第四章随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
1381_高中数学： 随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 课后习题(含答案
4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值必备知识基础练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P3*******则X的数学期望E(X)等于()A.32B.2C.52D.32.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于()A.35B.815C.1415D.13.已知随机变量X的分布列是X4a910P0.30.1b0.2若E(X)=7.5,则a等于()A.5B.6C.7D.84.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3x xA.118B.19C.209D.9205.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的数学期望E(X)等于()A.126125B.65C.168125D.756.若从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个数,则这两个数的乘积的数学期望是.7.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为23,乙命中的概率为45,且他们的结果互不影响,若命中目标的人数为ξ,则E(ξ)=.8.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.9.在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积X的均值是.关键能力提升练10.已知0<a<23,随机变量ξ的分布列如图,则当a增大时,ξ的期望E(ξ)变化情况是()ξ-101P13a bA.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.E(ξ)先增后减D.E(ξ)先减后增11.(2021四川模拟)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上的地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同.比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为()A.12B.1C.32D.212.(多选题)某市有A ,B ,C ,D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为23,游览B ,C 和D 的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数,则下列选项正确的是()A.游客至多游览一个景点的概率为14B.P (X=2)=38C.P (X=4)=124D.E (X )=13613.随机变量X~B 10,12,变量Y=20+4X ,则E (Y )=.14.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E (ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E (ξ2)=.15.某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为12,后2天均为34,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X 的分布列和数学期望.学科素养创新练16.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为34,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为45,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果ξ的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分ξ的分布列和数学期望;(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.参考答案4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值1.A E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32.2.A X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,P(X=2)=C32C102=115,所以E(X)=1×715+2×115=35.3.C因为E(X)=4×0.3+0.1a+9b+2=7.5,又0.3+0.1+b+0.2=1,所以a=7,b=0.4.4.C由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=118,所以,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×118=209.5.B根据题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,所以E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65.6.8.5从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是110,所以E(X)=110×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.7.2215ξ的可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)=13×15=115,P(ξ=1)=23×15+13×45=25,P(ξ=2)=23×45=815,所以E(ξ)=0×115+1×25+2×815=2215.8.110由题意可得随机变量X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又E(X)=3,所以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式解得a=110,b=0.