北京大学数学物理方法典范课程教材二阶常微分方程
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pku二阶常系数非齐次特解求法之二
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x)
解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型 0 不是根
设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 , 2 是重根
1/14
(2) f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x] 型
11/14
特征根 r 2 (二重)
求微分方程 y 4 y 4 y eax 的通解.
(2) 求非齐次方程旳特解 (m 0, a)
◆ 当a 2时，即 2 不是特征根.
设特解 y x 0A eax Aeax 且
y Aaeax , y Aa2eax , 将y, y, y
代入方程,
t) f
(t
1)
)dt ,得
初始条件 f (0) 0,即y(0) 0;
又由f (0x) cos 0x 0x f (t)dt,得 0
初始条件 f (0) 1, 即y(0) 1.
8/14
初始条件 y(0) 0, y(0) 1. y y sin x ( 0, 1, Pl ( x) 0, Pn( x) 1)
2/14
f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设 y py qy P ( x)e( i ) x , y2 xk Qme(i )x
y x kex[Qmeix Qmeix ] 欧拉公式
xkex[Qm (cosx i sinx) Qm (cosx i sinx)]
cos x 0 f (t)dt
积分方程
两端再对x求导,得 f ( x) sin x f ( x) 微分方程
即 f ( x) f ( x) sin x 即 y y sin x
y py qy f ( x)
解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型 0 不是根
设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 , 2 是重根
1/14
(2) f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x] 型
11/14
特征根 r 2 (二重)
求微分方程 y 4 y 4 y eax 的通解.
(2) 求非齐次方程旳特解 (m 0, a)
◆ 当a 2时，即 2 不是特征根.
设特解 y x 0A eax Aeax 且
y Aaeax , y Aa2eax , 将y, y, y
代入方程,
t) f
(t
1)
)dt ,得
初始条件 f (0) 0,即y(0) 0;
又由f (0x) cos 0x 0x f (t)dt,得 0
初始条件 f (0) 1, 即y(0) 1.
8/14
初始条件 y(0) 0, y(0) 1. y y sin x ( 0, 1, Pl ( x) 0, Pn( x) 1)
2/14
f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设 y py qy P ( x)e( i ) x , y2 xk Qme(i )x
y x kex[Qmeix Qmeix ] 欧拉公式
xkex[Qm (cosx i sinx) Qm (cosx i sinx)]
cos x 0 f (t)dt
积分方程
两端再对x求导,得 f ( x) sin x f ( x) 微分方程
即 f ( x) f ( x) sin x 即 y y sin x
数学物理方法课件：二阶常微分方程级数解法
）R
0
（ k2 2）
当： 0 （欧拉型常微分方程）
2
d2R
d 2
dR
d
m2R
0
R（）
E F ln E m F m
（m 0） （m 0）
当： 0
（m 阶贝塞尔方程）（x ）
x2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
m 2）R
0
§9·2 常点邻域上的级数解法
讨论用级数解法求解带初始条件的
d2Z dz 2
Z
0
d2R
d 2
1
dR
d
（
m2
2
）R
0
Z（z） Ce z De z
对R（）作变量代换：x dR dR dx dR
dx d
d dx d
dx
d 2R
d 2
d（ dR ）
d d
d（ dx
dR ）dx
dx d
d 2R dx2
m
阶贝塞尔方程：
x
2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
0
同乘 2 移项：
RZ
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
2
Z
d2Z dz 2
k2 2
1
d 2
d 2
分解成两个方程：
d 2
d 2
0
构成本征值问题
（ 2） （）（自然周期条件）
本征值： m2 （m 0，1，2，3，）
本征函数：（） Acos m B sinm
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
二阶常微分
