线性代数第四章 ppt
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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
线性代数第四章复习小结.ppt
r () A r ( A b )
Ax b 有解
b
是A的n个列的线性表示。
有 无 穷 解 rA ( b ) rA () n ； A x b 有 唯 一 解 rA ( b ) rA () n .
3.解的结构定理:
Ax b
的一般解(通解)
等于对应的齐次线性方程
T 3 T
2．求下列向量组的秩，及一个极大无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示：
( 1 ,1 , 0 , 0 ) , (1 , 2 , 1 ,1 ) , ( 0 , 1 , 0 ,1 ) 1 2 3 T T (1 , 3 , 2 , 1 ) , (2 , 6 , 4 , 1 ) 4 5
A中列的其它向量用极大无关组线性表示。
二．.线性方程组解的解的定理及解的结构 （一）.齐次线性方程组 Ax 0
（
1.解的条件: 有 非 零 解 r () A n A 的 n 个 列 线 性 相 关 ； A x 0 仅 有 零 解 r () A n A 的 n 个 列 线 性 无 关 .
2)V中任意r+1 个向量线性相关。 则 , 2 , , r 为V的极大无关组 1
,2 , 或 1） 1
, V 线性无关， r
, 2, , 1 r , 2, , 1 r
2）V中任一向量可由 线性表示。 则
为V的极大无关组
极大无关组有两个最基本的特点①是线性无关性； ②极大性，它标明向量组
）
2.解的性质: (1)任意两个解向量至和仍为解向量 (2)解向量与实数之积仍为解向量 从而解向量的线性组合仍为解向量
。
3.解空间的维数定理:
Ax b 有解
b
是A的n个列的线性表示。
有 无 穷 解 rA ( b ) rA () n ； A x b 有 唯 一 解 rA ( b ) rA () n .
3.解的结构定理:
Ax b
的一般解(通解)
等于对应的齐次线性方程
T 3 T
2．求下列向量组的秩，及一个极大无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示：
( 1 ,1 , 0 , 0 ) , (1 , 2 , 1 ,1 ) , ( 0 , 1 , 0 ,1 ) 1 2 3 T T (1 , 3 , 2 , 1 ) , (2 , 6 , 4 , 1 ) 4 5
A中列的其它向量用极大无关组线性表示。
二．.线性方程组解的解的定理及解的结构 （一）.齐次线性方程组 Ax 0
（
1.解的条件: 有 非 零 解 r () A n A 的 n 个 列 线 性 相 关 ； A x 0 仅 有 零 解 r () A n A 的 n 个 列 线 性 无 关 .
2)V中任意r+1 个向量线性相关。 则 , 2 , , r 为V的极大无关组 1
,2 , 或 1） 1
, V 线性无关， r
, 2, , 1 r , 2, , 1 r
2）V中任一向量可由 线性表示。 则
为V的极大无关组
极大无关组有两个最基本的特点①是线性无关性； ②极大性，它标明向量组
）
2.解的性质: (1)任意两个解向量至和仍为解向量 (2)解向量与实数之积仍为解向量 从而解向量的线性组合仍为解向量
。
3.解空间的维数定理:
线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
线性代数课件(高教版)4-2
T
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
线性代数第四章4-5节课件
后n-r列
x1 - b11 xr +1 - b12 xr + 2 x -b x - b x 2 21 r + 1 22 r + 2 xr - br 1 xr +1 - br 2 xr + 2 -
- b1,n- r xn , - b2,n- r xn , - br ,n - r xn .