所以a+b=110.9.49P(X=0)=3×3+2×3×2+1×3×236=2736,P(X=1)=2×236=19,P(X=2)=2×236=19,P(X=4)=136,X的分布列为X0124P27361919136所以E(X)=0×2736+1×19+2×19+4×136=49.10.B()=-13+,++=1,即E(ξ)=-13+23-a=13-a,所以当a增大时,ξ的期望E(ξ)减小,故选B.11.B 记抽到自己准备的书的学生数为X ,则X 的可能取值为0,1,2,4,P (X=0)=C 31×3A 44=924,P (X=1)=C 41×2A 44=824,P (X=2)=C 42×1A 44=624,P (X=4)=1A 44=124,所以E (X )=0×924+1×824+2×624+4×124=1.故选B .12.ABD 记该游客游览i 个景点为事件A i ,i=0,1,则P (A 0)=1-231-121-121-12=124,P (A 1)=23×1-123+1-23C 31×12×1-122=524,所以游客至多游览一个景点的概率为P (A 0)+P (A 1)=124+524=14,故A 正确;随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,P (X=0)=P (A 0)=124,P (X=1)=P (A 1)=524,P (X=2)=23×C 31×12×1-122+1-23×C 32×122×1-12=38,故B 正确;P (X=3)=23×C 32×122×1-12+1-23×C 33×123=724,P (X=4)=23×123=112,故C 错误;数学期望为E (X )=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136,故D 正确.故选ABD .13.40因为X~B 10,12,所以E (X )=10×12=5,因为Y=20+4X ,所以E (Y )=20+4E (X )=20+20=40.14.6576ξ1可取值为0,1,2,P (ξ1=0)=C 21C 21C 51C51=425,P (ξ1=1)=C 31C 21+C 21C 31C 51C 51=1225,P (ξ1=2)=C 31C 31C 51C51=925,所以E (ξ1)=1×1225+2×925=65.ξ2可取值为0,1,2,P (ξ2=0)=C 21C 21C 51C 61=430,P (ξ2=1)=C 31C 31+C 21C 41C 51C 61=1730,P (ξ2=2)=C 31C 31C 51C 61=930,所以E (ξ2)=1×1730+2×930=76.15.解(1)由题意,可知未来5天每天都组织课间操的概率为P 1=123142=1128,所以未来5天至少一天停止课间操的概率:P=1-P 1=1-1128=127128.(2)未来5天组织课间操的天数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,P (X=0)=123342=9128,P (X=1)=123C 213414+C 3112122×342=33128,P (X=2)=C 3212212342+C 3112×122·C 213414+123142=46128,P (X=3)=C 3112122142+C 3212212×C 211434+123342=30128,P (X=4)=C 3212212142+123×C 211434=9128,P (X=5)=123142=1128,所以X 的分布列为X 012345P912833128461283012891281128数学期望E (X )=0×9128+1×33128+2×46128+3×30128+4×9128+5×1128=2.16.解(1)在A 点投篮命中记作A ,不中记作;在B 点投篮命中记作B ,不中记作,其中P(A)=34,P()=1-34=14,P(B)=45,P()=1-45=15,ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则P(ξ=0)=P()=P()P()P()=14×15×15=1100,P(ξ=2)=P()+P(B)=2×14×15×45=225,P(ξ=3)=P(A)=34,P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=14×45×45=425.ξ的分布列为P(ξ=0)=1100,P(ξ=2)=225,P(ξ=3)=34,P(ξ=4)=425.所以E(ξ)=0×1100+2×225+3×34+4×425=305100=3.05,所以ξ的数学期望为3.05.=P(ξ≥3)=34+425=91100=0.91,(2)选手选择方案甲通过测试的概率为P1=P(ξ≥3)=2×15×45×45+45×45=112125=0.896,因为P1>P2,所以该选手选择方案乙通过测试的概率为P2选手应选择方案甲通过测试的概率更大.。
第四章、随机变量的数字特征解答
第四章、随机变量的数字特征1．解：由题设可得222222()01()()()(0)(1)()i i ii i iEX x P x q p pDX E X EX x EX P x p q p p p q pq pq p q pq==⨯+⨯==-=-⋅=-⨯+-⨯=+=+=∑∑2．解：由题设可得0111[(1)(1)]111[(1)(1)]11(1)()!!()!!(1)!()!(1)!(1)![(1)(1)]!()nk k n ki i n ik nk n kk nk n kk nk n k k n k k n k n k n EX x P x k C p qn k p q k n k n p q k n k n np p q k n k np C pq np p q np-=-=-=----=------=-==⋅=⋅-=---=----==+=∑∑∑∑∑∑2201111111111111111[(1)1][(1)][(1)1]()nk k n k n k n k k n kn k nk k n k n k n nk k n kk k n kn n k k EX k C p q np C k pq np k C pq np k Cp qC p q np n p np np q -=----=----=--------===⋅==-+=-+=-+=+∑∑∑∑∑故222()()()DX EX EX np np q np npq=-=+-= 3．解：由题设可得11!(1)!kk k k EX k e k ek e e λλλλλλλλλ∞-=-∞-=-=⋅=-=⋅=∑∑220111121212!(1)!(1)![]kk k k k k k k k k EX k e k ek k ek k e k k e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∞-=-∞-=-∞-=--∞∞-==-=⋅=⋅-=-+⋅-=+--=+=+∑∑∑∑∑2222()DX EX EX λλλλ=-=+-= 4．解：由题设可得111122111(1)k k k k EX k pqp kq p p q p p∞∞--===⋅==⋅=⋅=-∑∑2211112121322[(1)](1)21(1)(1)2k k k k k k k k EX k pq k k k pq pq k k qp kq pqpq q q p p ∞-=∞-=∞∞--===⋅=-+=-+=+--+=∑∑∑∑2222221()()q p qDX EX EX p p p+=-=-= 5．