第三章 二階常微分方程式3.1 二階齊性常係數方程式二階線性微分方程式之通式如下式:(3.1) )()()(x r y x g y x f y =+′+′′式中，f 、g 及r 為x 之任意已知函數，若r (x )=0時，稱為二階齊性微分方程式:(3.2) 0)()(=+′+′′y x g y x f y 若f 及g 均為一常數(實數)，則稱之為二階齊性常係數微分方程式:(3.3) 0=+′+′′by y a y 其解可藉其特性方程式(characteristic equation ， 或補助方程式)求解:(3.4) 02=++b a λλ(3.4)式之兩根為:)4(2121b a a −+−=λ )4(2122b a a −−−=λ (3.5) 狀況1. λ有兩相異實根λ1，λ2，則其通解為:(3.6) x x e C e C y 2.121λλ+=狀況2. λ有兩共軛複數根λ1，λ2，故λ1，λ2可分別表成:iq p iq p −=+=21,λλ二式中p 及q 為實數且q ≠0，故其基本解系(basis)為:x iq p x iq p e y e y )(2)(1,−+==由Euler 公式:θθθθθθsin cos ,sin cos i e i e i i −=+=−故:)sin (cos )sin (cos 21qx i qx e y qx i qx e y px px −=+=因此: qx e y y iqx e y y px px sin )(21,cos )(212121=+=+ 上二函數之右端均為實數，故由齊性線性微分方程式之基本定理，可知上二式為(3.3)微分方程式之兩解，而且由於其商數並非常數，故之於任意區間內均為線性獨立，故其通解為:(3.7) )sin cos (qx B qx A e y px +=狀況3.λ有一重根，即λ1=λ2，或a 2-4b =0，b = (1/4)a 2代回(3.3)式而得:0412=+′+′′y a y a y (3.8) 其一解答為y 1=e -ax/2，應用參數變化法，令:)()()(212x u ex u x y y x a −== 代入(3.8)式:0)2()41(1111211=′′++′′++′+″y u ay y u y a ay y u 或: 0)(122=′′++−′−−y u ae aeu x a x a故:0=′′u 因u=x 為上式解答之一，故可得另一解為:)2(2a xey x −==λλ 因y 2/y 1=x 不為常數，故y 1及y 2於任何區間均為線性獨立，因此其通解為: )2()(21a e C C y x −=+=λλ (3.9)3.3生物膜擴散模式如圖3.2所示之生物膜處理污水示意圖，污水中之基質(substrate)濃度為S 0，經擴散層質傳至生物膜表面為S S ，若此擴散層質傳為整個處理程序之控制因素，則S S ≦0.2 S 0;而若生物分解作用為整個處理程序之控制條件時，S S ≦0.8 S 0，基質於膜中之分子擴散係數(moleculardiffusion coefficient)為D f ，膜中微生物細胞密度為X f ，若k 為基質S f 被微生物利用之最大速率，K S 為半速率係數。
二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1精品PPT课件
k 0
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
二阶微分方程(PPT课件)
积分，得
例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）
积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、 ； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得 微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得 积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,
二阶及高阶常微分方程式
靜平衡時 F0 +W= -ks0 + mg = 0 (y=0) 當彈簧由靜平衡再往下拉時(必為外力)，y>0 此時，彈簧上將產生額外之回復力 (restoring force) ， F1 =-ky
24
(無阻尼系統) Undamped system F1 = -ky = my〃 → my〃 + ky =0 y〃 + (k/m)y = 0 → y〃+[√(k/m)]2y=0 →y〃+w02y=0
3
21
Bounday value problem 邊界值問題 y(p1) = k1，y(p2) = k2 p1，p2 邊界點
Example 4
22
自由振盪 (Free Oscillation)
Mass-Spring system 質量-彈簧系統 (模型) 未拉伸 靜平衡
運動中
23
假設彈簧質量未考慮 彈簧係數 k - spring const. Newton’s 2nd law F=my〃 ， y〃=d2y/dt2 Hook’s law (虎克定律) F0= -ks0 (彈簧向上回復原始之彈力)
Example 7
但不等於 cnost
方可形成basis
9
常係數知齊次線性二階ODE
y'‘ + ay‘ +by = 0 with a,b = const
對於前述常係數知齊次一階ODE
y‘ + k y = 0
Test y = e
λx
y =e
-kx
代入上式(二階ODE)
基底
10
y' = λeλx y'' = λ2eλx
Example1,2(p73)
24
(無阻尼系統) Undamped system F1 = -ky = my〃 → my〃 + ky =0 y〃 + (k/m)y = 0 → y〃+[√(k/m)]2y=0 →y〃+w02y=0
3
21
Bounday value problem 邊界值問題 y(p1) = k1，y(p2) = k2 p1，p2 邊界點
Example 4
22
自由振盪 (Free Oscillation)
Mass-Spring system 質量-彈簧系統 (模型) 未拉伸 靜平衡
