第7章 二次型正定性例题
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§7 正定二次型
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
§7 正定二次型
一、惯性定理 二、正定二次型的概念
三、正(负)定二次型的判别
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理9(惯性定理) 设有实二次型 f x T Ax , 它的秩
f x f Cy ki yi2 .
i 1
充分性 设 k i 0 i 1,, n.
n
任给 x , 则 y C 1 x ,
2 即 f 为正定的 . f x k y 故 i i 0. i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y e s (单位坐标向量) 时,
为半正定二次型 为不定二次型
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
2 2
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
线性代数 同济版 5-7 正定二次型
例3 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
这是n元非退化线性变换， f ( x1 , x2 ,, xn )经过 这个线性变换化成
f ( x1 , x2 ,, xn ) z z z
2 1 2 2
2 n1
b z .
2 nn n
最后证 bnn 0. f ( x1 , x 2 , , x n )经 过 非 退 化 线 性
则
1 , ,1, dr
,1)
f ( x ) z T ( DTC T ACD) z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( x ) 的规范形.
惯性定理另一种描述：任一实二次型可经
过适当的非退化线性替换化成规范形，且规
范形是唯一.
二、正(负)定二次型的概念
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
使得 f n1 ( x1 , x2 ,, xn1 ) y y y
2 1 2 2 2 n 1
.
作线性变换 x1 g 11 y1 g 12 y 2 g 1,n -1 y n 1 , x 2 g 21 y1 g 22 y2 g 2,n -1 yn 1 , x g n 1 n -1,1 y1 g n -1,2 y 2 g n -1, n -1 y n 1， x n yn .
第七节 正定二次型和正定矩阵
(2) 二次型 XT AX 若正定，经过可逆线性变换 X CY ， 化为Y T (CT AC )Y ，其正定性保持不变。
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (CT AC )Y 正定，也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个dk 0 ，取 yk 1 ，其余 yj 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0,,1,,0) dk 0 ，
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
9
例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (CT AC )Y 正定，也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个dk 0 ，取 yk 1 ，其余 yj 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0,,1,,0) dk 0 ，
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
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例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
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练习：
P222 习题五
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END
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选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正
如何判断正定二次型及例题
如何判断正定二次型及例题正定二次型是一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
本文将介绍如何判断正定二次型，并提供一些实例加深理解。
一、定义设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$x$ 是 $n$ 维实向量。
则$f(x)=x^T A x$ 称为二次型。
