2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数4
4(1i)
(1i)++-=
．
2． 已知直线10x my -+=是圆2
2:4450
C x
y x y +-+-=的一条对
称轴，则实数
m =
.
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
4． 已知1cos45
θ=，则4
4
sin cos θθ+= ． 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b
与3-a b 表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．
6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前
n 项和等于 ．
7． 设函数2
()2
f x x
=-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，
则ab 的取值范围是 ．
8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n
a
n n =∈N *
，
则[(2011)]f f = ．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ． 10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m --+=有整数解，则m 所有可能的值
是 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆2
21
x
y +=与抛物线2
y x
h
=+有公共点，求实
数h 的取值范围．
12．设2
()(,)
f x x
bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在
区间(]2,3上的最大值为
1，求2
2
b
c +的最大值和最小值．
13．如图，P 是ABC V 内一点．
（1）若P 是ABC V 的内心，证明：1902
BPC BAC ∠=+∠o
； （2）若1902BPC BAC ∠=+∠o
且1902
APC ABC ∠=+∠o
，证明：P 是ABC V
的内心．
A
P
B C
14．已知α是实数，且存在正整数n0，0nα+
正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n nα+为
有理数．
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数4
4(1i)(1i)++-=
．
答案：－8
基础题，送分题，高考难度 2． 已知直线10x my -+=是圆2
2:4450
C x
y x y +-+-=的一条对
称轴，则实数
m =
.
答案：32
- 基础题，送分题，高考难度
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）．
答案：19
145 基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错 4． 已知1cos45
θ=，则4
4
sin cos θθ+= ． 答案：45
计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度
5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b
与3-a b 表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：103
可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案
6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 ． 答案：1(848)7
n
+ 高考难度级别，基础好的同学可以做出来 7． 设函数2
()2
f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，
则ab 的取值范围是 ．
答案：(0,2) 这是一道高考题
8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n
a
n n =∈N *
，
则[(2011)]f f = ． 答案：6
这也是一道高考题
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为
4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ． 答案：4 3 还是一道高考题
10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m --+=有整数解，则m 所有可能的值
是 ． 答案：3,14,30
这是2011年苏州市一模的第十四题。

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆2
21
x
y +=与抛物线2
y x
h
=+有公共点，求实
数h 的取值范围．
解：设公共点（cos θ，sin θ），代入抛物线方程，
得2
2
2
15
sin cos sin sin 1(sin )24
h θθθθθ=-=+-=+- 因为[]sin 1,1θ∈-，所以5,14h ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
简单，很简单 12．设2
()(,)
f x x
bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在
区间(]2,3上的最大值为
1，求2
2
b
c +的最大值和最小值．
解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()
f x
A P
在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得，
故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--． 若()0f x =有实根，则2
40
b c ∆=-≥，
在区间[]2,2-有
(2)0,(2)0,22,2
f f b
⎧
⎪-⎪
⎨⎪⎪-⎩≥≥≤≤即
420,
420,44,b c b c b -+⎧⎪
++⎨⎪-⎩
≥≥≤≤消去c ，解出
4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪
-⎨⎪-⎪⎩
≤≤≤≤
即4b =-，这时4c =，且0∆=． 若()0f x =无实根，则2
40
b
c ∆=-<，将38c b =--代入解
得84b -<<-．
综上54b --≤≤． 所以2
2222(38)104864
b c b b b b +=+--=++，单调递减
故2
222min max ()32,()74
b
c b c +=+=．
注重分类讨论
13．如图，P 是ABC V 内一点．
（1）若P 是ABC V 的内心，证明：1902
BPC BAC ∠=+∠o
； （2）若1902BPC BAC ∠=+∠o
且1902
APC ABC ∠=+∠o
，证明：P 是ABC V 的内心． 证
明
：
（
1
）
111
180()180(180)90222
BPC ABC ACB BAC BAC
∠=-∠+∠=--∠=+∠o o o o
这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有
14．已知α是实数，且存在正整数n 0，0n α
+正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n n α+为
有理数． 0q
n p
α+，其中p ，q 为互质的正整数，
则2
02q n p α+=．
设k 为任意的正整数，构造2202n p k
qk n =++， 222220222q q n p k qk n p k qk pk p p αα+=+++=++=+∈Q ．
非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识
总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。

一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。

尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。

比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。