解：由题设可得 1()2baa bEX x f x dx x dx b a +∞-∞+=⋅=⋅=-⎰⎰222221()3baa ab b EX x f x dx x dx b a +∞-∞++=⋅=⋅=-⎰⎰222222()()()3212a ab b a b b a DX EX EX +++-=-=-=6．解：由题设可得0222222222()1()()()2()211()()x x x x xEX x f x dx x e dxx de x e e d x EX x f x dx x e dx DX EX EX λλλλλλλλλλλλ+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-+∞+∞--∞=⋅=⋅=-=---==⋅=⋅==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7．解：由题设可得2()2()x EX x f x dx x dx μδ--+∞+∞-∞-∞=⋅=⎰⎰令x t μδ-= 则有222222()0t t t EX t dtte dtEX e dt δμδδμ+∞--∞+∞+∞---∞-∞=+==⎰2222()22()()()()x DX E X EX x f x dxx dxμδμμ+∞-∞--+∞-∞=-=-⋅=-⎰⎰令x t μδ-= 则有222222222222222222())]tt tt tDX t dtt e dt t det e e dtδδδ+∞--∞+∞+∞---∞-∞+∞---∞===-+∞=-+-∞=+=⎰⎰8．解：由题设可得11()EX x f x dxx+∞-∞-=⋅==⎰⎰1222112()122EX x f x dx xx dx+∞-∞-=⋅===⎰⎰⎰2211()022DX EX EX=-=-=9．解：由题设可得()12xEX x f x dxx e dx+∞-∞+∞--∞=⋅=⋅=⎰⎰22222002200001()2()()()022()22xx xx xx xxEX x f x dx x e dxx e dx x dex e e d xxe dx x dee dx+∞+∞--∞-∞+∞+∞--+∞-+∞-+∞+∞--+∞-=⋅=⋅=⋅=-=---=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()202DX EX EX=-=-= 10．解：由题设可得222030()()()()14133X x x x xxE X e x e f x dxx e e dxxe dx e dx+∞---∞+∞--+∞+∞--+=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰11．解：由题设可得101!(1)!kk k k EX k e ee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---===⋅==⋅=-∑∑2220!kk EX k e k λλλλ∞-==⋅=+∑22[(1)(2)]32()322E X X EX EX λλλ--=-+=+++=220λλ-=故 2λ= （0λ=舍去） 12．解：（1）记以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域为D ，则区域D 的面积为12D S =， 从而（X ，Y ）的联合概率密度为 12,(,)(,)0,(,)Dx y DS f x y x y D ⎧=∈⎪=⎨⎪∉⎩（2）111120()()(,)2()2()142()23xDE X Y x y f x y dxdyx y dxdy dx x y dy x x +∞+∞-∞-∞-+=+=⋅+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．解：（1）根据数学期望的性质，有()000E X Y EX EY +=+=+=（2）根据方差与协方差及相关系数的性质，有(,)0.5(,)20.51()2(,)22216R X Y cov X Y D X Y DX DY cov X Y ====⨯=+=++=++⨯=14．解：（1）根据 ()(,)X i i j jp x p x y =∑与 ()()Y j i j ip y p x y =∑ 得X 与Y 的边缘分布分别为故 55315,88864E X E Y D X D Y ====⨯=(,)111110001101148822i j i j ijEXY x y P x y ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑∑故 1557(,)28864c o vX Y E X Y E X E Y =-=-⨯=77(,)15R X Y === 15．解：由于 221(1,3),(0,4),(,)2X N Y N R X Y =- 故有 221,3,0,4EX DX EY DY ====(,)(,)1,(,)6122R X Y cov X Y cov X Y ====-=-从而11111()103232323X Y EZ E EX EY =+=+=⨯+⨯=22()()()2cov(,)32323211112cov(,)94321111342(6)39432X Y X Y X Y DZ D D D DX DY X Y =+=++=++⋅⋅⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-= 16．解：由题设，有2221(1)12,62211(1)(),22242X E EX EX X X D D DX DX -=-==-====从而2222()6()2()4,2DX EX EX EX EX EX =-=-===17．解：由()1f x dx +∞-∞=⎰得11()12ax b dx a b +=+=⎰ 又由题设条件 118DX = 得1011()32EX x ax b dx a b=+=+⎰122011()43EX x ax b dx a b =+=+⎰222221111()()()43321111114393418DX EX EX a b a b a b a ab b =-=+-+=+---=由上解得：2,0a b == 从而 11220323EX =⨯+⨯= 18．解：由于2~(,)X N μσ且EX = 3，DX = 1，故 23,1,1~(3,1)EX DX X N μσσ=====故{11}(1)(1)1313()()11(2)(4)[1(2)][1(4)](4)(2)0.9999680.97720.022768P X F F -≤<=-----=Φ-Φ=Φ--Φ-=-Φ--Φ=Φ-Φ=-=19．解：由于~(,)X B n p ，故2.4(1) 1.44EX np DX np p ==⎧⎨=-=⎩从而 6,0.4,~(6,0n p XB ==00611566{1}{0}{1}0.40.60.40.60.023328P X P X P X C C ≤==+==⨯⨯+⨯⨯=20．