2021届广西高考数学模拟试卷及答案解析
2021年广西南宁三中高考数学二模试卷(文科)(附答案详解)
2021年广西南宁三中高考数学二模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·甘肃省·模拟题)已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={−2,−1,0，1}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)设复数z =i−31+i ，则z 的共轭复数z −=( )A. −1+2iB. 1+2iC. −1−2iD. 1−2i3. (2021·广东省佛山市·单元测试)设命题p ：∀x >1，x >lnx ；则¬p 为( )A. ∃x 0>1，x 0>lnx 0B. ∃x 0≤1，x 0≤lnx 0C. ∃x 0>1，x 0≤lnx 0D. ∀x >1，x ≤lnx4. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,3)，则a⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=( )A. 0B. 1C. −1D. 25. (2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π6. (2021·浙江省·模拟题)设变量x 、y 满足约束条件{y ≤42x −3y ≤−22x +y ≥6，则目标函数z =x +y 的最小值是( )A. 1B. 3C. 4D. 57. (2021·陕西省西安市·模拟题)函数f(x)=cosx−x 2e x的图象大致为( )A. B.C. D.8.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a5+a7=160，则a1=()A. 0B. 1C. 2D. 49.(2020·黑龙江省哈尔滨市·单元测试)已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P点最短弦所在的直线方程是()A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=210.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()A. n≥6B. n≥8C. n>10D. n≥1011.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为√32，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()A. −14B. −34C. −12D. 112.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知直线l是曲线f(x)=x4−2x3在点(1,f(1))处的切线，点P(m,n)是直线l上位于第一象限的一点，则m+2nm⋅n的最小值为()A. 4B. 9C. 25D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·体验省·单元测试)已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是．14.(2021·福建省厦门市·模拟题)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则)=______ ．f(π615.(2021·甘肃省金昌市·模拟题)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，，则阴影区域的面从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为49积为______ ．16.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD=∠CPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省·单元测试)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．(1)求A；(2)从下列条件中：①a=√3；②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．优秀非优秀合计男生女生合计19.(2021·江西省萍乡市·模拟题)在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC=BE=4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE//平面ABC；(2)求点B到平面ADE的距离．20.(2021·河南省平顶山市·单元测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e=12，短轴长为2√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．21.(2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=kx2+2x−lnx．(1)当k=1时，求在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在定义域上存在极大值，求实数k的取值范围．22.(2014·山西省临汾市·模拟题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是{x=√3cosαy=sinα(α是参数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=4√2(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．23.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当a=2，b=1时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)的最小值为2，求1a+1+12b的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x≤1}，B={−2,−1,0，1}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=(i−3)(1−i)2=−2+4i2=−1+2i，∴z−=−1−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：∃x0>1，x0≤lnx0故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：由已知条件可得a⃗2=1+1=2，a⃗⋅b⃗ =1×(−1)−1×3=−4，因此，a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2×2−4=0．利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题．5.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体； 故V =34×43⋅π⋅13=π． 故选：D ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −3y =−22x +y =6，解得A(2,2)，化z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2+2=4， 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．【知识点】函数图象的作法 【解析】解：f(−x)=cos(−x)−(−x)2e −x=cosx−x 2e −x≠f(x)，即f(x)不为偶函数，其图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ；当x =0时，f(x)=1e >0，故排除D ， 故选项B 符合函数f(x)， 故选：B ．先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式 【解析】解：在等比数列{a n }中， ∵a 1+a 3=10，a 5+a 7=160， ∴{a 1+a 1q 2=10a 1q 4+a 1q 6=160， 解得q 2=4，a 1=2． 故选：C ．利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：如图：圆心坐标D(1,0)，要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，=1，此时DP的斜率k=1−02−1则弦BC的斜率k=−1，则此时对应的方程为y−1=−1(x−2)，即x+y−3=0，故选B．