第四章 二次型 第三节 正定二次型
该对角矩阵称为矩阵A的规范形矩阵，由A唯一确定. p称为矩阵A的正惯性指数；
r-p称为矩阵A的负惯性指数；
矩阵A的正惯性指数和负惯性指数的和为矩阵A的秩.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
定理4.3.2 两个n阶实对称矩阵合同 充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指数.
1r
a11 a, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
如果对任何X 0都有f ( X ) 0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
2 2 2 f x 4 y 16 z 例如三元二次型 为正定二次型
二元二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
注 n阶对称矩阵A为负定矩阵当且仅当A为正定矩阵.
定理4.3.3 可逆的线性替换不改变n元 实二次型的正定性.
矩阵充分必要条件是其对角元di 0, i 1, 2,
推论4.3.2
n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A合同于n阶单位矩阵E. 推论4.3.3 n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A的特征值均为正数.
推论4.3.4 若n阶实对称矩阵A为正定矩阵， A 0 .
定义4.3.2
A设A aij 是一个n阶方阵，则称A中形如 Ak a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk , n）.
2 1 2 2 2 3
试问t取何值时，实二次型f x1 , x2 , x3 为正定二次型.
1 t 1 解 二次型f x1, x2 , x3 的矩阵为 A t 1 2 1 2 5 根据赫尔维茨定理知f 为正定的充分必要条件为
a11 =1 0, a11 a21
2 6 0
2 0 , 4
2 6 26 0,
a11 5 0,
5 a11 a12 2 a 21 a 22
A 80 0, 根据赫尔维茨定理知f 为负定.
例 设 f x1 , x2 , x3 x x 5 x 2tx1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 ,
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1
y 0 p r n ,
2 r
矩阵表达式：
的标准型，称其为二次型 f 的规范形.
y1 , y2 ,
Ep ,yn
Er p
y1 y2 0 yn
复习：
惯性定理 任给n元实二次型
f X X T AX ( AT A), 总可以经过 可逆线性替换X CY 化为规范形
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1
y 0 p r n ,
2 r
或
f y1 , y2 ,
且规范形是唯一的.
Ep ,yn
Er p
y1 y2 0 yn
即上述中的p是确定的. 称其为矩阵A的正惯性指数. r-p为矩阵A的负惯性指数.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
第三节 正定二次型
1
复习：
若n元实二次型 f X X T AX ( AT A，
R( A) r ), 通过可逆线性替换X CY , 化为形如
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1
y 0 p r n ,
2 r
的标准型，称其为二次型 f 的规范形.
定理4.3.4 n元实二次型 f ( X ) X AX 为正定
T
二次型 或对称矩阵A为正定矩阵
充分必要条件是矩阵A的正惯性指数为n.
另一种说法： 实二次型f x Ax为正定的充分
T
必要条件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
推论4.3.1 n阶实对角矩阵diag d1 , d 2 ,
, d n 为正定 , n.
例
2
二次型的矩阵为 A 0 2
0 4 0
2 0 , 5
令 A E 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A 是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.
例
判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
解
5 A 2 f的矩阵为 2
a12 a22
1 t
0, A t t 1
1
t 1
1 2 0. 5
1 2
4 解得 t 0. 5
2 1 t 0, 即 2 5t 4t 0.
例 证明：n阶正定矩阵的对角元素均为正数.
证明
设A aij 为n阶正定矩阵，则对于非零向量
解
它的顺序主子式
5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4
5 2 2 1
2 1 2
4
4 2 , 5
5
1 0,
2 1 2
5 0,
2 4
2 1 0, 5
故上述二次型是正定的.
判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
定理4.2.3（惯性定理） 任给n元实二次型 f X X T AX ( AT A), 总可以经过可逆 线性替换化为规范形，且规范形是唯一的.
复习：
若n元实二次型 f X X T AX ( AT A，
R( A) r ), 通过可逆线性替换X CY , 化为形如
i = 0,
, 0,1, 0, , 0 ,
T
有
iT A i aii 0, i 1, 2, , n.