解：（1）根据数学期望的性质，有()231E X Y EX EY -=-=-=-（2） 根据方差与协方差及相关系数的性质，有222()20216D XE X E X =-=-= 222()34325DY EY EY =-=-=(,)0.5R X Y ===(,)10()2(,)162521021cov X Y D X Y DX DY cov X Y =-=+-=+-⨯=五、证明题：1．证：由题设 ，有222222()[()()][()()][()()2()()]()()2[()()]2(,)D X YE X Y E X Y E X EX Y EY E X EX Y EY X EX Y EY E X EX E Y EY E X EX Y EY DX DY Cov X Y +=+-+=-+-=-+-+--=-+-+--=++2．证：由题设 ，有*[]0EX E E X EX ==-=22***2*222()()[]11()1DX EX EX EX X EX E E DX E X EX DX DX DX=-=-===-=⋅=。
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章 随机变量的数字特征1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。
得，00101191010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。
因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =⨯=。
2． 解：1500300022201500()()(3000)5001000150015001500x xE X xf x dx dx x dx +∞-∞-==+-=+=⎰⎰⎰。
3． 解：1()(2)0.400.320.30.2kk i E X xp ∞===-⨯+⨯+⨯=-∑；221(35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞=+=+=⨯+⨯+⨯=∑22(35)3()513.4E X E X +=+=。
4．解：（1）0()(2)2()2()22(|)2xx x E Y E X E X xf x dx x edx xe e dx +∞+∞+∞--+∞--∞==== =-+=⎰⎰⎰.（2）2233001133()()()|Xxx x E Y E eef x dx e dx e +∞+∞----+∞-∞=== =-=⎰⎰.5．解：（1）333111()10.420.230.42i i i ij i i j E X x px p •======⨯+⨯+⨯=∑∑∑.333111()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p •======-⨯+⨯+⨯=∑∑∑.（２）7111()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-⨯+-⨯++⨯+⨯=-∑。
221()40.400.340.3 2.8k k i E X x p ∞===⨯+⨯+⨯=∑（3）51()40.390.4160.010.200.15i i i E Z z p ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
第4章随机变量数字特征习题解答
4 16 4 − = 5 15 25
1 2(1− x ) 0 0
∫
+∞
−∞
xyp ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫
6 x 2 y 2 dy =
4 15
且 E ( X ) = E (Y ) = 0 ，D ( X ) = D (Y ) = 1 ， 令U = X ， 32． 已知随机变量 X 与 Y 不相关，
Y=
X 1 + X 2 + L + X 10 ( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X 10 与 X 同分布)，则 E (Y ) = 10
a
．
25．对目标进行独立射击每次命中率均为 p = 0.25 ，重复进行射击直至命中目标为止， 设 X 表示射击次数，则 E ( X ) = _____4______．
D (2 X − 3Y ) = ___11_____．
21．若 D ( X ) = 4 ， D (Y ) = 1 ， ρ XY =
1 ，则 D ( X − Y ) = ___3____． 2
22．若 ( X , Y ) 的相关系数 ρ XY 存在，则 | ρ XY | 的可能的最大值等于_____1______． 23 ． 若 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 相 关 系 数
1 b p ( x)dx = ∫ (12 x 2 − bx + 3)dx = 6 − 得， b = 12 0 2 1 1 E ( X ) = ∫ x(12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 2 1 2 E ( X 2 ) = ∫ x 2 (12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 5
ρ XY 存 在 ， 则 | ρ XY |= 1 的 充 要 条 件 是
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
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第四章 随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （ C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 63、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. 0.04 C. 0.4 D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X-C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 B ． 21 C ．23D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34B ． 37C ． 323D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13B ． 15C ． 19D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)31,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31 B ． 1 C ． 