若对于任意非零向量 $x$，都有$f(x)>0$，则称该二次型为正定二次型；若对于任意非零向量 $x$，都有 $f(x)<0$，则称该二次型为负定二次型；若存在某些非零向量$x$，使得 $f(x)>0$，同时存在某些非零向量 $y$，使得 $f(y)<0$，则称该二次型为不定二次型。
二、判断方法1. 特征值法正定二次型的判断方法之一是使用特征值法。
设 $A$ 的特征值为 $lambda_i$，对应的特征向量为 $x_i$。
则二次型 $f(x)=x^T A x$ 可以表示为：$$f(x)=sum_{i=1}^n lambda_i x_i^2 $$因此，若 $lambda_i>0$，则 $f(x)$ 为正定二次型；若$lambda_i<0$，则 $f(x)$ 为负定二次型；若存在特征值$lambda_i$ 为 $0$，则不能判断二次型的类型。
2. 奇异值法奇异值法也是判断正定二次型的一种方法。
设 $A$ 的奇异值为$sigma_i$，对应的奇异向量为 $v_i$。
则二次型 $f(x)=x^T A x$ 可以表示为：$$f(x)=sum_{i=1}^n sigma_i^2 (x^T v_i)^2 $$因此，若 $sigma_i>0$，则 $f(x)$ 为正定二次型；若$sigma_i<0$，则 $f(x)$ 为负定二次型；若存在奇异值$sigma_i$ 为 $0$，则不能判断二次型的类型。
3. 行列式法设 $A$ 的顺序主子式为 $D_i$，则有以下判断规律：1) $D_i>0$（$i=1,2,cdots,n$），则 $f(x)$ 为正定二次型。
二次型的正定性
二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。
正定二 次型
1 1 0 当且仅当 x1 x2 x3 0 时 f (x1 ，x2 ，x3 ) 0 ，故 f (x1 ，x2 ，x3 ) 是半负定的，其对应的矩阵 1 2 1 是半负定
0 1 3 矩阵．
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩 阵称为不定的．
1.2 正定矩阵的判别法
对于半正定（半负定）矩阵，可以证明下列结论等价： ① 对称矩阵 A 是半正定（半负定）的； ② A 的所有主子式大于（小于）或等于零； ③ A 的全部特征值大于（小于）或等于零．
1.2 正定矩阵的判别法
例 4 已知二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 4x22 4x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3 是正定的，试求 t 的取值范围．
1.2 正定矩阵的判别法
定理 4 设 n 元实二次型 f ( x) xT Ax 的规范形为 f z12 z22
z
2 p
z2 p 1
zr2 ，则
（1）f 负定的充分必要条件是 p 0 且 r n （即负定二次型的规范形为 f z12 z22 zn2 ）．
（2）f 半正定的充分必要条件是 p r n （即半正定二次型的规范形为 f z12 z22 zr2 ，r n ）．
则
T i
D
i
di
0 (i
1，2，
，n) ．
充分性．对任一非零向量 x，至少有 x 的某个分量 xk 0 ，又 dk 0 故 dk xk2 0 ；而当 i k 时 di xi2
n
此， xT Dx di xi2 0 ，即 D 为正定矩阵． i 1
0 ．因
1.2 正定矩阵的判别法
推论 1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全大于零． 定理 3 矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n ，即 A 与 E 合同． 推论 2 若矩阵 A 为正定矩阵，则 A 0 ． 证明 由定理 3 知存在可逆矩阵 C 使 A CTC ，于是 A CTC C 2 0．
0 1 3 矩阵．
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩 阵称为不定的．
1.2 正定矩阵的判别法
对于半正定（半负定）矩阵，可以证明下列结论等价： ① 对称矩阵 A 是半正定（半负定）的； ② A 的所有主子式大于（小于）或等于零； ③ A 的全部特征值大于（小于）或等于零．
1.2 正定矩阵的判别法
例 4 已知二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 4x22 4x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3 是正定的，试求 t 的取值范围．
1.2 正定矩阵的判别法
定理 4 设 n 元实二次型 f ( x) xT Ax 的规范形为 f z12 z22
z
2 p
z2 p 1
zr2 ，则
（1）f 负定的充分必要条件是 p 0 且 r n （即负定二次型的规范形为 f z12 z22 zn2 ）．
（2）f 半正定的充分必要条件是 p r n （即半正定二次型的规范形为 f z12 z22 zr2 ，r n ）．
则
T i
D
i
di
0 (i
1，2，
，n) ．
充分性．对任一非零向量 x，至少有 x 的某个分量 xk 0 ，又 dk 0 故 dk xk2 0 ；而当 i k 时 di xi2
n
此， xT Dx di xi2 0 ，即 D 为正定矩阵． i 1
0 ．因
1.2 正定矩阵的判别法
