线性代数 6-3二次型的正定性

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4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法
1 −1 A1 = 1 = 1 > 0, A2 = =1> 0 −1 2 A3 = A = 2 > 0 故A正定，f 正定 . 正定.
1 ∆k =
1 2
⋮
1 2
⋯ 1 2 1 ⋯ 1 k +1 2 = k >0 ⋱ ⋮ 2 1 ⋯ 1 2
1 2
正定
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三、正定矩阵的性质
设A、B正定，则 1.
A > 0 ，A可逆．
2. A-1，A* ，Ak正定．
(∵ λ
分 别
=
为
A 1 , ,λ λ0 λ0
k
)
3. A＋B正定．
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设 A = (aij )n×n . ⎛ a11 … a1,n−1 ⎞ ⋮ ⎟, 令 A1 = ⎜ ⋮ ⋱ ⎜a ⎟ a ⋯ n −1, n −1 ⎠ ⎝ n−1,1 ⎛ A1 α ⎞ 则 A=⎜ T ⎟ α a ⎝ nn ⎠ . 也全大于零 也全大于零. 由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使 ⎛ a1n ⎞ ⎜ a2 n ⎟ α = ⎜⋮ ⎟, ⎜a ⎟ ⎝ n−1,n ⎠
∴ Pk = det A(1,2,⋯ , k ) > 0, k = 1,2,⋯ , n. ： 对n 作数学归纳法. 充分性 充分性：
2 a = a > 0. ∴ f ( x ) = a x .结论成立. 正定 正定. n＝1时， 11 11 1 11 1
假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
⎞ ⎟ ⎠
⎛ E n −1 − G T α ⎞ 再令 C 2 = ⎜ , 则 ⎟ 1 ⎠ ⎝ 0
T T ⎛ ⎞ E 0 E ⎛ ⎛ ⎞ G α ⎞ E − G T T α n − 1 n − 1 n − 1 C 2 (C1 AC1 )C 2 = ⎜ T ⎟ ⎜ α TG a ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 − α G 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ nn ⎠ ⎝
⇔ A的顺序主子式 Pk 全大于零.
定理 赫尔维茨 赫尔维茨定理
证:必要性.设 f ( x1 , x2 ,… , xn ) 正定，对每一个k
k (1 ≤ k ≤ n), 令 f k ( x1 , x2 ,⋯ , xk ) = ∑∑ aij xi x j
i =1 j =1
k
k
⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ = ( x1 , x2 ,… , xk ) A(1,2,⋯ , k ) ⎜ ⎟ ⋮ ⎜x ⎟ ⎝ k⎠
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判定
1. n元实二次型的标准形 2 2 f = d1 y12 + d 2 y2 + ⋯ + d n yn 正定
⇔
d i> 0 (i =1,2,… , n)
2. n元实二次型 f ( x1 , x2 ,… , xn ) 正定 ⇔ 秩 f ＝n＝ p （ f 的正惯性指数）. 证：设 f ( x1 , x2 ,… , xn ) 经非退化线性替换 X = CY
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（3） k 级行列式
ai1i1 ai2i1 Qk = ⋯ aik i1
ai1i2 ai2 i2 ⋯ a ik i2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
ai1ik ai2 ik ⋯ aik ik
即行指标与 列指标相同 的k阶子式
. 称为A 的一个k 阶主子式 阶主子式.
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(负)定矩阵 . 正(负)定二次型XTAX对应的矩阵称为正 对应的矩阵称为正( 矩阵. : 半正定 ( X ≠ O , X T AX ≥ 0)、半负定、不定 . 此外 此外: 、半负定、不定.
2 2 2 ! 需知几元二次型 需知几元二次型! + 2 x2 + 3 x3 例: f = x1 正定性 ? 正定性? 2 2 为正定二次型 + 3 x3 解: f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 2 2 + 3 x3 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x12 + 2 x2 为半正定二次型
1 0 , A =1> 0 如 A= − 0 −1
2 2 但X T AX = − x1 − x 2 不是正定二次型 . 不是正定二次型.
A = C C = C > 0.
T
2
(
)
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二、正定的判定
一般地，以下述定理作理论依据，实二次型是否 正定，可经可逆线性替换化为标准形来判定。 . 定理 非退化线性替换不改变二次型的正定性 非退化线性替换不改变二次型的正定性. 证： f ＝X TAX 正定
n×n
⎛ a11 *(1) A(1, 2,⋯ , k ) = ⎜ ⋮ ⎜a ⎝ k1
… ⋱ ⋯
a1k ⎞ ⋮ ⎟ ∈ R k ×k akk ⎟ ⎠
称为A为第k 阶顺序主子矩阵;
a11 … a1k (2) Pk = det A(1,2,⋯ , k ) = ⋮ ⋱ ⋮ ak 1 ⋯ akk
称为A的第k 阶顺序主子式 . 顺序主子式.
(X0T(A+B)X0 = X0TAX0 + X0TBX0 >0) ( X0非零)
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例4 证明：若An×n可逆，则 ATA正定。 一) 证:( :(一
线性代数
数学科学学院 陈建华
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6.3 正定二次型和正定矩阵
• 正定的定义 • 正定的判定 • 正定矩阵的性质
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一、正定的定义
1. 定义 实二次型f ＝X TA X (负)定二次型 为正 为正(
⇔ X AX
T
d
∀X ≠ O, X ∈ R 恒有:
n
> 0( X T AX < 0)
0 ⎛ E n −1 ⎞ =⎜ T T ⎟ a α GG α⎠ 0 − ⎝ nn
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再令 C = C1C 2 , a = ann − α T GG Tα 0⎞ E ⎛ n − 1 则有 C AC = ⎜ 0 a ⎟ ⎝ ⎠
T
两边取行列式，得
C A =a
2
0 又 A >0 ， ∴ a >
2 2 2 . − x2 + x3 而 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 为不定二次型 为不定二次型.
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f ( x1 , x2 ,… , xn )的标准形为： 注：正定二次型
d1 y12 + d 2 y2 2 + ⋯ + d n yn 2 , d i > 0, ∀ i = 1,2,⋯ , n
1 A = −1
(
−1 1 ,
)
f ( x1 , x2 ) = X T AX = ( x1 − x2 )2 , x1 = x2 = 1 f ( x1 , x2 ) = 0. 当 时，有
所以A不是正定的.
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(2) 实对称矩阵A正定⇒ det A = A > 0 若A正定，则存在可逆矩阵C ，使A 证： 证：若 = CTC, 从而 注意 . 即实对称矩阵A，且 A > 0, A未必正定 . 反之不然 反之不然. 未必正定.
X=CY
f ＝Y ⇒ C ≠0
TBY
＝ Y T (CTAC)Y
? 正定 正定?
∀O ≠ Y0 ∈ R n 有 CY0 = X 0 ≠ O？ (否则Y0＝C－1X0＝O)
∴Y
T T 0 (C AC)Y0 ＝
(CY0 )T A(CY0 )＝ X0TA X0 > 0 ？