思考题
设A, B分别为m 阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 矩阵C 0 0 . 是否为正定矩阵 B
的子式为矩阵A的k阶顺序主子式（k 1, 2,
定理4.3.5 （赫尔维茨定理） 对称矩阵 A 为 正定矩阵的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正， 即
a11 0,
a11 a21
a12 0, a22
,
a11 a n1
a1n 0; ann
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
正定二次型
再证必要性。
nf xLeabharlann ki yi2 > 0 i1
用反证法：假设有 ks 0，则当 y es (单位坐标向量)
时，f Ces ks 0 。显然Ces 0 ，这与f 正定相矛盾。这就证明 了ki > 0i 1, 2, , n 。
推论
对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。
例1 判定二次型 f 2x2 6 y2 4z2 2xy 2xz 的正定性。
解 f 的矩阵为
2 1 1
A
1 1
6 0
0 4
,
a11
2
<
0,
a11 a21
a12 2 a22 1
1 11> 0,
6
A 38 < 0
根据定理3知，f 负定。
线性代数
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
第四章3二次型及其标准型4正定二次型
y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32
工程矩阵理论(第4章-Hermite二次型)
主讲: 张小向
第四章 Hermite二次型
第一节 Hermite阵, 正规阵 第二节 Hermite二次型
第三节 Rayleigh商
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
§4.1 Hermite阵, 正规阵 一. Hermite阵 定义4.1.1 设A = (aij)nn为复n阶矩阵, X = (x1, x2, …, xn)T为复n维列向量. 若AH = A, 则称A为Hermite阵, 简称为H阵. 若A为Hermite阵, 则称 f(X) = XHAX =
x1 1 令 x2 = 0 x3 0
i1 63i 1 1+3i 0 1
y1 y2 , y3
则 f = | y1|2 + | y2|2 13| y3|2. 注: 若进一步令 y1 = z1, y2 = z2, y3 = 则 f = |z1|2 + |z2|2 |z3|2.
1 z , 3 13
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.5 设A为n阶方阵, 则 A是正规阵 X n, 有||AX|| = ||AHX||. 证明: ()若A为正规阵, 则 ||AX||2 = (AX)H(AX) = XHAHAX = XHAAHX = (AHX)H(AHX) = ||AHX||2. 因而||AX|| = ||AHX||.
(4) A为Hermite阵. 证明: (3)(4)令AH A = M = (mij)nn, 则mkk = ekHMek = 0 (k = 1, 2, …, n).
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
第三节 正定二次型
任意二次型f X T AX总可以经可逆线性变换X CY 化为标准形
f 1 y12 L n yn2.
其中非零项的项数是确定的，等于二次型矩阵A的秩．
定义 二次型f 的矩阵的秩称为二次型f 的秩．
设实二次型f X T AX的秩为r,则存在可逆线性变换X CY ,
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 t 取何值时 , 二次型
f x2 y2 5z2 2txy 2xz 4 yz
解
正定? f的矩阵为
1 A t
t 1 1 2 ,
1 2 5
由 a11 1 0, 1 t 1 t 2 0, 1 t 1 t 1
A t 1 2 5t 2 4t 0, 解得 4 t 0 . 5
型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何 0都有
f (x) 0,则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22
为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理7.3.1实二次型 f X T AX 为正定的充要条件
是 : 它的标准形的n个系数全为正 , 即它的正惯 性指数等于 n .
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
作业 P141 5(1),(3),6,7
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 矩阵C A 0 是否为正定矩阵.
0 B
思考题解答
解 C是正定的. 因为,设Z (xT , yT )T 为m n维向量,其中x, y分
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。
1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。
正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。
$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。
$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。
2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。
定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。
线性代数 第四章 二次型
∴ B = C T AC
在上式中，矩阵B仍为对称矩阵， 是以B为矩阵的二次型， 在上式中，矩阵B仍为对称矩阵，Y是以B为矩阵的二次型， 两个二次型的秩相等。 之间的关系是什么呢？ 两个二次型的秩相等。A和B之间的关系是什么呢？
定义4.3 A,B是两个 阶矩阵, 如果存在n 是两个n 定义4.3 设A,B是两个n 阶矩阵, 如果存在n 阶 可逆矩阵C, 成立,则称矩阵A 合同, 可逆矩阵C,使得 CTAC=B 成立,则称矩阵A与B合同, 矩阵 记为 A — B 经过非退化线性替换, 定理 经过非退化线性替换, 原二次型的矩阵与新二次型 矩阵合同。 的矩阵合同。 合同, A与B合同,记为A — B
yr +1 M yn y1 y2 M yr
d1 y1 d 2 y2 M d = ( y1 , y2 ,..., yr ,... yn ) r yr 0 M 0