根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】D【知识点】程序框图【解析】解：由程序框图，其执行结果如下：1、S=0，n=0：n=2，S=2，执行循环体；2、S=2，n=2：n=4，S=6，执行循环体；3、S=6，n=4：n=6，S=12，执行循环体；4、S=12，n=6：n=8，S=20，执行循环体；5、S=20，n=8：n=10，S=30，跳出循环体，输出S=30；∴框内条件应为n≥10．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1，作差可得x12−x22a2+y12−y22b2=0，所以y1−y2x1−x2=−b2a2⋅x1+x2y1+y2=−b2a2，又因为离心率e=ca =√32，所以1−b2a2=34，所以−b2a2=−14，即直线AB的斜率为−14，故选：A．设A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线AB的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得a，b的关系，进而求出直线AB的斜率．本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．12.【答案】B【知识点】导数的几何意义【解析】解：f(x)=x4−2x3的导数为f′(x)=4x3−6x2，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为4−6=−2，切点为(1,−1)，切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为2x+y=1，则2m+n=1(m,n>0)，所以m+2nm⋅n =(2m+n)(1n+2m)=5+2mn+2nm≥5+2×2=9，当且仅当m=n=13时，取得等号．则m+2nm⋅n的最小值为9．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13.【答案】2【知识点】平均数、中位数、众数【解析】【分析】本题考查平均数的定义的运用，属于基础题．运用平均数的定义，解方程可得a的值．【解答】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．14.【答案】12【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，∴φ=π2，f(x)=cos2x，则f(π6)=cosπ3=12，故答案为：12．由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得f(π6)的值．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．15.【答案】16【知识点】几何概型【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S 6×6=49，解得：S =16． 故答案为：16．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．16.【答案】2π3【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征 【解析】解：如下图所示：当P 在面DCC 1D 1内时，AD ⊥面DCC 1D 1，CM ⊥面DCC 1D 1；又∠APD =∠MPC ，在Rt △PDA 与Rt △PCM 中，∵AD =6，则MC =3，∴tan∠APD =ADPD=tan∠MPC =MCPC，则6PD =3PC ，即PD =2PC.在平面DCC 1D 1中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则D(−3,0)，C(3,0)，设P(x,y)，由PD =2PC ，得√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2， 整理得：x 2−10x +y 2+9=0，即(x −5)2+y 2=16． ∴点P 的轨迹是以F(5,0)为圆心，半径为4的圆． 设圆F 与面DCC 1D 1的交点为E 、M ， 作EK 垂直x 轴于点K ，则sin∠EFK =EK EF=24=12；∴∠EFK =π6；故点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线为劣弧ME ⏜，所以劣弧ME ⏜的长为π6×4=2π3．由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面DCC1D1内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线，进而求得交线长．本题考查棱柱的结构特征、圆的方程、弧长问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC，由正弦定理得(b−a)(b+a)=(b−c)c，即b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =12,A∈(0,π)，所以A=π3．(2)选择①a=√3.由正弦定理bsinB =csinC=asinA=2，即△ABC周长l=2sinB+2sinC+√3=2sinB+2sin(2π3−B)+√3=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+π6)+√3，∵B∈(0,2π3)∴π6<B+π6<5π6,12<sin(B+π6)≤1，即△ABC周长的取值范围(2√3,3√3],选择②S△ABC=√3.，得S△ABC=12bcsinA=√34bc=√3，得bc=4．由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，即△ABC周长l=a+b+c=√(b+c)2−12+b+c，∵b+c≥2√bc=4，当且仅当b=c=2时等号成立．∴l=a+b+c≥√42−12+4=6，即△ABC周长的取值范围[6,+∞)．【知识点】正弦定理及变形、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、三角形面积公式、利用余弦定理解决范围与最值问题、由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解决范围与最值问题、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．(2)选择①a =√3.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC 周长l =2√3sin(B +π6)+√3，可求B +π6的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC 周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc =4，由余弦定理得a 2=(b +c)2−12，根据基本不等式可求b +c ≥2√bc =4，即可得解△ABC 周长的取值范围．18.【答案】(1)男生的平均分x −1=45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×960=71.5，女生的平均分x −2=45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×240=71.5，从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：计算可得K 2=100×(15×25−15×45)230×70×60×40≈1.786<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案．本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取AC 中点O ，连接BO ，DO ，由题知，BO 为∠ABC 的平分线，BO⊥AC，DO⊥AC，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC．∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，∴DO⊥平面ABC，∴DO//EF，……………………………………………………………(2分)∵BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF=60°，∴EF=2√3，又DO=2√3，∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE//BO，…………………………………(5分)BO⊆平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC.