线性代数 正定二次型
线性代数 同济版 5-7 正定二次型
例3 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
这是n元非退化线性变换， f ( x1 , x2 ,, xn )经过 这个线性变换化成
f ( x1 , x2 ,, xn ) z z z
2 1 2 2
2 n1
b z .
2 nn n
最后证 bnn 0. f ( x1 , x 2 , , x n )经 过 非 退 化 线 性
则
1 , ,1, dr
,1)
f ( x ) z T ( DTC T ACD) z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( x ) 的规范形.
惯性定理另一种描述：任一实二次型可经
过适当的非退化线性替换化成规范形，且规
范形是唯一.
二、正(负)定二次型的概念
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
使得 f n1 ( x1 , x2 ,, xn1 ) y y y
2 1 2 2 2 n 1
.
作线性变换 x1 g 11 y1 g 12 y 2 g 1,n -1 y n 1 , x 2 g 21 y1 g 22 y2 g 2,n -1 yn 1 , x g n 1 n -1,1 y1 g n -1,2 y 2 g n -1, n -1 y n 1， x n yn .
5_4二次型的正定性
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
《线性代数》
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结束
判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
北京工业大学线性代数第六章第七节 正定二次型第八节正交替换化标准形
证：方法一
( AT A)T AT A,
AT A是实对称阵，
任意X O, A可逆， AX O ,
f ( X ) X ( A A) X ( AX ) ( AX ) AX
T T T
2
0,
∴ f 是正定二次型，
AT A是正定矩阵.
19
方法二
( AT A)T AT A,
2 1
2
2( x1 x2 x3 ) 3 x 3 x 4 x2 x3
2 2 2 2 3
14
4 4 2 4 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x x2 x3 x3 ) x3 3 x3 3 9 3 2 5 2 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3
2 1 2 2 2 3
是正定二次型.
2 2 f ( x , x , x ) x 2 x ② 1 2 3 1 2
不是正定二次型.
X (0,0, 3) 0, f (0,0, 3) 0 ≯0
2 2 2 f ( x , x , x ) x 2 x x ③ 1 2 3 1 2 3
∴ 二次型f 是正定二次型.
17
1 2 0 2 2 1 ， 是否正定？ 例2 判断矩阵 A 0 1 3
(P205---例6.7.3)
解:
2 1 2 2 0， 2 2
∴A 不是正定矩阵． 例3 试证：实数域上任一n 阶可逆矩阵A ，
都有ATA是正定矩阵．
第七节 正定二次型
一．正定二次型 二．正定二次型的判别法 三．正定矩阵在求多元函数极值中的应用
1
我们知道一元二次函数f(x)=x2 在x=0处
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型的矩阵
正定二次型的矩阵
正定二次型是指当输入向量不为零时，二次型的值始终大于零。
这意味着它所对应的矩阵的特征值都是正的。
在线性代数中，正定二次型矩阵具有重要的应用，例如用于等式约束和规划问题的求解。
以下是关于正定二次型矩阵的一些基本性质和应用：
性质：
1.正定二次型矩阵的秩等于其阶数。
2.正定二次型矩阵的行列式始终大于零。
3.正定二次型矩阵可以被用于求解优化问题，例如可以用于最小化某个目标函数的约束问题。
4.正定二次型矩阵可以通过进行主元素的分解来求出其特征值和特征向量。
应用：
1.正定二次型矩阵在机器学习领域中被广泛应用，例如用于支持向量机算法的求解。
2.正定二次型矩阵也可以被用于求解一些非线性规划问题，例如广义最小二乘问题和拟牛顿法。
3.正定二次型矩阵也可以被用于计算图像处理和数字信号处理中的优化算法。
总之，正定二次型矩阵是线性代数中非常重要的概念。
它与许多优化算法和规划问题有着密切的关系。
通过深入研究正定二次型矩阵，我们可以更好地理解这些领域中的问题，并提出更有效的算法和解决方案。
线性代数 6-3二次型的正定性
结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法
正定二次型判定方法
正定二次型判定方法正定二次型是数学中重要的概念之一，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，正定二次型是指对于任意非零向量，其二次型值都大于零。
本文将介绍正定二次型的判定方法。
我们需要了解什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常表示为Q(x)=x^TAx，其中x是一个n维列向量，A是一个对称矩阵。
二次型在很多问题中起到了至关重要的作用，比如在优化问题、概率统计和物理学中。
对于一个二次型，我们希望能够判断它是否是正定的。
如果一个二次型是正定的，那么它具有以下性质：1. 二次型的所有特征值都大于零；2. 对于任意非零向量x，有x^TAx>0。
那么如何判断一个二次型是否正定呢？有以下几种方法：1. 特征值判定法：计算对称矩阵A的所有特征值，如果所有特征值都大于零，则二次型是正定的。
这是一种常用的判定方法，但需要计算所有的特征值，计算复杂度较高。
2. Sylvester判准则：根据A的主子式的符号判断。
一个n阶矩阵A的主子式是A的前k行和前k列所组成的子矩阵的行列式，记作Dk。
