时域抽样定理
4_17 连续时间信号时域抽样定理
ws 2
ws
wm
w s wm 当w s 2w m时
C
wm
ws
w
X ( jw )
1
wm
A
wm
w
信号的重建(由抽样信号xsam(t)恢复连续信号x (t))
xsam(t)
hr(t)
t
t
x(t)
hr (t ) F 1[ H r ( jw)] Sa (
4. 信号时域抽样理论分析
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz，带宽8kHz。 解调后语音信号
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号 fsam=8kHz 抽样后的频谱。 抽样后的语音信号(不解调)
4. 信号时域抽样理论分析
X(jw)
1 6 -28 -24 -20 8 0 8 6 20 24 28
f
fm=28 kHz
X(ejW)
1/T
-32
-28
-24 -20 -6 -2 -8 -4
0
4
8
2 6 20
24 28
36
f
fsam=8 kHz
5. 信号的重建
X s ( jw )
H r ( jw )
X ( jw )
H r ( jw )
X s ( jw)
T
1 T
X ( jw ) X s ( jw ) H r ( jw )
T
抽样定理证明模型
X sam ( jw )
k
x ( kT )e -jkwT
k
x[ k ]e -jkΩ X (e jW )
连续时间信号的时域抽样
x[k ] x(t ) t kT
2. 为什么进行信号抽样
输入
x(t)
A/ D
x[k]
离散 系统
y[k]
D/ A
用数字方式处理模拟信号
输出
y(t)
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
X sam(
j)
1 2π
X
( j) *sam
n
(
nsam )
1 T
n
X[ j(
nsam)]
X sam ( j) x(k T)e jkT x(k T)e jkΩ X (e j )
k
k
4. 信号抽样的理论推导
号最高频率的2倍，这就是著名的
6. 信号抽样的物理实现
x(t)
A/D
x[k]=x(kT)
T
x[k] x(t) t kT
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
T
(s)
wsam=2p/T (rad/s) fsam=1/T (Hz)
例1 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t) x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
国 典
物理学 。 1976
家 年
， 在
Texas逝世。他对信息论做出了重
信号验证时域抽样定理
clear all%1. Ts<Tn时Ts=0.02wm=40*pi; %Tn=0.025wc=1.2*wm;%理想低通截止频率Ts=[0.02]; % 1 Ts<TnN=length(Ts);for k=1:N;n=-200:200;nTs=n*Ts(k);fs=(cos(8*pi*nTs)+2*sin(40*pi*nTs)+cos(24*pi*nTs))t=-0.25:0.001:0.25;ft=fs*Ts(k)*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-0.25:0.001:0.25;f1=(cos(8*pi*t1)+2*sin(40*pi*t1)+cos(24*pi*t1));%在一副图中画原连续信号f(t)和样信号f_s(t)。
%figure(3*k-2)subplot(3,1,1),plot(t1,f1,'r:','linewidth',2),hold onstem(nTs,fs),grid onaxis([-0.25 0.25 -4 4])line([-0.25 0.25],[0 0],'color','k')line([0 0],[-4 4],'color','k')xlabel('nTs'),ylabel('f(nTs)');title(['抽样信号Ts=',num2str(Ts(k)),'时的抽样信号f(nTs)'])legend('包络线','抽样信号',0)%重构y(t)t2=-0.25:0.001:0.25;yt=wc*Ts/pi.*(cos(8*pi*t1)+2*sin(40*pi*t1)+cos(24*pi*t1));er=abs(f1-yt);subplot(3,1,2),plot(t1,yt);axis([-0.25 0.25 -4 4])line([-0.25 0.25],[0 0],'color','k')line([0 0],[-4 4],'color','k')xlabel('t'),ylabel('y(t)');title(['重构信号y(t)'])subplot(3,1,3),plot(t1,er);axis([-0.25 0.25 0 0.3])line([-0.25 0.25],[0 0],'color','k')line([0 0],[-4 