二次型和正定矩阵
第七节 正定二次型和正定矩阵
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (CT AC )Y 正定，也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个dk 0 ，取 yk 1 ，其余 yj 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0,,1,,0) dk 0 ，
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
9
例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
线性代数 二次型与正定矩阵
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn
二次型函数正定矩阵
二次型函数正定矩阵二次型函数是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，特别是在线性代数和数学分析中。
而正定矩阵则是与二次型函数密切相关的矩阵特性之一。
本文将介绍二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。
一、定义在了解二次型函数正定矩阵之前，我们需要先了解二次型函数和矩阵的概念。
二次型函数是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以用矩阵的形式表示。
设x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵，那么二次型函数可以表示为Q(x)=x^T * A * x，其中x^T表示x的转置。
而正定矩阵，简而言之，就是一个特殊的n阶实对称矩阵，它与二次型函数的性质紧密相关。
对于任意一个非零向量x，如果其对应的二次型函数Q(x)都大于0，那么我们称矩阵A为正定矩阵。
二、性质正定矩阵具有以下几个重要的性质：1. 正定矩阵的所有特征值都大于0。
2. 正定矩阵的对角元素都大于0。
3. 正定矩阵的所有主子式都大于0。
这些性质使得正定矩阵在实际问题中具有重要的应用价值。
例如，在优化问题中，正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。
在机器学习中，正定矩阵可以用来定义核函数，从而实现非线性的分类和回归任务。
三、应用正定矩阵在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 优化问题：正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。
2. 机器学习：正定矩阵可以用来定义核函数，从而实现非线性的分类和回归任务。
3. 数值计算：正定矩阵在数值计算中有广泛的应用，例如求解线性方程组、最小二乘问题等。
4. 物理学：正定矩阵在物理学中有重要的应用，例如描述能量、势能等。
5. 金融领域：正定矩阵在金融领域中常被用于风险管理和投资组合优化等问题。
总结本文介绍了二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。
正定矩阵在数学和应用领域中具有重要的地位，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者对二次型函数正定矩阵有进一步的了解和认识，为深入学习和应用相关知识奠定基础。
第六章4正定二次型和正定矩阵
定理 n阶实对称矩阵A负定旳充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 协议.
16
为了论述下一种正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素构成旳行列式
As | aij |ss , s 1, , n 称为A旳顺序主子式.即
A1
(a11 ),
定理 实对称矩阵A正定旳充分必要条件是它与 单位矩阵协议.
证明 充分性.设实对称矩阵A协议与E,即存在可
逆矩阵C,使得 C T AC E,对于任意向量X≠O,因为
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定旳.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定旳.因为A是实对
O
d
.
d | A || C1 |2| C2 |2 0,
20
令
C3
En1 O
O d 1/2
,| C3
|
d 1/2
0.
令 C C1C2C3 ,| C || C1 || C2 || C3 | 0,
则
C T AT
C3T
(C
C T T
21
AC1C2
)C3
En1 O
O En1
d
1/
2
RT AR QT P T APQ QT EQ E ,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定旳充分必要条件是A,B可互换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可互换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
线性代数 6-3二次型的正定性
结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法
线性代数6.6 二次型与正定矩阵
| A2 | = 1 1 = 1 > 0;
1 2
1
2
| B2 | =
= −2 < 0;
2 2
|A|=
1
1
1
所以A正定.
1
2
0
1
0
3
所以B非正定.
= 1 > 0;
f (x1, x2, … , xn) = a11x12+a22x22 + …+annxn2
+2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2an-1, n xn-1xn
= ,
=
=1 =1
则二次型的矩阵为
a11
a21
A= …
an1
a12 … a1n
结论1
对角矩阵是正定矩阵当且仅当对角线元素均为正数.
定理 设A是实对称矩阵, 且存在可逆矩阵 P, 使得PTAP = B，
若B正定，则A也正定.
结论2
实对称矩阵是正定矩阵当且仅当所有特征值都是正数.