如果A的所有主子式Dk的符号交替，即D1>0，D2<0，D3>0，...，(-1)^(n-1)Dn>0，则二次型是正定的。
这种方法通过计算主子式的符号来判断二次型的正定性，计算复杂度较低。
3. 正定矩阵的定义：如果一个矩阵A满足对任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵，对应的二次型是正定的。
这种方法直接使用正定矩阵的定义进行判断，判断过程较为直观。
总结起来，判断二次型是否是正定的方法有特征值判定法、Sylvester判准则和正定矩阵的定义。
这些方法各有优缺点，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，正定二次型的判定方法可以帮助我们解决很多问题。
比如在优化问题中，我们希望找到一个使目标函数取得最小值的向量，可以通过判断二次型的正定性来确定是否存在最小值。
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（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
P205 ex3 设A、B为正定矩阵，证明B A也是正定矩阵。 证明：因为A、B为正定矩阵，由定义它们都为对称矩阵, 对任意向量X 0，X T AX 0, X T BX 0,则 由定义B A也是正定矩阵。
f 则称 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；
例如
f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
f x12 3 x22
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
推论1 二次型正定的充要条件是它的标准型为
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 充分性
设可逆变换x Cy使 n
f x f Cy ki yi2.
i 1
设 k i 0 i 1, ,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
f
x
n
ki
yi2
0.
必要性
P 205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明 : 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵, 且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P205 ex2设A为对称矩阵，证明当t充分大时， tI A是正定矩阵。
证明：因为A为对称矩阵，A可对角化，存在可逆
a11 5 0,
a11 a12 5
2 26 0,
a21 a22 2 6
A 80 0, 根据定理3知f为负定.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为 正 定 矩 阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （１） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
解
f x1, x2 , x3 的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
52
5 0,
1 0,
21
故上述二次型是正定的.
5 2 4 2 1 2 1 0, 4 2 5
例2 判别二次型
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
是否正定.
解 用特征值判别法.
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1, , n.
f
X
=
y12
+
y
2 2
+L
y
2 n
A A 推论2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
A A 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 0,
a11 a21
a11
a12 0, ,
a22
an1
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a1n 0; ann
a11 a1r
1r
0,
ar1 arr
这个定理称为霍尔维茨定理．
r 1,2, , n.
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定.
5 2 4
二次型的矩阵为
令 I A 0
2 0 2 A 0 4 0 ,
2 0 5
1 1, 2 4, 3 6.
即知 是A正定矩阵，
故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
的正定性.
5 2 2
解
f的矩阵为
A
2
6
0 ,
2 0 4
矩阵P，使得，
1
A
P
1
1
P，tI
A
P
1
n
P
tI
n
1
P
1
1 t
P
P 1tIP
P
1
n
P
n t
所以A的特征值为1 t，2 t， n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
第二节 正定二次型
一、正定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判定
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型
f ( x) xT Ax, 如果对任何
x 0( x ( x1, x2 , , xn )T ), 都有f ( x) 0, f 则称 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；
如果对任何x 0,都有f ( x) 0,