一.内容分布正定二次型 正定二次型的判别.
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是向量空间内的重要概念，它在许多数学领域中都有应用，如优化、概率论和统计学。
本文将介绍正定二次型的定义，性质和判别方法。
定义：设$f(x_1,x_2,...,x_n)$是$x_1,x_2,...,x_n$的二次多项式，即：$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{ij}x_ix_j$$其中$a_{ij}$为实数，且$a_{ij}=a_{ji}$。
则称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为$n$元实二次型，它的矩阵表示为$$A=(a_{ij})_{n\times n}$$称为二次型的矩阵。
也就是说，二次型和它的矩阵$A$是一一对应的关系。
性质：1.对于任意的实数$k$，$kx^T Ax$都是一个二次型。
2.二次型可以表示为两部分之和，即$f(x)=g(x)+h$，其中$g(x)$是只与$x$有关的部分，$h$是只与$x$无关的常数项。
3.设$A=(a_{ij})$是一个$n$阶实对称矩阵，则$A$的主对角线元素必为实数，有$a_{ii}\in\mathbb{R}$。
且$\forall i,j\in[1,n]$，有$a_{ij}=a_{ji}$。
4.对于任意非零实向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$，有$x^T Ax>0$，则称$f(x)$是正定二次型；有$x^T Ax<0$，则称$f(x)$是负定二次型；有$x^T Ax=0$，则称$f(x)$是半定二次型。
判别方法：1.矩阵的特征值法：对于实对称矩阵$A$，先求出它的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，然后判断它们的符号。
如果$\lambda_i>0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为正定二次型；如果$\lambda_i<0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为负定二次型；如果$\lambda_i=0(1\leqi\leq n)$的个数不超过$k$个，则$f(x)$为$k$阶半定二次型。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
北京工业大学线性代数第六章第七节 正定二次型第八节正交替换化标准形
证：方法一
( AT A)T AT A,
AT A是实对称阵，
任意X O, A可逆， AX O ,
f ( X ) X ( A A) X ( AX ) ( AX ) AX
T T T
2
0,
∴ f 是正定二次型，
AT A是正定矩阵.
19
方法二
( AT A)T AT A,
2 1
2
2( x1 x2 x3 ) 3 x 3 x 4 x2 x3
2 2 2 2 3
14
4 4 2 4 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x x2 x3 x3 ) x3 3 x3 3 9 3 2 5 2 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3
2 1 2 2 2 3
是正定二次型.
2 2 f ( x , x , x ) x 2 x ② 1 2 3 1 2
不是正定二次型.
X (0,0, 3) 0, f (0,0, 3) 0 ≯0
2 2 2 f ( x , x , x ) x 2 x x ③ 1 2 3 1 2 3
∴ 二次型f 是正定二次型.