只含平方项, 只含平方项,不含交叉项 每一对角矩阵对应一个标准形. 每一对角矩阵对应一个标准形. 每一个标准形对应的矩阵是对角矩阵
2 x c c ... c y =b11 y1 +2b12 y1 y2+ 2b13 y1 y3+ ... +2b1n y1 yn 2n 2 2 2 = 21 22 + b22 y2 + 2b23 y2 y3 + ... + 2b2 n y2 yn M M M M M 2 + b33 y3 + ... + 2b3 n y3 yn c c ... c y nn n + ............. xn n1 n2 T 2 则B = C AC x =Cy + bnn yn [ f ( x ) = x T Ax = (Cy )TA (Cy ) =y T C T AC] y = yT B y 证:
正定二 次型
0 1 3 矩阵．
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩 阵称为不定的．
1.2 正定矩阵的判别法
对于半正定（半负定）矩阵，可以证明下列结论等价： ① 对称矩阵 A 是半正定（半负定）的； ② A 的所有主子式大于（小于）或等于零； ③ A 的全部特征值大于（小于）或等于零．
1.2 正定矩阵的判别法
例 4 已知二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 4x22 4x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3 是正定的，试求 t 的取值范围．
1.2 正定矩阵的判别法
定理 4 设 n 元实二次型 f ( x) xT Ax 的规范形为 f z12 z22
z
2 p
z2 p 1
zr2 ，则
（1）f 负定的充分必要条件是 p 0 且 r n （即负定二次型的规范形为 f z12 z22 zn2 ）．
（2）f 半正定的充分必要条件是 p r n （即半正定二次型的规范形为 f z12 z22 zr2 ，r n ）．
则
T i
D
i
di
0 (i
1，2，
，n) ．
充分性．对任一非零向量 x，至少有 x 的某个分量 xk 0 ，又 dk 0 故 dk xk2 0 ；而当 i k 时 di xi2
n
此， xT Dx di xi2 0 ，即 D 为正定矩阵． i 1
0 ．因
1.2 正定矩阵的判别法
推论 1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全大于零． 定理 3 矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n ，即 A 与 E 合同． 推论 2 若矩阵 A 为正定矩阵，则 A 0 ． 证明 由定理 3 知存在可逆矩阵 C 使 A CTC ，于是 A CTC C 2 0．
实二次型的分类 正定二次型
称为A的k阶顺序主子式.
定理4.5 实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是A 的所有顺次主子式全大于零. 例4.1 判别实二次型
f ( x1 , x2 , x3 )=x1 + 3x2 + 3x3 - 2 x1 x2
教学时间：2学时.
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结束§4 实二次型的分类 定二次型4.1实二次型的分类
定义4.1 对于实二次型f(x)=xTAx,
ⅰ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x)>0，则称f为 正定二次型； ⅱ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x) ＜0，则称f 为负定二次型； ⅲ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ≥0，则称f为半 正定二次型； ⅳ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ＜0，则称f为半 负定二次型； ⅴ）如果存在实向量x1及x2，使f(x1) ＞0，f(x2)＜0，则 称f为不定二次型.
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线性代数
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结束
§4 实二次型的分类 正定二次型
教学目的：通过本节的教学使学生理解二次型正定性 概念,掌握二次型正定性的判别方法. 教学要求：理解二次型正定性概念,掌握二次型正定 性的判定定理，会判定二次型的正定性. 教学重点：二次型正定性概念和二次型正定性的判定 定理. 教学难点：二次型正定性的证明.
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学领域中重要的概念，它在矩阵、线性代数、数学分析等领域都有重要的应用。
在实际问题中，判别一个二次型是否为正定是非常重要的，因为它关系到了二次型的性质和应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质，以及判别正定二次型的方法。
正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
对于一个n维向量x=(x1, x2, ..., xn)^T，它的二次型可以表示为：Q(x) = x^TAx = ∑∑(a_ijxi*xj)其中A是一个n×n实对称矩阵，a_ij表示矩阵A的元素，xi和xj表示向量x的元素。
如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么我们称二次型Q(x)是正定的。
如果Q(x)<0，则称为负定；如果Q(x)的值在0附近变化，则称为不定。
我们还定义半正定和半负定二次型，即当Q(x)≥0时称为半正定，当Q(x)≤0时称为半负定。
正定二次型具有一些重要的性质，这些性质对于判别一个二次型是否正定非常重要。
下面我们来介绍一些常见的性质：1. 正定二次型的特征值全为正数。
设A为一个n×n实对称矩阵，它的特征值为λ1, λ2, ..., λn，那么A是正定的当且仅当所有的特征值都是正数。
2. 正定二次型的主对角元素全为正数。
对于一个正定矩阵A，它的主对角元素a_ii都是正数。
3. 正定方阵的行列式大于0。
对于一个n×n的正定矩阵A，它的行列式det(A)>0。
1. 利用主元法利用主元法判别一个二次型是否正定是一种非常直观的方法。
我们将二次型的矩阵表示成阶梯型，然后判断主对角元素是否都大于0，如果是，则该二次型是正定的。
举个例子，对于一个二次型Q(x) = x^T Ax，A是一个实对称矩阵，如果我们可以将A 化成阶梯型：| a11 a12 a13 || a12 a22 a23 || a13 a23 a33 |然后判断a11, a22, a33是否都大于0，如果是，则二次型Q(x)是正定的。