例5
设 A和B 是正定矩阵，求证: A2，A+B 也是正定矩阵.
思考：AB 是否正定矩阵？
例6
设A=PTP，求证：若P可逆，则A是正定矩阵.
f (x) = xTAx
yTQTAQy = yTDy = g(y)
QTAQ = D
✿ 化二次型为标准形的思路： 寻找正交矩阵Q,
将二次型的矩阵A (实对称矩阵) 通过正交矩阵Q将它对角化成D.
这样得到的标准形的系数就是矩阵A的所有特征值.
例3
设二次型 f (x1, x2) = 3x12 − 2x1x2+3x22 ，寻找正交变换将之化为标准形.
正定二次型和正定矩阵
5 2
2 5
21 0 ，D3
2
5 1 88 0 ，
2 1 5
故 A 是正定矩阵．
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 ， 2
11 2
33
，
3
11 2
33
， 因为 i
0
(i 1，2，3) ，所以 A 是正定矩阵．
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ，b R) ，判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数． 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数． 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0，即
a11 0 ，
a11 a21
a12 0 ， a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ，D2
5 2
2 6
26 0 ，D3
2 6
0 80 0 ，
2 0 4
由定理 2 知， f 是负定二次型．
解：二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
，A
的顺序主子式
D1
3
0 ，D2
5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次型2007-029-8设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。
已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。
2007-029-9已知二次曲面方程为222123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？2007-008-8已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=8111181111811118A (1)求二次型⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ;(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;(3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.(4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)2007-021-7121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差.2007-012-2求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。
2007-001（A ）-1化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.2007-030-2（3）（填空题）已知实二次型313221232221321222),,(x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正负惯性指数都是1，则a = .2007-030-3（6）（计算与证明题）设A 是n 级实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明A 是可逆矩阵。
2007-031-6设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21 为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21 线性无关.2007-031-9用正交线性替换将二次型32212322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=化为标准型.2007-032-1（3）（判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。
2007-032-6设A 是n 阶正定矩阵，证明它的行列式A A ≤的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A 的对角阵。
2007-032-7设12,,,n ααα 是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的Gram 矩阵()ij A a =可逆，其中(,)ij i j a αα=。
2007-033-3给出将121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++化为标准形的正交线性替换。
2007-034-4设A 为n 阶正交矩阵且-1不是A 的特征值。
证明1()()n n B A I A I -=-+是反对称矩阵且1()()n n A I B I B -=+-。
2007-034-6设A 为n 阶实正定对称矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵。
证明A B +的行列式det()0A B +>。
2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）设320222021A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则使A tE +正定的实数t 的取值范围是 。
2007-035-2（20）（计算与证明题）设A B B D ⎛⎫ ⎪'⎝⎭为正定矩阵，其中A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m n ⨯矩阵。
证明：,A D 与1D B A B -'-都是正定矩阵。
2007-035-2（22）（计算与证明题）设A 为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使2B A =。
2007-036-4设()f x X AX '=为实二次型，且存在12,X X ，使12()0,()0f X f X ><，请证明：存在30X ≠，使得3()0f X =。