17
1 2 0 2 2 1 ， 是否正定？ 例2 判断矩阵 A 0 1 3
(P205---例6.7.3)
解:
2 1 2 2 0， 2 2
∴A 不是正定矩阵． 例3 试证：实数域上任一n 阶可逆矩阵A ，
都有ATA是正定矩阵．
第七节 正定二次型
一．正定二次型 二．正定二次型的判别法 三．正定矩阵在求多元函数极值中的应用
1
我们知道一元二次函数f(x)=x2 在x=0处
正定二次型
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
D2
a11 a21
a12 1 a22 1
1 0
2
1 1 0 1 1 0
D3 1 2 1 0 1 1 3 1 2 0 0 1 3 0 1 3
根据定理 5.5 可知所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 2 二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 ，矩阵 A 的特征多项式为
解法 3 将所给二次型配方，得
f x12 2x22 3x32 2x1x2 2x2 x3 (x12 2x1x2 x22 ) (x22 2x2 x3 x32 ) 2x32
(x1 - x2 ) 2 (x2 - x3 ) 2 2x32 0
而上式等号成立的充分必要条件是 x1 x2 x3 0
0 1 3
0 1 3
0 1 3
1 0 0
1 0 0
c3 c2 0
1
0
r3r2
0
1
0
0 1 2
0 0 2
于是已知的二次型经过合用变换后，所得标准形的正惯性指数分别为 1，1，2，
根据惯性定理可知，所给二次型 f 是正定二次型。
1 t 1 例 5.12 设矩阵 A t 1 2 是正定矩阵，求其中 t 的取值范围。
实用线性代数
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
f (x) f (Cy) k1 y12 k2 y22 kn yn2
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。
1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。
正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。
$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。
$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。
2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。
定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。
线性代数5-7
定理1. 定理1. 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax ，它的秩为 ，有 它的秩为r， 两个可逆线性变换
x = Py , x = Qz
将 f 化为标准形
f ( Py ) = k1 y12 + k2 y2 2 + ... + kr yr 2
f (Qz ) = l1 z12 + l2 z2 2 + ... + lr zr 2
f ( x ) = x T Ax 正定的充分必要条件 定理2. 元二次型 定理2. n元二次型 是它的标准形的n个系数全为正数 个系数全为正数， 是它的标准形的 个系数全为正数，即它的正惯性指数为 n。 。
证明： 证明： 推论. 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 的全部 推论. 实对称矩阵 正定的充分必要条件是A的全部 正定的充分必要条件是 特征值都是正数。 特征值都是正数。
a32 ... an 2
a13 a23 a33 ...
an 3
... a1n ... a2 n ... a3 n ... ... ... ann
a11 = a11 > 0,
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
a11 a21
a12 >0 a22
a23 > 0, ..., A > 0 a33
实矩阵， 为 阶单位阵 阶单位阵， 例3. 设A为 m × n 实矩阵，E为n阶单位阵，已知 为 B = λ E + AT A 试证： 试证：当 λ > 0 时，矩阵 为正定矩阵。 矩阵B为正定矩阵 为正定矩阵。 证明： 证明： 证明： 阶实对称矩阵， 与 为 阶实对称矩阵 与 合同 例4. 证明：若A与B为n阶实对称矩阵，则A与B合同 的充分必要条件为A与 有相同个数的正特征值和相同个 的充分必要条件为 与B有相同个数的正特征值和相同个 数的负特征值。 数的负特征值。 证明： 证明：
第三节 正定二次型
此时A为正定矩阵，f为正定二次型.
当 a b 1 时，有 1 0, 3 0
2 2
此时A为不定矩阵，f为不定二次型.
上页 下页 结束
例6.7 求 的值，使得二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 2 x2 x3 2 x3 x1 x4
第三节 正定二次型
1
惯性定理 正(负)定二次型的概念 正(负)定二次型的判别
2
3
上页
下页
结束
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形 中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变），也就是有如下定理.
构成的k阶子式
a11 a1k ak 1 akk
称为矩阵A的k阶顺序主子式.
令k 1,2,, n 就得到矩阵A的一切顺序主子式．
n阶矩阵只有n个顺序主子式.
上页
下页
结束
定理6.4
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是: A
的各阶顺序主子式为正，即
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
上页 下页 结束
1 a 0 ( 3) f 的矩阵为 A a 1 b 0 b 1 1 a 1 a 2 3 A 1 (a 2 b 2 ) 1 1 2 a 1
当 a b 1 时，有1 0, 2 0, 3 0 ，
假设有 ks 0, 则当y s (单位坐标向量) 时,
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2. 两个基本结论
1) 实二次型
f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2
正定的充分必要条件是 di > 0 , i = 1, 2, … , n .
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 x1x2 x2 x3
是否是正定二次型.