……………………………………(6分) (2)解：设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2……………………………(8分)1 3⋅12⋅AD⋅DE⋅d=13⋅12⋅ED⋅DO⋅2……………………………(10分)解得d=√3.………………………………(12分)【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取AC中点O，连接BO，DO，证明BO⊥AC，DO⊥AC，连接EF，说明EF⊥平面ABC.推出DO⊥AC，利用BE和平面ABC所成的角为60°，证明DE//BO，推出DE//平面ABC．(2)设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2，求解距离即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ca =122b=2√3，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由B1(0,√3)，F2(1,0)，知B1F2的斜率为−√3，因为MN ⊥B 1F 2，故MN 的斜率为√33，则直线l 的方程为y =√33(x −1)，即x =√3y +1，联立{x 24+y 23=1x =√3y +1，得13y 2+6√3y −9=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6√313，y 1y 2=−913，则△F 1MN 的面积为S =c ⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2413， 则△F 1MN 的周长L =4a =8， 即S =12LR ，得内切圆R =2S L=613，所以△F 1MN 的内切圆面积为πR 2=36169π.【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由离心率e =12，短轴长为2√3，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)由题可知B 1F 2的斜率为−√3，又MN ⊥B 1F 2，得MN 的斜率为√33，写出直线l 的方程，联立椭圆的额方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，进而可得△F 1MN 的周长L =4a =8，则内切圆R =2S L，进而可得△F 1MN 的内切圆面积．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=x 2+2x −lnx ，f′(x)=2x +2−1x ，因为f(1)=3，f′(1)=3，故f(x)在x =1处的切线方程为y −3=3(x −1)，即y =3x ； (2)f′(x)=2kx +2−1x =2kx 2+2x−1x，x >0，设g(x)=2kx 2+2x −1，①当k =0时，g(x)=0可得x =12，易得，当0<x <12时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >12时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)有极小值，没有极大值；②当k >0时，△=4+8k >0，由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)有极小值，没有极大值； ③当k <0时，△=4+8k ，当k ≤−12时，△=4+8k ≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减，没有极大值， 当−12<k <0时，△=4+8k >0， 由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，或x =−√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当√1+2k−12k<x <−√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，当x >−√1+2k−12k，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x =−√1+2k−12k取得极大值，综上−12<k <0．【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(1)把k =1代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； (2)先对函数求导，结合导数与单调性的关系讨论k 的范围，确定函数单调性，进而确定极值的存在情况，可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα，可得{√3=cosαy =sinα，两式两边平方相加得：(√3)2+y 2=1，即曲线C 1的普通方程为：x 23+y 2=1．由曲线C 2：ρsin(θ+π4)=4√2得：√22ρ(sinθ+cosθ)=4√2，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y −8=0， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y −8=0．(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d 的最小值为3√2，此时点P 的坐标为(32,12)．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求得椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=|x −2|+|x +1|≥9，所以{x ≤−1−2x +1≥9或{−1<x ≤23≥9或{x >22x −1≥9，(3分)解得：x ≤−4或x ≥5，故解集为(−∞,−4]∪[5,+∞)；(5分)(2)由a >0，b >0，所以f(x)=|x −a|+|x +b|≥|x +b −x +a|=|a +b|=a +b ， 当且仅当(x −a)(x +b)≤0，即−b ≤x ≤a 时，等号成立． 若f(x)的最小值为2，则a +b =2，所以(a +1)+b =3，(7分)1a +1+12b =13(1a +1+12b )((a +1)+b)=13(32+b a +1+a +12b )≥13(32+2√12)=13(32+√2)=12+√23当且仅当ba+1=a+12b，即a =5−3√2，b =3√2−3时，等号成立．(9分)所以1a+1+12b 的最小值为12+√23.(10分)【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)去掉绝对值，转化求解不等式的解集即可． (2)由推出a +b =2，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2021年广西高考数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 13 页 2021年广西高考数学模拟试卷（满分：150分，考试时间：120分钟。
请将答案填写在答题卡上）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－2，－1,0,1}D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63．若0tan >α，则 （ ）A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x ≥”的否定形式是 （ ）.A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )。
2021届广西南宁市高三一模数学(文)试卷及答案解析