運動中
23
假設彈簧質量未考慮 彈簧係數 k - spring const. Newton’s 2nd law F=my〃 ， y〃=d2y/dt2 Hook’s law (虎克定律) F0= -ks0 (彈簧向上回復原始之彈力)
Example 7
但不等於 cnost
方可形成basis
9
常係數知齊次線性二階ODE
y'‘ + ay‘ +by = 0 with a,b = const
對於前述常係數知齊次一階ODE
y‘ + k y = 0
Test y = e
λx
y =e
-kx
代入上式(二階ODE)
基底
10
y' = λeλx y'' = λ2eλx
Example1,2(p73)
数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题
2R' 'R'm2R 0
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个 方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示 式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个 方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示 式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解
6.数学物理方法讲义课件-第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
0
标准形式为
d2 dt
w
2
2 t
1 t2
p
1 t
dw dt
1 t4
q
1 t
w
0
若 t = 0 是常点/奇点，则 z = ∞ 就是常点/奇点。
t = 0 ( z = ∞ )为方程常点的条件
2 t
1 t2
p
1 t
和
1 t4
q
1 t
不含
t
负幂项
p
1 t
2t
a2t
2
a3t
3
q
1 t
dt
dt t 2 dz
t
dw dw dt t 2 dw
dz dt dz
dt
d 2w
dz2
d dz
dw dz
d dz
t2
dw dt
d dz
t2
dw dt
t2
d dw dz dt
d
dz
t2
d dz
1 z2
2 z3
2t 3
d dw
dz dt
k0
k0
k0
ck2 (k 2)(k 1)z k ck2 (k 2)(k 1)z k2 2ck1(k 1) z k1 l(l 1)ck z k 0
k0
zk 同次幂合并后，得 ck2 (k 2)(k 1) ck k(k 1) 2ck k l(l 1)ck z k 0 k0
解 z = 0 为常点，有 w(z) ck zk , z 1 k0
代入方程得
(1 z 2 ) ck k(k 1)z k2 2z ck k z k1 l(l 1) ck z k 0
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自然的周期边界条件： ( 2 ) ()
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
l-阶缔合勒让德方程 x cos
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
x
(1 x2 ) d [(1 x2 ) d][l(l 1)(1 x2 ) m2] 0
d 2 0 d 2
Z '' 2Z 0
d 2 R 1 dR (k 2 2 )R 0
d2 d
2
齐次边界条件，本征值问题 () Am cos m Bm sin m
2 0 k2 2 0
m2 m 0,1, 2,
d2R
d2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
x
d2R dx2
1 x
k 1
k 0
[l(l 1)a0 2a2 ] [l(l 1)a1 2a1 6a3]x
[l(l 1)ak 2kak k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 ]xk 0
20
k2
[l(l 1)a0 2a2 ] [l(l 1)a1 2a1 6a3]x
{[l(l 1) k(k 1)]ak (k 2)(k 1)]ak2}xk 0 k2
dR dx
(1
m2 x2
)R
0
m阶贝塞耳方程
14
分离变数结果
方程
球坐标系
柱坐标系
拉普拉斯 方程
u 0
(
)
cos sin
m m
rl
R(r
)
1
/
r
l
1
( xl)-阶连 带勒让德方 程
(
)
cos sin
m m
0
2 0
Z
(z)
e
z
e z
R() m-阶
贝赛尔方程
Z
(
z)
cos sin
本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值。
的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数． 3. 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借
助于解析函数的理论进行讨论． 4. 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 5. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的
求解问题中．
19
（三）勒让德方程的级数解法 (1 x2 ) y '' 2xy ' l(l 1) y 0
dr dr
x kr
d
(x2
dR )
[
x2
l(l
1)]R
0
dx dx
12