推论 1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全大于零． 定理 3 矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n ，即 A 与 E 合同． 推论 2 若矩阵 A 为正定矩阵，则 A 0 ． 证明 由定理 3 知存在可逆矩阵 C 使 A CTC ，于是 A CTC C 2 0．
正定二次型
定义 设n阶方阵 A （aij）nn
A1 a11
A2
a11 a21
a12 a22
L
都叫做矩阵的顺序主子式。
我们把n个行列式
a11 L a1n An L L L
an1 L ann
定理 (hurwitz定理）
二次型 f (x) xAx 为正定的充分必要条件是：
二次型的矩阵的所有顺序主子式大于０．
●判别正定二次型（矩阵）的三种方法 1.将二次型化为标准形 2.求出二次型矩阵的特征值 3.计算二次型矩阵的顺序主子式
作业
• 4.12 • 4.13
半正定 负定
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 半负定 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 不定
●判定二次型的正定性
性质4.5
若A是n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）； （2）A的n个特征值全为正； （3）f的标准形的n个系数全为正； （4）A的正惯性指标为n； （5）A与单位矩阵I 合同； （6）存在可逆矩阵P，使得A=PTP；
所以 f 为负定二次型。
例 当 t 为何值时, 下列二次型是正定的
f (x1, x2 , x3 ) tx12 5x22 2x32 2x1x2
t 1 0
解
二次型的矩阵为
A
1
5
0
0 0 2
A的三个顺序主子式为
t1
A1 t,
A2 1
5t 1, 5
要使A正定,则应有 t 1 5
A3 A 25t 1
推论
二次型 f (x) xAx 为负定的充分必要条件是：
第七节：二次型的正定性
总之，二次型经可逆线性变换后 正定性是不变的。又因标准形的 正定性一目了然，故可利用标准 形的正定性来判断原二次型的正 定性。显然，对于标准形
f k y k y k y
2 1 1 2 2 2 2 n n
正定
k 0 ( i 1 , 2 , ,) n i
。由此得：
定理5.10 n个变量的实二次型
称A的k阶顺序主子式。
定理5.11n阶实对称矩阵A正定
A的各级顺序主子式全大于0。即
A , A 1 a 1 1 0 2 , A n A 0
。
a a 1 1 1 2 a 2 1 a 2 2
0 ,
该定理称霍尔威茨定理。证略。
与此对应有：定理5.12 n阶实对称矩阵A负定 奇数阶顺序主子式小于0。 偶数阶顺序主子式大于0。
X f XA
正定
f 的正惯性指数为n
（即正项的个数）。又因为实对称矩阵A 存在正交矩阵P,使得：
其中
1 1 ' P A PPA P
i
n
为A的特征值。故有
推论1 A正定
A的特征值全正。又因为
A 0
1 2 n A
，故又得推论2 A正定
。
推论3 A正定
存在可逆矩阵p
' PAP I
，使
2 2 fx (, x ) 3 x 2 x x 3 x 例5.7.1 判断二次型 1 2 1 1 2 2
的正定性。 解方法一： 利用定理5.10的推论1， 求 A的特征值。
3 A 1 1 3
的特征值为
, 1 2 2 4
均为正，故A正定，即
解方法二：用配方法化二次型为标准形
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( )
X = ( x1 ,x2 , ຫໍສະໝຸດ ,x n ) 证明T
0 X
XT
A 例１０ 设 A 是正定矩阵，试证明存在正定 矩阵 B ，使得 A = B 2 ．
是负定二次型．
a11 1 a13 例１１ 设 A = a 21 1 a 23 ，已知 0, 1, 2 a 1 a 31 33
例3 例4 例5 例６ 已知 A 实对称，证明：当 t 充分大时，
A + tI 是正定矩阵．
设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：
A + I > 1．
设 A 是 m × n 实矩阵， B = λI + AT A ． 证明：当 λ > 0 时， B 正定． 设 A 是实对称正定矩阵， B 是 m × n 的实矩阵，证明：B T AB 正定的充分 必要条件是 r ( B ) = n ．
是 A 的３个特征值，证明 X = (1, 1, 1)
T
是线性方程组 A* X = 0 的一个解， 但不是方 程组的一个基础解系．
例7 例８
设 A, B 都是 n 阶正定矩阵，且
AB = BA ，证明： AB 为正定矩阵．
设４元二次型的矩阵是
0 1 0 0 1 0 0 0 ， A= 0 0 a 1 0 0 1 2 （１） 已知 A 的一个特征值是３，求 a ．
（２） 求矩阵 P ，使得 ( AP ) T AP 为对角 矩阵． 例９ 设 A = a ij 是 n 阶正定矩阵，
二次型正定性例题 例1
n 元实二次型
f = ( x1 + a1 x 2 ) 2 + ( x2 + a2 x 3 ) 2 + L + ( xn + a n x1 ) 2 当 a1 , a 2 , L , a n 满足什么 其中 a i ∈ R ， 条件时， f 正定．
例2 设实对称矩阵 A 满足
A2 − 3 A + 2 I = 0 ， 证明： A 是正定矩阵．