第六章4正定二次型和正定矩阵---精品资料
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1 E := 0 0 0 1 0 0 0 1
6 A := -2 2 -2 5 0 2 0 7
3 2 f := 18 99 162
f_factor := ( 6 ) ( 3 ) ( 9 )
2 1 2 2
3
二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数. 证明 设实对称矩阵A的特征值 1 , , n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1 , , n , 对于 X O, 令 Y Q 1 X , 即 X QY,显然 Y O, 又 1 0, , n 0, 故
X P PX ( PX ) PX PX
T T T 2
0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
13
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
Βιβλιοθήκη Baidu
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对 称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是 A的特征值 1 , , n , 由于A是正定的,这些特征 值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同, 12 故A合同于单位矩阵.
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,PX 可逆 . 对于任意 , 由于 P 可 X o o 逆,PX≠o,故
9
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2 A2 4 A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 2 2 4 3为
A3 2 A2 4 A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
10
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同. 证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可 T C , 逆矩阵C,使得 AC E 对于任意向量 X≠O,由于 C可逆,可从 CY 解出 Y ≠O,于是 X
X T AX Y T Y yi2 0,
n
故A是正定的.
2
例
f ( x1 x2 ) x x 2 x1 x 2 x 正定二次型,
2 2 2 2 1 2 2
1 1 Af 正定矩阵; 1 2 2 2 2 g ( x1 x2 )2 x2 x1 2 x1 x 2 x2 负定二次型, 1 1 Ag 负定矩阵; 1 2 1 0 h x x 不定二次型.Ah 不定矩阵. 0 1
RT AR Q T P T APQ Q T EQ E , RT BR 为对角形.
2 2
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9).
1 3, 2 6, 3 9.
8
>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
特征值都是负数.
6
6 2 2 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 5 0 . 2 0 7 解
E A 6
2 2 2 2
6
2
2 0 7
5
0
0 2 7 2
5
0
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0,
1. 2 3 0, ( 1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故
A是正定矩阵.
11
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 Q T AQ ,| Q T AQ || Q T || A || Q | | Q 1 || A || Q || Q |1 | A || Q || A || | 1
n 0.
5
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
§4 正定二次型和正定矩阵
一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
6 A := -2 2 -2 5 0 2 0 7
3 2 f := 18 99 162
f_factor := ( 6 ) ( 3 ) ( 9 )
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二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数. 证明 设实对称矩阵A的特征值 1 , , n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1 , , n , 对于 X O, 令 Y Q 1 X , 即 X QY,显然 Y O, 又 1 0, , n 0, 故
X P PX ( PX ) PX PX
T T T 2
0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
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例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
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设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
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必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对 称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是 A的特征值 1 , , n , 由于A是正定的,这些特征 值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同, 12 故A合同于单位矩阵.
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,PX 可逆 . 对于任意 , 由于 P 可 X o o 逆,PX≠o,故
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例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2 A2 4 A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 2 2 4 3为
A3 2 A2 4 A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
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定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同. 证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可 T C , 逆矩阵C,使得 AC E 对于任意向量 X≠O,由于 C可逆,可从 CY 解出 Y ≠O,于是 X
X T AX Y T Y yi2 0,
n
故A是正定的.
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例
f ( x1 x2 ) x x 2 x1 x 2 x 正定二次型,
2 2 2 2 1 2 2
1 1 Af 正定矩阵; 1 2 2 2 2 g ( x1 x2 )2 x2 x1 2 x1 x 2 x2 负定二次型, 1 1 Ag 负定矩阵; 1 2 1 0 h x x 不定二次型.Ah 不定矩阵. 0 1
RT AR Q T P T APQ Q T EQ E , RT BR 为对角形.
2 2
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9).
1 3, 2 6, 3 9.
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>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
特征值都是负数.
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6 2 2 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 5 0 . 2 0 7 解
E A 6
2 2 2 2
6
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( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0,
1. 2 3 0, ( 1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故
A是正定矩阵.
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T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 Q T AQ ,| Q T AQ || Q T || A || Q | | Q 1 || A || Q || Q |1 | A || Q || A || | 1
n 0.
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定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
§4 正定二次型和正定矩阵
一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
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一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.