绝密★启用前2021届广西南宁市高三一模数学（文）试题学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}24A x x =≤，{}1,0,1,2,3B =-，则AB =（）A ．{}2,3-B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2答案：D先求出集合A ，再由交集定义即可求出. 解：{}{}2422A x x x x =≤=-≤≤，{}1,0,1,2A B ∴=-.故选：D.2．复数()()112z i i =+-，则z 的虚部是（） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3答案：B利用复数的乘法法则化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部.解：()()21121223z i i i i i i =+-=-+-=-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：B. 3．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．725-B ．725C ．1825D ．2425答案：A由二倍角公式结合诱导公式即可求解. 解：3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，297sin 2cos 22cos 121242525ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，392S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．n B ．12n + C ．21n - D ．312n - 答案：B由等差数列前n 项和公式求出公差，即可得出通项公式. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则313293+3+322S a d d ⨯===，解得12d =，()111122++n n a n ∴=-⨯=.故选：B.5．已知直线l ，两个不同的平面α和β.下列说法正确的是（） A ．若l α⊥，αβ⊥，则//l β B ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥ C ．若//l α，//l β，则//αβ D ．若l α⊂，//αβ，则//l β答案：D根据线面和面面位置关系的性质即可依次判断.解：对A ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或l β⊂，故A 错误；对B ，若//l α，αβ⊥，则l 与β相交，平行或在平面内，故B 错误； 对C ，若//l α，//l β，则α与β平行或相交，故C 错误；对D ，若l α⊂，//αβ，则由面面平行的性质可得//l β，故D 正确. 故选：D.6．若实数x 、y 满足约束条件203030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．3B ．5C ．6D ．8答案：D作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，找出使得该直线在x 轴上截距最大值时对应的最优解，代入目标函数即可得解.解：作出不等式组203030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立320x x y =⎧⎨-+=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩，即点()A 3,5，平移直线z x y =+，当直线z x y =+经过可行域的顶点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 358z =+=. 故选：D.点评：思路点评：：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．过点()2,2P 的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（）A ．3420x y+=-B ．4320x y --=C ．3420x y+=-或2x =D ．4320x y --=或2x =答案：C当1l 斜率不存在时可知满足题意；当1l 斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，由此可得切线方程.解：当过()2,2P 的直线1l 斜率不存在时，方程为2x =，与圆()2211x y -+=相切，满足题意；当过()2,2P 的直线1l 斜率存在时，设方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∴圆()2211x y -+=的圆心到1l 的距离202211k k d k --+==+，解得：34k =，131:042l x y ∴-+=，即3420x y+=-；∴直线1l 的方程为3420x y+=-或2x =.故选：C.点评：易错点点评：：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现. 8．已知函数()1ln f x x=，则其大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：B通过函数的定义域排除选项D,再通过1x >时的函数值确定选项. 解：由题得函数的定义域为{|1}x x ≠，所以选项D 错误； 当1x >时，1ln 0,0,()0ln x f x x>∴>∴>，所以选项B 正确，选项A,C 错误.故选：B点评：方法点评：：根据函数的解析式确定函数的图象，一般先找差异，再验证. 9．某中学高三文科⒉班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分.测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法： ①该小组英语听力测试分数的极差为12 ②该小组英语听力测试分数的中位数为21 ③该小组英语听力测试分数的平均数为21 ④该小组英语听力测试分数的方差为11 其中说法正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据统计量的相关性质，直接计算，逐项判断即可得解.解：对①，该小组英语听力测试分数的极差为26-14=12，故①正确； 对②，该小组英语听力测试分数的中位数为21，故②正确； 对③，该小组英语听力测试分数的平均数为2023222114182025261892199+++++++++==，故③正确；④该小组英语听力测试分数的方差为222221[(2021)(2321)(2221)(2121)(1421)9-+-+-+-+- 2222106(1821)(2021)(2521)(2621)]9+-+-+-+-=，故④错误.故选：C.10．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（）A ．12B ．14C ．16D ．18答案：C由已知求出2p =，得出直线方程1y =+，联立直线与抛物线，利用弦长公式即可求出.解：由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得240x --=，设()()1122,,,A x y B x y，则12124x x x x +==-，则16AB ==.故选：C.点评：方法点评：：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.11．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e=（） ABCD 答案：C由题结合双曲线的性质可得1F N ON ⊥，11F N F P b ==，ON OP a ==，又得3MNb =，MP =，再由222MN ON OM +=即可求出b a =，即可求出离心率.解：如图，ON OP =，1F P OM ⊥，则由双曲线的对称性可得1F N ON ⊥，11,tan bOF c NOF a=∠=，则可得11F N F P b ==，ON OP a == 112MF F N =，1122MF F N b ∴==，3MN b ∴=，则()2223MP b b b =-=，在MNO 中，222MN ONOM +=，即()()22233b a a b +=+，可得3b a =， 2231b e a ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭. 故选：C.点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．b c a << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<答案：A先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小， 再作差利用基本不等式有2323log 3log 222log 3log 220a c -=+->⨯=即可得解.解：由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==， 2323log 3log 222log 3log 22220a c -=+->⨯>-=，所以a c >， 所以a c b >>，故选：A.