2007-019-4证明任意n 阶实可逆阵A 可以表成一个正定阵S 与一个正交阵Q 之积。
2007-037-7设A 为n 阶实对称矩阵，证明必存在数a 使得A aI +为半正定而非正定，这里I 表示n 阶单位矩阵。
2007-037-11（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：2221234124121314232434(,,,)2442222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++（2）t 取什么值时，二次型222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++为正定的？2007-038-3用正交化二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形。
并写出所作的正交变换。
2007-038-8若A 是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵B ，使得3A B =。
并对二阶方阵13141413-⎛⎫⎪-⎝⎭。
求出一个满足上面条件的矩阵B 。
2007-040-6试将22212312313(,,)2Q x x x ax bx ax cx x =+++划为标准形，求出变换矩阵，并指出,,a b c 满足什么条件时，Q 正定。
2007-040-7设,A B 都是正定实对称矩阵，证明：（1）AB 正定的充要条件是AB BA =。
（2）如果A B -正定，则11B A ---也是正定。
2007-041-6设,A B 均是n 阶实对称矩阵，且B 正定，证明（ⅰ）B A λ-的根是实数;（ⅱ）设0B A λ-=的根为i λ，1,2,,i n = 且12n λλλ≥≥≥ ，则()f X X AX '=（X '是X 的转置）在约束条件下1X BX '=下的最大值和最小值分别为1,n λλ。
2007-041-8设2111nni i n i i i f a x b x x -+===+∑∑，其中,a b 是实数，问,a b 满足什么条件时，二次型f 是正定的？2007-043-4设一个二次曲面在直角坐标系[;,,]O x y z 下的方程为2222323828824x y z xy xz yz ++-+-=，求一个正交直角坐标变换T ：x u y T v z w ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。
2007-043-4设A 为一个n 阶正定矩阵，B 为一个n 阶反对称矩阵，即B 满足：T B B =-。
1. 证明：存在n 阶实可逆矩阵T 使得T A TT =，其中T T 表示矩阵T 的转置矩阵。
2. 证明：B 的特征值或者是0或者是纯虚数。
3. 证明：A B +为可逆矩阵。
2007-044-7设A 是一个n n ⨯实对称矩阵，λ是A 的最大特征值。
证明：,11nij i j a n λ=≤∑。
2007-013-2（1）证明：任意n 阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；（2）设A 是n 阶实方阵，且对任意的非零列向量α，都有0A αα'>。
证明：存在正定矩阵B 和反对称矩阵C 使得A B C =+。
2007-018-3设1241102413004171207A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪--⎝⎭，1234(,,,)X x x x x =，()f X X AX '=。
问()f X 是否是一个正定二次型，为什么？2007-018-6设n 阶矩阵A 对于任意的n 维列向量X 满足0X AX '=。
（ⅰ）证明当A 为对称矩阵时0A =，（ⅱ）如果矩阵A 不是对称的，A 未必是零矩阵。
2007-018-9设0001001001001000A ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为21n +阶实对称矩阵，试求正交矩阵P ，使得1P AP D -=为对角形矩阵，并求D 。
2007-018-10证明（1）n 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）n 阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。
2007-013-9证明下述1n +阶实矩阵A 是正定矩阵：231234212321222223122222342222212321n n n n n n n A n n n n n ++++++⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪⎪⎪⎪⎪++++⎝⎭2007-007-1（9）（填空）设A 是n 级实对称矩阵，则A 为正定矩阵的充分必要条件是 。
2007-007-7设实二次型12(,,,)n f x x x 的系数矩阵为A ，若0A <，证明：必存在一组实数12,,,n a a a ，使12(,,,)0n f a a a < 。
2007-046-7设()ij n n A a ⨯=为一实对称阵，若A 是半正定的，则A 的一切主子式0k A ≥其中111212122212k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦且11k i i n ≤≤≤≤ 。
2007-004-5设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。
2007-004-7设二次型222123121323224f x x x ax x x x bx x =+++++通过正交变换化为标准形22232f y y =+，求参数,a b 及所用的正交变换。
2007-047-1（5）（填空）复数域上C 上n 阶对称矩阵按合同关系分类，共有 类。
2007-048-8（5）假设n n ⨯实对称矩阵,A B 以及A B -均是正定矩阵，证明：11B A ---也是正定矩阵。
2007-026-10讨论二次型222123123121323(,,)25484f x x x tx x x x x x x x x =+++--何时正定。
2007-024-1（7）（判断题）任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。
2007-024-1（8）（判断题）设()ij A a =为正定矩阵，则在A 的所有元素中，绝对值最大者必在A 的主对角线上。
2007-024-2（2）（填空题）设实二次型112312323121(,,)(,,)000323x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则123(,,)f x x x 的矩阵为 ，符号差 。