第三节 正定二次型和正定矩阵

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定理 n元实二次型 f X T AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n。
推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。
☎ 若实对称矩阵A为正定矩阵,则 AT , A1, A 均为
正定矩阵。 这是因为：
矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值； ( A1 ) 1 ( A) ; ( A ) A .
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☎ 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在
可逆矩阵C，使得 A C TC .
实际上，正定二次型的规范形为
z12 z22 zn2 ,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵C ，使
A C T EC C T C .
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☎ 设 A 为m n 矩阵，且的秩r( A) n ，则AT A
a11 a12 a1k
Ak

a21
a22

a2k
ak1 ak 2 akk
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例2 判别二次型
f 5 x12 5 x22 5 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3
是否正定。
5
解 二次型对应的矩阵为 A 2
2 2 5 1 ,
可见 BT AB 为实对称阵.
将上述过程逆推,即可得证. 20
一、正定二次型正定矩阵
定义 设 f (X) XT AX 是一个实二次型，若对任意的非
零向量 X (x1, x2, , xn)T 0 ，恒有 f ( X ) 0 ，则称 f (X) 是正定二次型，它所对应的矩阵 A 称为正定矩阵。
由定义，可得以下结论：
（1）二次型 f ( y1, y2, , yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正定 的充分必要条件是di 0 。

6
x
2 2

4 x32

2 x1 x2

2 x1 x3
(2) f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
解 （1）f 的矩阵为 顺序主子式
2 1 1 A 1 6 0 ,
1 0 4
2 1
20,
11 0 , A 38 0 ,
它的顺序主子式为：
2 1 5
52
A1 5 0 ,
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
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例3 设有实二次型
f x12 x22 5 x32 2t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
f ( Xi ) aii 0, (i 0,1, .n) 。
（2）因为 A 正定，所以 A 的特征值全大于零，即
得 A 12 n 0 。
6
上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。
定理 二次型 X T AX 正定的充分必要条件是，A 的顺
序主子式全大于零。（证略）
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (C T AC )Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (C T AC )Y 正定，也可推出
XT AX 正定。
由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要 通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下 定理判别其正定性。
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例如，设矩阵
1 1 0 A 1 1 0 ,
0 0 1
显然A的顺序主子式
11 0
11
A1 1 0 ,
A2 1
0, 1
A3 1
1
0 0,
0 0 1
但对角元有正有负，显然A是不定的。
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例5 判定下列二次型是否是有定二次型。
(1)
f

2 x12
为正定矩阵。
证 因为 ( AT A)T AT A , 故 AT A 是 n 阶对称矩阵。 又r(A) n ，可知齐次线性方程组AX 0 仅有零解，
所以对任意X 0 ，必有AX 0 ，于是
X T ( AT A)X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A)X 为正定二次型，
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
1 2 顺序主子式为： A1 1 0 ,
A3 A 5t 2 4t 0 ,
解得 4 t 0 . 5
1 2 , 5
1 A2 t
t 1t2 0, 1
1 6
所以 f 是负定的。
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例5 判定下列二次型是否是有定二次型。
(1)
f

2 x12

6
x
2 2

4 x32

2 x1 x2

2 x1 x3
(2) f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 0 A 2 2 2 ,
证 必要性 设 BT AB 为正定阵,
则对任意实 n 维向量 x 0 , 有 xT BT A B x 0 ,
即 (Bx)T A(Bx) 0 ,可见 Bx 0 ,
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即r(B) n ；
充分性: 因为 (BT AB)T BT AT B BT AB ,
0 1 3
2 c1 c2 c3 2
2
1
2
1
0
1 ( 2)(2 4 1) , 3
4
E A ( 2)(2 4 1) ,
求得 A 的特征值为2, 2 3 ，
全为正， 因此二次型正定。
5
下面，我们从二次型矩阵 A 的子式，来判别二次
是m维和n维列向量,若z 0,则 x, y不同时为零向量,
于是
z T Cz

(
xT
,
yT
)

A 0
0 B


x y


xT
Ax

yT By

0
,
且C是实对称阵，故C是正定矩阵。 19
2. 设 A 是 m 阶实对称阵且正定,B 为m n 实矩阵，
试证: BT AB 为正定阵的充分必要条件是r(B) n 。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个 dk 0 ，取 yk 1 ，其余 y j 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0, ,1, ,0) dk 0 ，
与二次型 f ( y1, y2, , yn) 正定矛盾。
1
(1) 二 次型 f ( y1, y2, , yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。 (2) 二次型XT AX 若正定，经过可逆线性变换X CY ， 化为 Y T (C T AC )Y ，其正定性保持不变。
0 2 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
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练习：
P222 习题五
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END
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选用例题
1、 设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块
矩
阵C


A 0
0 B
是
否
为
正
定
矩 阵.
解 C是正定的。
因 为,设zT ( xT , yT )为m n维 向 量,其 中x, y分 别
型 X T AX 的正定性。先给出 A 正定的两个必要条件，
再给一个充分必要条件。
定理 设矩阵A正定，则
（1）A的主对角元全为正；
（2）A 的行列式 A 0 。
nn
证明（1）因为 f ( X ) X T AX
aij xi x j 正定，
取 X i (0, ,1, ,0)T ，则有 i1 j1
( A)
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例1 判别二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 2 x1 x2 2 x2 x3
是否正定。
1 1 0
解 二次型对应的矩阵为 A 1 2 1 ,
1 1
0 0 1 3
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即矩阵 AT A 为正定矩阵。
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2、其它有定二次型 定义 设 f (X) XT AX是一个实二次型,对任意非零向量
X ( x1, x2 , , xn )T 0 ,
（1）若恒有 f ( X ) 0 ，则称 f (X) 是半正定二次型， A 称为半正定矩阵；
（2）若恒有 f ( X ) 0 ，则称 f (X) 是负定二次型， A 称为负定矩阵； （3）若恒有 f ( X ) 0 ，则称 f (X) 是半负定二次型， A 称为半负定矩阵。
如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。
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显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定 （半正定）的。由此，容易得出以下结论：
（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负； （2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； （5）若A负定，则A的对角元全为负。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺序主子式全非负， A也未必是半正定的。