点评：本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小； （2）中间量法比较大小； （3）作差法、作商法比较大小. 二、填空题13．已知向量()2,1a =-，(),4b x =，若a b ⊥，则x =__________. 答案：2根据向量的垂直，则数量积0a b ⋅=，代入向量坐标即可得解. 解：由a b ⊥可得：()()2,1,4240a b x x ⋅=-⋅=-+=，所以2x =. 故答案为：2.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若22a =，516a =，则6S 的值为__________. 答案：63由已知求出首先和公比即可得出. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ,则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得11,2a q ==， ()661126312S ⨯-∴==-.故答案为：63.15．函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为_________. 答案：5根据题意()sin ()sin()6363g x x x ππωππωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，且(0)sin()163g ωππ=-=±， 可得,,632k k Z ωππππ-=+∈56k ω=+，由0>ω即可得解.解：由题意可得：()sin ()sin()6363g x x x ππωππωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 由()g x 的图象关于y 轴对称， 可得(0)sin()163g ωππ=-=±，所以,,632k k Z ωππππ-=+∈56k ω=+，由0>ω，则ω的最小值为5. 故答案为：516．已知母线长为6的圆锥的顶点为S ，点A 、B 为圆锥的底面圆周上两动点，当SA 与SB 所夹的角最大时，锐角SAB 的面积为_________.答案：3可得当SA 与SB 所夹的角最大时，AB 为底面圆的直径，根据三角形面积可得sin SAB ∠=，进而得7cos 9SAB ∠=，再由余弦定理可求出半径，得出体积.解：设底面半径为r ，当SA 与SB 所夹的角最大时，AB 为底面圆的直径，此时166sin 2SABSSAB =⨯⨯⨯∠=，解得sin 9SAB ∠=，SAB 为锐角三角形，7cos9SAB ∴∠==，则()22227266266169r AB ==+-⨯⨯⨯=，解得2r ，则圆锥的体积为21233π⨯⨯=.故答案为：3. 点评：关键点评：：本题考查圆锥体积的计算，解题的关键是根据已知求出圆锥的底面半径. 三、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B C c -+=-.（1）求角A ；（2）若ABC的面积2ABC S =△a 的取值范围. 答案：（1）30；（2）2a ≥（1）由正弦定理化角为边可得222b c a +-=，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得8bc =+. 解：（1）由已知结合正弦定理可得()()()a b a b c c -+=，即222b c a +-=，则由余弦定理可得222cos 222b c A bc bc a +===-， ()0,180A ∈，30A ∴=；（2）11sin 224ABC S bc A bc ===△，则8bc =+由22224a b c bc =+≥=，当且仅当b c =时等号成立，2a ∴≥.18．在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628 i iix y xy =-=∑).答案：（1） 1.664.4y x=+；（2）75或76.（1）由表格中的数据及所给公式求得b和a的值，则线性回归方程可求；（2）由回归方程求解预测值，注意x的取值.解：（1）由题意，1234563.56x+++++==，666770717274706y+++++== ()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5iix x=-=-+-+-+++=∑()171277281.617.5iiiiix xx y x yb==--∴===∑∑70 1.6 3.564.4a y bx=-=-⨯=∴y关于x的线性回归方程为 1.664.4y x=+；（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x=，此时 1.6764.475.6y=⨯+=保留整数为75或76人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75或76人.点评：思路点评：：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，11B C，BC的中点.（1）求证：//GH 平面11CDD C ； （2）若3ABC π∠=，求证：11B C ⊥平面1A AM .答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，可证四边形1GEC H 为平行四边形，得出1//GH C E ，即可证明；（2）通过AM BC ⊥和1AA BC ⊥可证BC ⊥平面1A AM ，再由11//B C BC 即可证明. 解：（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，G 为AC 的中点，//GE AD ∴，且12GE AD =， 在直四棱柱中1111B C A D AD ，H 为11B C 中点，1GE C H ∴，故四边形1GEC H 为平行四边形，1//GH C E ∴，GH ⊄平面11CDD C ，1C E ⊂平面11CDD C ，∴//GH 平面11CDD C ；（2）四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，ABC ∴为等边三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，1AM AA A ⋂=，BC ∴⊥平面1A AM ，11//B C BC ，∴11B C ⊥平面1A AM .20．已知函数()ln e xxf x a x =⋅-，其中a R ∈.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴的交点为()2,0，求a 的值；（2）设函数()()1g x f x x =-，当2e 4a =-时，试讨论()g x 的单调性.答案：（1）a e =；（2）函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 （1）本题首先可通过函数解析式得出()1af e=，然后通过求导得出()11f '=-，并写出()f x 在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程，最后通过切线与x 轴的交点为()2,0即可得出结果. （2）本题可根据题意得出()()22214x x e x x e g x e x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，然后构造函数()()20xe h x x x =>，通过导函数求函数()2x e h x x=的最值从而得出2204xe x e ，最后分为()0,1x ∈、()1,x ∈+∞两种情况进行讨论，即可得出结果.解：（1）因为()()ln 0e x x f x a x x =⋅->，所以()11ln11e a f a e=⋅-=， 因为()11e x x f x a x -'=⋅-，所以()111111e 1f a -'=⋅-=-，则()f x 在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1a y x e ，即10ax ye， 因为切线与x 轴的交点为()2,0，所以210ae，解得a e =. （2）因为()()1g x f x x =-，所以()()l e 10n x g xa x x x x =-⋅>-，则()()()22211n 1e 11l x x x x x e ax x g x a x e x x e xx a x -+-'=---⋅=⋅+=， 当2e 4a =-时，()()22214x x e x x e g x e x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， 构造函数()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'=， 即当02x <<时，函数()h x 单调递减；当2x >时，函数()h x 单调递增，当2x =时，函数()h x 取最小值，()224e h =，即当0x >时，224x e e x ≥，224xe x e ，2204x e x e ，因为()()22214x x e x x e g x e x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， 所以当()0,1x ∈，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0g x '≤，函数()g x 在()1,+∞上单调递减，综上所述，当2e 4a =-时，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.