310 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1B. D （X ）=3C. P （X=1）=0D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X12、设随机变量)21,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ） A ． -0.8 B ． -0.16 C ． 0.16 D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1 ，则常数x =( B)A ． 2B ． 4C ． 6D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（ D ） A ．4)(,2)(==X D X E B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ） A ． 91-B ． 0C ． 91D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ）A ． 2-B ． 0C ．0.5D 2 18、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A) A ． 5.2- B ． 0.5 C ． 2 D ． 5 19、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ B ） A ．2161 B ． 361 C ． 61 D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，9)，Y ～N (0，1)，令Z=X-2Y ， 则D (Z)=（D ） A ． 5 B ． 7 C ． 11 D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D (X)>0，D (Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = B ． )()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ． {}22εσεμn n X P ≥<- B ． {}221εσεμn X P -≥<- C ． {}221εσεμn X P -≤≥- D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 B ． 31 C ． 98D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ） A ．91 B ． 31 C ． 94 D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 B ．2 C ．3 D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =52、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=13、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为216131321iP X414121101iP Y - 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）= 2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E ( Y )=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1 ，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y ，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772） 17、设随机变量X ~ B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16≤X ≤24}=0.6826 附：Φ（1）=0.8413 18、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y)=4, D (Y )=9,又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
试求：（1）参数λ的值。
（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率 （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ） 解：（1）因为 X 服从泊松分布，则 !}{k e k X P k λλ-==，0;,2,1,0>=λΛk ，又因为 }2{}1{===X P X P所以!2!121λλλλ--=e e ，2=λ所以 !2}{2k e k X P k -==，0;,2,1,0>=λΛk（2）2201!021}0{1}1{---=-==-=≥e e X P X P 所以 一小时内至少有一个顾客光临的概率为21--e 。
（3）因为 X 服从泊松分布，则2)(==λX E ，2)(==λX D ， 所以 622)]([)()(222=+=+=X E X D X E2)(21)221()(22+=+=X E X E Y E =52621=+⨯所以该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）=52、设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<--=othery x y x y x f ,010,10,2),(求：)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X ，),(Y X ρ解：)(X E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x x dx ， )(Y E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x y dx)(XY E =⎰⎰=--101061)2(dy y x xy dx ， )(2X E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x x dx)(2Y E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x y dx ，)(X D =14411)125(123))(()(222=-=-X E X E )(Y D =14411)125(123))(()(222=-=-Y E Y E),cov(Y X =144112512561)()()(-=⨯-=-Y E X E XY E ),(Y X ρ=)()(),cov(Y D X D Y X =1111441114411441-=-。