB于点D，过点C作CE⊥OA于点E，∴OD=OB=，OE=OA=1，∴圆心C的坐标为（，1），∵∠AOB=90°，∴AB是⊙C的直径，∴⊙C的半径为2；（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，由垂径定理知：MN必过点C，即MN是⊙C的直径；∴M（，3），N（，﹣1）；由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形，因此M、N均符合P点的要求；故存在符合条件的P点：P1（，3）；P2（，﹣1）．27．（1）证明见解析（2）分析: （1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB==，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到===，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长.详解:（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EB为⊙O的切线，ED是切线，∴ED=EB，∵OB=OD，∴OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=×9=6，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+6）2=x2+92，解得x=．即BE的长为．28．（1）是切线，证明见解析；（2）2试题分析：（1）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．（2）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE 为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可．试题解析：解：（1）是．理由如下：如图，连接OB．∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形．∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O的切线．（2）连接BD．∵DE是直径，∴∠DBE=90°．∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1．在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=12AD=1，则AD=2．。