4],'color','k')xlabel('t'),ylabel('error');title(['误差图error'])end-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25-4-2024nTsf (n T s )抽样信号T s=0.02时的抽样信号f(nT s)包络线抽样信号-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25-4-2024ty (t )重构信号y(t)-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.2500.10.2te r r o r误差图error%2. Ts>Tn 时 Ts=0.04wm=40*pi; %Tn=0.025wc=1.2*wm; %理想低通截止频率Ts=[0.03]; % 1 Ts<Tn N=length(Ts); for k=1:N;n=-200:200; nTs=n*Ts(k); fs=(cos(8*pi*nTs)+2*sin(40*pi*nTs)+cos(24*pi*nTs)) t=-0.25:0.001:0.25;ft=fs*Ts(k)*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-0.25:0.001:0.25; f1=(cos(8*pi*t1)+2*sin(40*pi*t1)+cos(24*pi*t1));%在一副图中画原连续信号f(t)和样信号f_s(t)。
3.11 抽样定理
f s (t )
1
s
n
f (t nTs )
说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。 频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s ) ( 唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 T
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s
C C
s m c m ，则有 F ( ) Fs ( ) H ( ) 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) Ts C Sa (C t ) s 2 若选 c ，则 Ts s c 2
f s t
第
5 页
Fs
0
Ts
t
s
m
0
m
s
C h (t ) Ts C Sa (C t ) Ts
c
H
Ts
0
t
0
F
f t
c
0
t
0
m
X
二、连续时间信号的重建
因为
第
6 页
Ts 所以，选理想低通滤波器的频率特性为 H ( ) 0
若选定 而冲激抽样信号为
f s (t ) f (t ) p(t )
n
f (t ) (t nTs )
n
f (nTs ) (t nTs )
X
第
二、连续时间信号的重建
则连续低通滤波器的输出信号为
时域抽样定理
时域抽样定理时域抽样定理是数字信号处理中的基本理论之一，它对于理解信号采样和重构有着重要的意义。
本文将详细介绍时域抽样定理的原理、条件和应用。
1. 定理原理时域抽样定理，又称为奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem），是由哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）于20世纪20年代提出的。
该定理指出：在连续时间信号中，如果信号的最高频率为fs，则采样频率必须大于2fs才能保证采样后的离散信号能完美地重构出原始信号。
2. 定理条件奈奎斯特采样定理的成立需要满足以下两个条件：2.1 带宽限制条件信号的带宽必须是有限的。
即信号的频谱必须在一定范围内有限制，不允许有无限大的频率成分存在。
如果信号的带宽无限大，那么无论采样频率多高，也无法在离散信号中准确地表示原始信号。
2.2 采样频率条件采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
只有在这种条件下，才能够完美地重构出原始信号。
如果采样频率低于信号最高频率的两倍，将会出现混叠效应，导致重构的信号与原始信号存在偏差。
3. 定理应用奈奎斯特采样定理在实际应用中有着广泛的应用，尤其是在信号处理和通信领域。
3.1 数字音频和视频在数字音频和视频领域，奈奎斯特采样定理的应用非常重要。
通过在一定的采样频率下对模拟音频或视频信号进行抽样，可以得到离散的数字信号。
这些离散的信号可以通过数学算法来进行处理和压缩，从而实现高保真度的音频和视频传输。
3.2 通信系统在通信系统中，奈奎斯特采样定理被广泛应用于调制和解调过程中。
发送端将模拟信号进行抽样和量化，将其转换为数字信号后进行传输。
接收端通过接收到的数字信号进行解调和重构，实现原始模拟信号的恢复。
3.3 图像处理在图像处理领域，奈奎斯特采样定理可以用于图像的采集和重构。
通过在一定的采样频率下对图像进行抽样，可以得到离散的像素值。
这些像素值可以用于图像的处理、压缩和重构，从而实现高质量的图像处理效果。