方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
x1 - 3 x3 + 4 x4 0 x 2 + 2 x 3 - 3 x4 0
：线性方程组的解的判定
1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；
因为
方程组的任意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合．
x1, x2 的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关． 所以x1, x2 是原方程组的基础解系．
方法2：先求出基础解系，再写出通解．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0 的
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
大学线性代数课件第四章第四节矩阵的秩
答案2
3
添加标题
答案3
4
添加标题
矩阵$A$的秩为3。
5
添加标题
矩阵$B$的秩为3。
6
添加标题
矩阵$C$的秩为3。
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感谢聆听
第矩 阵 秩
三的 应 用
章
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组无解；如 果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多 解。
VS
向量空间的维数
矩阵的秩还可以用来确定向量空间的维 数。一个向量空间的维数等于该空间的 一组基所含向量的个数，而这个个数与 构成这组基的矩阵的秩相等。
在矩阵分解中的应用
矩阵的LU分解
矩阵的秩可以用于LU分解中。如果一个矩阵可以进行LU分解，那么这个矩阵一定是一个 满秩矩阵，即其秩等于其阶数。
矩阵的QR分解
第 量 点
言击
大
四 简 此
意处
学
节 赅 添
的加
线
矩 阐 正
述文
性
观， 点文 。字
件
的 提
第
炼 ，
四
请 尽
章
壹
目
貳
录
目录
叁
引 言
肆
矩 阵 秩 的 计 算 方 法
伍
矩 阵 秩 的 应 用
陆
矩 阵 秩 的 定 理 和 推 论
第引 言
一 章
矩阵秩的定 义
矩阵的秩也可以通过行或列的初等变换得到，即通过行或 列的线性组合来消除其他行或列中的元素，得到的行或列 中非零元素的个数即为矩阵的秩。
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线性组合.
16
例4.2.1 线性方程组的向量形式: 给定一线性方
程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
令系数矩阵 [aij]mn的列向量组为1, 2, …, n, 而 且令向量 =(b1, b2, …, bm)T,则该线性方程组可以
6
向量的相等: 两个向量=(a1, a2,…, an) 和 =(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为 O=(0, 0, …, 0)
负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量反号得 到的向量称为 的负向量，记为
1
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线 性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用 这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现 对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其 化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全 为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量 间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们 能够更深入地了解线性方程组解的结构.
条运算律)称为n维实向量空间.
1． + = +
（加法交换律）
2． +(+)=(+)+
（加法结合律）
3． +O=
4． +(-)=O
5． 1=
6． k(l)=(kl)
7. k( + )=k+k
8. (k+l)= k+l
其中, , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
10
特别地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则 (i) 0 =O，kO=O；k为任意实数； (ii) 如k=O，那么k=0 或者=O； (iii) 如+ =O，那么 = ； (iv) (1) =
第四章 向量间的线性关系与线 性方程组空间
考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合, 由于
这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵, 可以进
行加法运算和数乘运算, 并且运算的结果仍然是n 维行(列)向量. 即该集合关于加法运算和数乘运算 是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运 算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章 要定义的向量空间.
表示为以下向量形式：
x11+ x22+…+xnn =
从而, 线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程
组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组
1, 1, …, n线性表出.
17
例4.2.2 试判定向量=(1, 2, 0, 2)T是否可由向
量组
1=(1, 1, 1, 0)T, 2=(1, 1, 0, 1)T, 3=(1, 0, 1, 1)T, 4=(0,1, 1, 1)T
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm 为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
15
，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm 则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出. 注. 显然, 一向量 可由向量组1, 2, …, m 线性 表出当且仅当 也是向量组1, 2, …, m 的一个
(a1, a2,…, an) 称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向量 也可以用列的形式写出, 称为列向量:
4
b1
b2
M
bnΒιβλιοθήκη 其中，b1, b2,…, bn为任意（实）数. 如无特别申明， n维向量均为实向量.
5
通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行 向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑为所 有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n 维列向量的集合的情形）.
12
例1 证明: 如果W是Rn的一个子空间, 则必有OW.
例2 设S为R2中所有形如
a
3
a
(a为任意实数) 的向
量的集合, 验证S是R2的一个子空间.
例3 验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间. S ( a 1 ,a 2 ,L ,a n 1 ,0 ) |a 1 ,a 2 ,L ,a n 1 R
13
例4 验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是 的子空间.
(a1, a2, 1), a1, a2 R
明显地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零 向量的子集 ={O }也是Rn 的一个子空间.
14
，
§4.2 线性组合与线性表出
一、 线性组合与线性表出
定义4.2.1 设 1, 2, …, mRn, k1, k2, …, km
11
二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ; (ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间.