解法 1 用配方法
解直接法配2方得用初等变换法
1
f
(
x1,
x12
,
x3 )
0
则其 标12 准形11为2(x1
1
2
x2
x12 x22
)2
3 4
四.教具、教学素材准备： 1.教具：多媒体教室、黑板、刷子 、粉笔等。
2.教学素材：网上各大学的电子课件。
花树忠，二次型理论在求解多元二次函数最值方面上的应用，职 大学报，2002（4）
3.参考书：
1、丘维声，《高等代数》（上、下册），高等教育出版社， 2002年，第二版。
2、张禾瑞、郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1999年， 第四版。 3、王向东、周士藩，《高等代数常用方法》，科学出版社，1989 年，第二版。 4、杨子胥，《高等代数习题解》(上、下册)，山东科学技术出版 社，2001年，第二版。
正定二次型
一．内容分布
正定二次型
正定二次型的判别 二.教学目标 1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负 定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定 二次型的概念。
2．掌握实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) X AX 正定的判 定定理。 三.教学重点、难点 实二次型 f (x1, x2,, xn ) X AX 正定的判定。
化实线性替换变成标准形 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2
由前面讨论的基本结论 1 知，该标准形是正定的当
且仅当 di > 0 , i =1, 2, … , n , 即正惯性指数为 n . 再
由基本结论 2 即得.
证毕
定理 6 说明，正定二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的
称矩阵，由推论 2 知，正定矩阵 A 是可逆的， 且
( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，
所以 A-1 也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很
多.
方法 1
方法 2
方法 3
对二次型 XTA-由1 X于作正非定退矩化阵线由A性于合替同A换于正X单定=位，AY矩所，阵以存E
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
1. 定义
定义 7 实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为正 定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1 , c2 ,
… , cn 都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) > 0 .
例如 二次型
f ( x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xn2
( x2
初等变换
x32
32 100xx31)x220043
x2 x03
2 3
x032
2
3
.
2. 顺序主子式法
有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个
二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或
规范形. 下面来解决这个问题. 为此，引入
定义 9 子式
a11 a12 a1i
Pi
证明 充分性是显然的. 下面来证必要性，
用反2证) 法非，退设化存实在线d性i 替0换, 于保是持取正x定i =性1不, x变j =. 0 (ji),
便有证明 1 设实二次型
这与证f二(明次x1型,f2x(正20,,定设…相实,,f0x矛二=,n1)盾X次,T0.型A, …iXn1
证明 设 A 为实对称矩阵，则由
有
实对称矩阵 A 正定 等 价
实二次型 XTAX 正定 等 价
实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2
实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2
等 价
矩阵 A 与 E 合同 等 价
存在可逆矩阵 C，使 A = CTEC = CTC .
证毕
推论 2 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设 A 是一正定矩阵，则由推论 1 知，
存在可逆矩阵 C，使 A = CTC .
两边取行列式，就有 | A | = | CT | | C | = | C |2 > 0 .
证毕
例 1 证明：若 A 是正定矩阵，则 A-1 也是正
定的.
证明 由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对
五.教学方法：
启发式讲授法、课外阅读法、练习法等。
六.教学时数：3学时
七.教学过程：
第四节 正定二次型
主要内容
正定二次型的定义 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法 正定矩阵的应用举例
一、正定二次型的定义
在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 因 为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问 题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条 件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以 及常用的判别条件.
,
0n )
j 1
a=idj xi ix0j,
,
aij
a ji
,
作非退化线性替换
二、实二次型正定性的判别方法
1. 惯性指数法
定理 6 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是正
定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n .
证明 设二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退
规范形为
y12 + y22 + … + yn2 .
定义 8 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二
次型 XTAX
正定. 因为二次型 x12 + x22 + … + xn2 的矩阵是单位
矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它 与单位矩阵合同，由此得：
推论，使得 A = CTC.
a21
a22
a2i (i 1,2,, n)
ai1 ai2 aii
称为矩阵 A = ( aij )nn 的顺序主子式.
定理 7 实二次型
nn
f (x1, x2,, xn )
aij xi x j X T AX