点评：关键点点评：：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数()2x e h x x =得出2204xe x e 是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题.21．已知经过原点O 的直线与离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>交于A ，B两点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M.记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值.答案：（1）2212x y +=；（2）13-.（1）由点A 在短轴端点时，12AF F △面积取得最大值，得到1bc =，再根据椭圆的离心率为22求解.（2）设直线PM 的方程为y kx m =+与2212x y +=联立，根据PM 是椭圆的切线，由0∆=，得到22210k m -+=，设()00,P x y ，用导数法求得02x k y =-，然后根据()()()122,2,1,0,1,0M k m F F --+-，由01202,13y k mk k x -+==+-求解. 解：（1）因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==， 设()00,A x y ，则120122AF F Sc y =⨯， 当0y b =时，12AF F △面积取得最大值， 所以1bc =，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设直线PM ：y kx m =+与2212x y +=联立得：()222124220k x kmx m +++-=，因为PM 是椭圆的切线，所以()()()2224412220km k m ∆=-⨯+⨯-=，即22210k m -+=，由2212x y +=，得2212x y =-， 所以2yy x '=-，则2xy y'=-， 设()00,P x y ，则02x k y =-①， 因为220012x y +=，所以()220021x y =-②，将①②代入22210k m -+=，得2201m y =， 因为0,m y 同号，所以01=m y ， 因为M 在直线2x =-上，所以()()()122,2,1,0,1,0M k m F F --+-， 所以01202,13y k mk k x -+==+-， 所以()()()0000120023131x y m y y k m k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭⋅==++,()()000001131313x my x x x --+==-=-++.点评：方法点评：：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R .（1）求曲线C 的极坐标方程，若原点O 在曲线C 的内部，则求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，又点P 为此时曲线C 上一动点，求PMN 面积的最大值.答案：（1）222cos 20a a ρρθ-+-=，a <<；（2）4（1）将曲线C 的参数方程消去参数得出普通方程，将222,cos x y x ρρθ+==代入可得曲线C 的极坐标方程，由()22002a -+<可求出a 的范围；（2）利用弦长公式求出MN ，求出点P 到直线的最大距离，即可得出面积的最大值.解：（1）将曲线C的参数方程x a y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，可得普通方程为222x ay ，即222220x y ax a +-+-=，将222,cos x y x ρρθ+==代入可得曲线C 的极坐标方程为222cos 20a a ρρθ-+-=，若原点O 在曲线C 的内部，则()22002a -+<，解得a <<；（2）当1a =时，圆C 的方程为()2212x y -+=，圆心为()1,0C，半径r =直线l 的极坐标方程()3πθρ=∈R化为直角坐标方程为y =，由22(1)2x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得24210x x --=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则121211,24x x x x +==-，||MN ====∴要使PMN 面积最大，只需点P 到直线的距离最大， 圆心()1,0C到直线的距离2d ==，则点P到直线的最大距离为2d r +=+ 所以PMN面积的最大值为12+=⎝. 点评：关键点评：：本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查三角形面积的最值，解题的关键是清楚极坐标和直角坐标的关系，知道三角形面积最大只需满足点P 到直线的距离最大. 23．已知函数()1f x ax =-.（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-+的解集；（2）若()1,2x ∈时，不等式()1f x x x +->成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[),02,-∞+∞.（1）当2a =时，得原不等式等价于2112x x -++>，分1x ≤-、112x -<<、12x ≥三种情况解不等式2112x x -++>，综合可得出原不等式的解集；（2）由()1,2x ∈，可得出不等式()1f x x x +->等价于11ax ->，分0a <、0a =、0a >三种情况进行讨论，在前两种情况下验证即可，在0a >时，解不等式11ax ->，根据已知条件可得出集合间的包含关系，综合可得出实数a 的取值范围.解：（1）当2a =时，()21f x x =-，则()21f x x >-+等价于2112x x -++>. 当1x ≤-时，则有12132x x x ---=->，解得23x <，此时1x ≤-； 当112x -<<时，则有12122x x x -++=->，解得0x <，此时10x -<<； 当12x ≥时，则有21132x x x -++=>，解得23x >，此时23x >.综上所述，当2a =时，不等式()21f x x >-+的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； （2）当()1,2x ∈时，不等式()1f x x x +->成立等价于当()1,2x ∈时11ax ->成立.若0a <，则当()1,2x ∈时，111ax ax -=-+>恒成立； 若0a =，则当()1,2x ∈时，11ax -=，不合乎题意；若0a >，由11ax ->可得11ax -<-或11ax ->，解得0x <或2x a>. 由题意可得()21,2,a ⎛⎫⊆+∞⎪⎝⎭，则201a <≤，解得2a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是()[),02,-∞+∞.点评：方法点评：：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝Z，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，且B＝Z；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2．已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝1，则复数z的虚部为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝1，
得z ＝，
∴复数z 的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、
标准差分别为σ
甲、σ
乙
，则（）
A ．＜，σ甲＜σ乙
B ．＜，σ甲＞σ乙