时域采样定理频带为F的连续信号 f
时域取样定理简述
时域取样定理简述一、什么是时域取样定理时域取样定理（Nyquist-Shannon采样定理）是指在信号的离散化表示中，为了能够完美地重构出原始信号，取样频率必须大于信号频谱中最高频率的二倍。
也就是说，采样频率必须足够高，才能确保取样后的离散信号不损失原始信号的信息。
二、为什么要进行时域取样在信号处理与通信领域，我们常常需要对连续信号进行离散化处理。
离散化后的信号更易于存储、处理和传输。
而时域取样是指根据一定的规则，在时间轴上等间隔采集连续信号的采样值。
通过对连续信号进行时域取样，我们可以将连续信号转化为一组离散采样值，从而方便后续的数字信号处理。
三、取样频率的选择根据时域取样定理，取样频率必须大于信号频谱中最高频率的二倍。
这是为了避免混叠现象的发生，即采样频率不足以恢复原始信号。
在实际应用中，我们通常会选择取样频率略高于最高频率的二倍，以确保完整采样信号的重构。
这样，就能够对原始信号进行逆取样，从离散信号中恢复出原始连续信号。
四、时域取样的数学表示对于原始信号x(t)和采样频率为f_s的离散化信号x_s(n)，二者之间的关系可以通过数学公式表示：x_s(n) = x(t) * s(n) = x(nT_s)其中，x(t)表示原始信号，s(t)为采样脉冲（如理想脉冲），x_s(n)为离散化信号，n为采样点的索引，T_s为采样周期。
当我们得到离散化信号x_s(n)后，可以通过插值或滤波等方法进行信号重构，从而恢复出原始信号x(t)。
1. 插值法插值法是一种简单有效的信号重构方法。
常用的插值法有线性插值、最近邻插值和三次样条插值等。
其中，三次样条插值在重构低频信号时效果更好，但计算复杂度较高。
2. 滤波法滤波法是另一种常用的信号重构方法。
通过设计合适的滤波器，可以滤除离散化信号中的混叠分量，从而恢复出原始信号。
在滤波法中，常用的滤波器有低通滤波器和带通滤波器。
低通滤波器用于滤除混叠频率，带通滤波器用于滤除采样频率之外的频率分量。
《数字信号处理教学课件》3.10 抽样定理
c2
1
1
2 1
1
0
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15
0.25
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
2 1 1
0
1
1
1
0
0.15
2 1
0.25
例3-10-1
BACK 例如音频信号：0～3.4KHz，
fs 2 fm
信号无失真恢复
抽样频谱 连续信号：
恢复
在满足时域抽样定理条件下使 T s s 2 F Fs H , 其中H 0 s 2 矩形函数H(w)与Fs(w)相乘。 即将f (t )的抽样f s t 施于“理想低通滤波器”H ,
可从f s t 的频谱Fs 无失真地选出f (t )的F ， 再由滤波器输出端恢复f(t)。
二、频域抽样定理
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
c f (t ) f (nTs ) Sa[ c (t nTs )] n
偶函数
变 量 置 换
时分复用
n n F ( ) F Sa t ( ) m t tm n m
若信号 f (t ) 为时限信号，它集中在 tm tm 的时间范围内，若在频域中， 以不大于 1 2tm 的频率间隔对 f (t ) 的频谱 F ( ) 进行抽样，则抽样后的频谱 F1 ( )可以唯一 地表示原信号。
f (t ) d t
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
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x[k] sin(H n) sin(Ln)
H 2 fH / fs ,L 2 fL / fs
5. 周期脉冲抽样
冲激函数序列在实际中无法取得，实际中，采用周期 脉冲抽样，其抽样结果为
fs (t) f (t) PTs (t)
下面分析 fs (t) 中是否包含 f (t) 的全部信息
PTs
(t)
2
Ts
n
Sa
ns
2
(
ns )
F[
fs (t)]
1
2
F
f
(t)* F PTs
(t)
F[
只要其抽样时间间隔Ts
1
2 fm
(s) 。
带限信号即频带有限的信号，其最高频率为fm， 最高角频率ωm=2πfm，即当|ω|＞ωm时，F(jω)=0。
f (t)
F( j)
1
0
t
m0 m
3.抽样定理的证明
f (t)
FT
相0
乘 (1) Ts (t)
t
FT
0
fs (t)
Ts
0
t
FT
t
F( j)
1
m0 m
fs (t) f (nTs ) (t nTs )
n
h(t) F 1[H ( j)]
H ( j) Ts p2c ()
应用傅里叶变换的对称性，得到
h(t)
Tsc
Sa(ct)
f (t) fs (t) * h(t)
n
f
(nTs ) (t
nTs
)
*
Tsc
Sa(ct)
Tsc
n
f (nTs ) (t nTs ) * Sa(ct)
1. 带限于m ；
2. s 2m ；
3. m c s m 可取c＝ s /2
6、抽样定理的实际应用举例
利用离散系统处理连续时间信号