d (x2 dR) [x2 l(l 1)]R 0 dx dx
R(r) x1/ 2 y( x)
R ' 1 x3/ 2 y x1/ 2 y ' 2
[ x2 R ']' [ 1 x1/ 2 y x3/ 2 y ']' 1 x1/ 2 y x1/ 2 y ' x3/ 2 y ''
y ''( x) k(k 1)ak xk2 k2
代入方程
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1 l(l 1) ak xk 0
k2
k 1
k 0
或
k(k 1)ak xk2 k(k 1)ak xk 2 kak xk l(l 1) ak xk 0
k2
k2
欧拉形式方程
对欧拉形式方程作变量代换
t lnr
dR = dR dt = 1 dR , dr dt dr r dt
d2R dr 2
=
1 r2
d2R dt 2
dR dt
,
5
d 2 R dR dt 2 dt l(l 1)R 0
因式分解
d dt
l
1
d dt
l
R
0
解为：
R(r )
Cr l
对于复变函数：
d2w
dw
p(z) q(z)w 0
dz 2
dz
（一）定义
y(x0 ) C0 ,
w(z0 ) C0
y '(x0 ) C1
w '(z0 ) C1
方程的常点 z0 ：p(z) 和 q(z) 在其邻域解析。否则为奇点。
（二）常点邻域的级数解
定理： 方程的常点 z0的邻域 z z0 R中 p(z) 和 q(z) 解析，则
z z
R( )
m-阶虚宗量贝赛 0 尔方程
Z(
z
)
1 z
R0
(
)
1
ln
Rm (
m0
)
m
m
15
三类数学物理方程
分离时间空间变量
Helmholtz方程
分离空间坐标变量
连带Legendre方程、Bessel方程
16
m 阶 Bessel 方程
x2 y '' xy ' x2 m2 y 0
l(l 1)a0 2a2 0
l(l 1)a1 2a1 6a3 0
[l(l 1) k(k 1)]ak (k 2)(k 1)]ak2 0
递推公式
k(k 1) l(l 1) (k l)(k l 1) ak2 (k 2)(k 1) ak (k 2)(k 1) ak
系数的两 个序列
x
x
1
l
l
3!
2
x3
.
R lim k
k l k l 1
1
所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外 发散。
可以证明 Legendre 方程的级数解在 x 1 处发散。
（Gauss判别法）
22
2. x=1解的收敛性
可以证明，当解 y(x) ak xk 是无穷级数时，不可能在两
T '' a2k2T 0 振动方程 v k2v 0 亥姆霍兹方程
（三）输运方程的分离变量
ut a2u 0
令 u(r, t) T(t)v(r )
T 'v a2Tv 0
T' a2T
v v
0
T ' a2k2T 0 增长或衰变的方程
v k2v 0 亥姆霍兹方程
11
（四）亥姆霍兹方程
1. 球坐标 1 (r2 v ) 1 (sin v ) 1 2v k2v 0
2
4
1 x1/ 2 y x1/ 2 y ' x3/ 2 y '' [ x2 l(l 1)]x1/ 2 y 0 4
x2 y '' xy '[x2 (l 1)2 ]y 0 2
l 1 阶贝塞耳方程
2
13
2. 柱坐标
1
(
v )
1
2
2v
2
z
(v ) k2v z
0
v(,, z) R()()Z(z)
l 阶连带 Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
m2 1 x2
y
0
m 0 ,Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
y
0
17
9.2 常点邻域的级数解法
解析函
线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。 数理论
y '' p(x) y ' q(x) y 0
v2
上下低面的齐次边界条件
x v
虚宗量贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
(1 )R 0
dx2 x dx
x2
的可能数值 v 的可能数值
10
（二）波动方程的分离变量
utt a2u 0
令 u(r, t) T(t)v(r )
T ''v a2Tv 0
T '' a2T
v v
0
T '' v k2 a2T v
dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件
3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉 普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致 的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程
（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u ( 2 2 2 )u 0 x2 y2 z2
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
球域内Laplace方程的边值问题
d2Z
Z d 2
d
2
d 2
R
dz 2
0
2 d 2 R dR 2 d 2 Z R d 2 R d Z dz2
2
RZ
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
1 R
d2R
d2
1
R
dR
d
m2
2
Z Z
9
Z '' Z 0
d 2 R 1 dR
m2
+ + (μ - )R = 0
1.级数解
化为标准形式：
y
''