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广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算2．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 5．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,再求U C A . 【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 6．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．7．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d = B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-【答案】C 【解析】 【分析】 由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】 因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C9．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C ．2e - D ．4e- 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩ 24at t e =-=，解得a 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A．B．C． D【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=r rr r r r计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ， 而(2)=0a b b -⋅r r r， 即260m ---=， 解得8m =-，则cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r r 故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】 【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省桂林市2021届新高考数学二模试卷含解析
广西省桂林市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab < D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.2．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m ⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.3．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.4．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】 【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题5．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )A BC ．4D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b-=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．6．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．21π2C ．41π4D ．10π【答案】C 【解析】 【分析】取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.7．如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．在平行四边形ABCD中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A====u u u v u u u v u u u v u u u v若CP C12,Q⋅=u u u v u u u v则ADC∠=( )A．56πB．34πC．23πD．2π【答案】C【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.9．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640 B ．416C ．406D ．236-【答案】B 【解析】2m n +=，有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得．【详解】当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的m nx y 的系数之和为8024096416++=．故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．10．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.12．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学五模考试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.3．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C ．D ．【答案】B 【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 4．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ．本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．6．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++，∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3. 【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BC．D【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 8．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．10．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 12．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B =-+∞U ， 故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学一模试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1∙若集合A I X 2x|-X 1 0 ,B x| 1 X 2 ,贝U AI B =:()A •[ 2,2)B •(1,1]C •1,1 D. 1,2 【答案】C【解析】【分析】求出集合A, 然后与集合B取交集即可.【详解】由题意，A I X 2x|- 0 x| 2 X 1 , B {x| 1 x 2},则AI B {x| 1 X 1},故答案X 1为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题•2•执行如图所示的程序框图，若输入的t 3,则输出的i （）D. 63【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果【详解】执行程序框t 3, i 0 ；t 8, i 1 ；t 23, i 3 ；t 68, i 7 ；t 203, i 15 ；t 608, i 31，满足t 606 ,退出循环，因此输出i 31，故选:B.【点睛】3. “a 2”是直线ax 2y 1 0与X (a 1)y 2 0互相平行”的()A .充分不必要条件B•必要不充分条件 C •充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当a 2时，直线方程为2x 2y 1 0与x y 2 0 ,可得两直线平行；若直线ax2y10与X a 1 y 2 0互相平行，则a a 1 2 ,解得a1 2，a21,则“a 2”是直线ax 2y 1 0与X a 1 y 2 0互相平行”的充分不必要条件,【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题•4.