f(t)
f[k]
y[k]
y(t)
A/D
H(z)
D/A
➢电话拨号音合成与识别
6、抽样定理的实际应用举例
电话拨号音的合成与识别
双音多频(dual-tone multifrequency, DTMF)信号的产生
卷
ss ()
积
( s )
s 0
s
1 Fs ( ) Ts
s m 0 m s
fs (t) f (t) Ts (t) f (t) (t nTs ) f (nTs ) (t nTs )
n
n
F
fs (t)
1
2
F
(
j) *s (
n
ns
)
1
Ts
n
F(
j(
ns
))
fs (t)
fs (t) 理想低通 f (t)
滤波器h(t)
f (t)
0
t
0
t
1 Fs ( ) Ts
s m
Байду номын сангаас
m
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
F( j)
1
m0 m
m c s m
时域f(t)恢复的讨论
F ( j) Fs ( j) H ( j)
f (t) fs(t) * h(t)
式中，fs(t)为Fs(jω)的傅里叶反变换。
f (t) Tsc
n
f (nTs )Sa(c (t nTs ))
当抽样间隔
Ts
1 2 fm
m
,
c m
f (t) f (nTs )Sa(m (t nTs ))
n
,时，上式可写为
内插公式
由抽样信号fs(t)恢复连续信号f (t)
f (t) f (nTs )Sa(m (t nTs ))
✓ 混叠误差与截断误差比较
Fs ( j)
...
1 T
s
m
0 m
s
Fs ( j)
F ( j)
1
... 0
F1( j)
1
...
1 T
s m
0 m s
m... 0 m
不同抽样频率的语音信号效果比较
抽样频率fs=44,100 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
抽样脉冲序列为周期冲激序列Ts (t)时，
f (t)
T (t)
fs (t)
(1)
0
t
0
t0
t
Ts
理想抽样
Ts (t) (t nTs ) n
fs (t) f (t) T s (t)
2 . 时域抽样定理
在频率fmHz以上没有频率分量的连续时间带限
信号f(t) ，由它在均匀间隔上的抽样值唯一地决定，
对f(t)*f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
抽样定理的工程应用
许多实际工程信号不满足带限条件
h(t)
f (t)
抗混
f1(t)
低通滤波器
F ( j)
1
H ( j)
1
F1( j)
1
0
m 0 m m 0 m
抽样定理的工程应用
1927 年 ， Nyquist 确 定 了 对 某 一 带 宽 的有限时间连续信号进行抽样，且在抽 样率达到一定数值时，根据这些抽样值 可以在接收端准确地恢复原信号。为不 使原波形产生“半波损失”，采样率至 少应为信号最高频率的2倍，这就是著 名的Nyquist采样定理。
4. f (t) 的恢复
连续信号的抽样定理
模拟 信号
A/D D/A
数字 信号
问题
连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有 信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原出 原始信号？
1.抽样过程
f (t)
f (t)
fs (t)
fs (t)
t
0
t
抽样器
0
PTs (t )
0
Ts
t
PT s (t) p（ t nTs） n
fs (t) f (t) PT s (t)
s 2m
2
Ts
4
fm
1 Ts 2 fm
Ts
1 2 fm
称为奈奎斯特间隔。
1 fs Ts 2 fm 称为奈奎斯特抽样频率。
Nyquist，美国物理学家，1889年出 生在瑞典。1976年在Texas逝世。他对 信息论做出了重大贡献。1907年移民到 美国并于1912年进入北达克塔大学学习。 1917年在耶鲁大学获得物理学博士学位。 1917～1934年在AT&T公司工作，后转 入Bell电话实验室工作。
1
Sa(mt)
n
-T 0 T
t
f(t)
fs(t)
t
-T 0 T 2T
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)；
fs (t)]
1
2
F (
j)
*
2
TS
n
Sa
ns
2
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F (
j) *
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F[
j(
ns )]
总结:
抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵 循抽样定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来 表征。
将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离 散化必须满足三个条件：