子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
=(a1, a2,…, an)
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向量的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的和为
+ =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn) 数乘向量:设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数， 则数 k与向量的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
向量的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
8
显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运 算律成立. 我们现在定义：
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定义4.1.2 所有n维实向量的集合Rn中定义了如上
的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的8
2
§4.1 向量空间和子空间的定义 §4.2 线性组合与线性表出 §4.3 线性相关与线性无关 §4.4 向量空间的基和维数 §4.5 极大无关组和向量组的秩 §4.6 矩阵的秩 §4.7 线性方程组解的结构 §4.8 基变换和坐标变换*
3
§4.1 定义及性质
一、 向量空间的定义 定义4.1.1 任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如 下的n元有序组
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例4.2.1 线性方程组的向量形式: 给定一线性方
程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
令系数矩阵 [aij]mn的列向量组为1, 2, …, n, 而 且令向量 =(b1, b2, …, bm)T,则该线性方程组可以
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向量的相等: 两个向量=(a1, a2,…, an) 和 =(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为 O=(0, 0, …, 0)
负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量反号得 到的向量称为 的负向量，记为
1
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线 性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用 这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现 对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其 化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全 为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量 间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们 能够更深入地了解线性方程组解的结构.
条运算律)称为n维实向量空间.
1． + = +
（加法交换律）
2． +(+)=(+)+
（加法结合律）
3． +O=
4． +(-)=O
5． 1=
6． k(l)=(kl)
7. k( + )=k+k
8. (k+l)= k+l
其中, , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
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特别地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则 (i) 0 =O，kO=O；k为任意实数； (ii) 如k=O，那么k=0 或者=O； (iii) 如+ =O，那么 = ； (iv) (1) =
第四章 向量间的线性关系与线 性方程组空间
考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合, 由于
这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵, 可以进
行加法运算和数乘运算, 并且运算的结果仍然是n 维行(列)向量. 即该集合关于加法运算和数乘运算 是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运 算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章 要定义的向量空间.
表示为以下向量形式：
x11+ x22+…+xnn =
从而, 线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程
组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组
1, 1, …, n线性表出.
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例4.2.2 试判定向量=(1, 2, 0, 2)T是否可由向
量组
1=(1, 1, 1, 0)T, 2=(1, 1, 0, 1)T, 3=(1, 0, 1, 1)T, 4=(0,1, 1, 1)T
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm 为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
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，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm 则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出. 注. 显然, 一向量 可由向量组1, 2, …, m 线性 表出当且仅当 也是向量组1, 2, …, m 的一个
(a1, a2,…, an) 称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向量 也可以用列的形式写出, 称为列向量:
4
b1
b2
M
bnΒιβλιοθήκη 其中，b1, b2,…, bn为任意（实）数. 如无特别申明， n维向量均为实向量.
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通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行 向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑为所 有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n 维列向量的集合的情形）.
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例1 证明: 如果W是Rn的一个子空间, 则必有OW.
例2 设S为R2中所有形如
a
3
a
(a为任意实数) 的向
量的集合, 验证S是R2的一个子空间.
例3 验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间. S ( a 1 ,a 2 ,L ,a n 1 ,0 ) |a 1 ,a 2 ,L ,a n 1 R
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例4 验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是 的子空间.
(a1, a2, 1), a1, a2 R
明显地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零 向量的子集 ={O }也是Rn 的一个子空间.
14
，
§4.2 线性组合与线性表出
一、 线性组合与线性表出
定义4.2.1 设 1, 2, …, mRn, k1, k2, …, km
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二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ; (ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间.
子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
=(a1, a2,…, an)
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向量的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的和为
+ =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn) 数乘向量:设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数， 则数 k与向量的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
向量的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
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显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运 算律成立. 我们现在定义：
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定义4.1.2 所有n维实向量的集合Rn中定义了如上
的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的8
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§4.1 向量空间和子空间的定义 §4.2 线性组合与线性表出 §4.3 线性相关与线性无关 §4.4 向量空间的基和维数 §4.5 极大无关组和向量组的秩 §4.6 矩阵的秩 §4.7 线性方程组解的结构 §4.8 基变换和坐标变换*
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§4.1 定义及性质
一、 向量空间的定义 定义4.1.1 任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如 下的n元有序组