冷是函数f X I ax 1 x在区间内单调递增”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C .充分必要条件【答案】C【解析】I aX 1 X ∣ax2 X ,令ax2 X 0,解得X I 0, x2由上两图可知，是充要条件故选AD.既不充分也不必要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法5.已知定义在R上的可导函数f X满足1 X f X X f X 0 ,若y f(χ2) e3是奇函数，则不等式X f(x)X 12e0的解集是(, 2 ,1C.2,D.1,【答案】A【解析】【分析】构造函数g XfX,根据已知条件判断出g X的单调性根据y f X 2 e3是奇函数，求得f 2的值, 由此化简不等式X f (X) 2e x 10求得不等式的解集【详解】构造函数g XfX,依题意可知X—0 ,所以在R上递增.由于y 2 e3是奇函数，所以当0时, e30 ,所以f 2 所以3e~2-e2e.由X f (X)X 1 /口2e 0 得g2e g 2 ,所以X 2 ,故不等式的解集为,2.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式, 考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法, 属于中档题•6.已知双曲线2 2C : Xy =1(a>0 ,a bb>0)的右焦点为4F，过原点O作斜率为-的直线交C的右支于点A，若IoAFIoFI , 则双曲线的离心率为(D. 3+1【答案】B【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为2XC2,联立X2~2a2yy2b22C,可求出点1b 2∣~2 b 2b 2—4A a ^c------- ,—,则一=C2 三，整理计算可得离心率C C a j Cb 3C【详解】7.已知定义在 0, 上的函数f(x)满足f (X)22),且当 X 0,2 时，f (X) X 2x •设2n 9C l 牛卫，只需找到数列｛c n ｝的最大值即可•2n【详解】解：以0为圆心，以 OF 为半径的圆的方程为 2 2 2XyC ,2 X 联立 x 2 a 2 y 2y b 2 2 C ,取第一象限的解得 1 C b 2b 2b 2,则 ICb 2a ∖ C b整理得 9C 25a 25a 2(舍去)，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力, 是中档题 f(x)在2n 2,2n 上的最大值为a n ( n N ),且数列 a n 的前n 项的和为S n .若对于任意正整数 n 不等式k S n 1 2n 9恒成立，则实数 k 的取值范围为(A . 0, 1 32 ,3 C . 64 , 7D .64,【答案】C 【解析】 【分析】 由已知先求出f (X)max21 ,即 a n = n 12 -,进一步可得S n2n 1 ,再将所求问题转化为 k 2晋对2n丄f(X于任意正整数 n 恒成立，设当 2n 2 X 2n 时，则 O x 2 2 n 2, f(x 2 2n) (X 2 2n )(x 2n), 2n 1 (X 2 2n)(x 2n),显然当 X 2n 1 时,f (x)m aχ 2n 1,故a n = 2n-1, S n2n 1 ,若对于任意正整数n 不等式1 22n 9k S n 1 2n 9恒成立，即k2n 2n 9对于任意正整数n 恒成立，即k n 对于任2n2n 911 2n 人 11 2n 小 ” 口 11 意正整数n恒成立，设 C n 歹 ，C n 1 C n 尹厂，令—尹 O ,解得n 三， 人 11 2n C 11*r 1令一百O ,解得n,考虑到n N ,故有当n 5时，｛C n｝单调递增，2233 当n 6时，有｛C n ｝单调递减，故数列｛C n ｝的最大值为C 6 飞2643所以k —.64故选：C. 【点睛】是一道较为综合的数列题I 1 r √31 r 1 r b B.- b C . — b D .b I22 12【答案】D 【解析】 【分析】【详解】故选：D.【点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题 9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是(所以，f(x) 2n1f[x 2(n1)]本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、 等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识,&已知非零向量Ll * Ib ,右b 且2a b √3 b ,则向量 b 在向量a 方向上的投影为(设非零向量a 与b 的夹角为 在等式2a两边平方, 求出COS 的值，进而可求得向量 b 在向量a 方向上的投影为COS ,即可得解.r r r 2 b 得2a br23br 2,整理得2a 2ar 2 b「2rr2a 2 a 2 a COS 40 ,解得cos因此，向量b 在向量a 方向上的投影为A . 1. 1B . 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题 【详解】 初始值n O , S 111第一次循n 1 , S1 一2 2；第二次循环：n 2 , S 1 2 12 3 3第三次循环：n 3 , S 1 3 13 4 4第四次循环：n 4 , S — 4 —4 5 5第五次循环：n 5 , S 1 5 15 6 6第六次循环：n 6 , S 1 6 16 7 7第七次循环：n 7 , S — 7 —7 8 8 18 1第九次循环：n 8， S ———；8 9 9 1 9 1第十次循环：n 9， S — — —0.1；9 10 101 所以输出S 9 0.9. 10故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题110 .已知复数Z 满足—1 i ,则Z 的值为（）D . 2. 8ZC . -J2 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数Z进而求得其模【详解】12i，所以Z1 12 2故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题11. 一个陶瓷圆盘的半径为IOcm ,中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001)(1000粒米后，发）A. 3.132 B . 3.137C. 3.142D. 3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知:S H241025110003.137故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型, 属于基础题12 .设等差数列θn的前n项和为S n ,若a4 5, S9 81 ,则印。
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第 1 页 共 13 页 2021届广西高考数学模拟试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。
请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )
A ．{－1,0}
B ．{0,1}
C ．{－2，－1,0,1}
D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足
a =2
b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
3．若0tan >α，则 （ ）
A ．0sin >α
B ．0cos >α
C ．02sin >α
D ．02cos >α
4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x ≥”的否定形式是 （ ）.
A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <
B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <
C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <
D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <
7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D. 3。