2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题01 集合与常用逻辑用语 (含解析)

第 一 章 集合与常用逻辑用语集合的基本运算【背一背重点知识】 1.集合的基本概念指定的某些对象的全体称为一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.a 是集合A 的元素记作: a A ∈ a 不是集合A 的元素记作: a A ∉(1) 集合的性质 确定性 无序性 互异性 (2) 集合的表示：列举法、描述法、韦恩图法、区间法(3) 常见的数集：N （ 自然数集 ）、 *N 或+N （ 正整数集 ）、Z （ 整数集 ）、Q （ 有理数集 ）R （ 实数集 ） 2.集合与集合的关系：交集，并集，补集A B ⋂={}x x A x B ∈∈且A B ⋃={}x x A x B ∈∈或{}U x A x x A C U ∉∈=且|3.真子集：集合A 是集合B 的真子集，记作 A ≠⊂B 【讲一讲提高技能】1. 必备技能：集合的表示，集合的概念，集合的运算.2. 典型例题：例1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N = （ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3] 【答案】A【分析】：通过数轴表示可求两个集合的公共部分.例2.集合{}24,031x y x Q x x xP -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=，则=⋂Q P （ ）A ．(12]，B ．[12]，C ．),1()3,(+∞⋃--∞D ．[12)， 【答案】A【练一练提升能力】1. 已知集合已知集合{}{}22,0,2,20A B x x x =-=--=，则A B = （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}0D ．{}2- 【答案】B【分析】：分别求出集合A 和集合B ，最后求交集.【解析】：由题意知{}{}2,0,2,21A B =-=-，，因此{}{}{}2,0,221=2A B =-⋂- ， 2. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ） A ．{}3 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}4 【答案】D【解析】由题()U C A B {}{}{}2,43,44=⋂=，选D .利用关系或条件求解参数范围问题【背一背重点知识】 1.A B B A ⊆⊆⇒且A B = 2.A B A ⋂=⇒A B ⊆ A B A ⋃=⇒B A ⊆【讲一讲提高技能】1.必备技能：借助数轴，将集合间的相互关系在数轴上表示出来，先作出不变的集合，再在数轴上将变动的集合作出，使之满足条件.2.典型例题：例1.集合}{{}20,,A x x B x x a =+<=<若A B A = ,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2--，∞ B ．[)∞+，2- C ．(]2-，∞ D ．[)∞+，2 【答案】B【解析】由题意得，}{{}2,,A x x B x x a =<-=<要使得A B A = ，即A B ⊆，则2a ≥-，故选B ．例2已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22,B x m x m m R =-≤≤+∈．(Ⅰ)若A B A ⋃=，求实数m 的取值；(Ⅱ)若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的取值范围. 【答案】：(Ⅰ) 1m =；(Ⅱ) 12m ≤≤【练一练提升能力】1.已知集合{}{}11,1A x x B x x a =-≤≤=-≤≤，且()()A B A B ⋃⊆⋂，则实数a =（ ）A .0B .1C .2D . 3【答案】B【解析】由(A ∪B )⊆(A ∩B )易得A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B ，∴a ＝12.已知全集U R =，集合{|13}A x x =-≤≤，2{|log ()1,}B x x a a R =-<∈． （Ⅰ）若2a =，求；（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(){}21|≤≤-=x x B C A U ；（Ⅱ）11≤≤-a考点：集合的交运算；子集；补集；利用逻辑联结词探求参数问题【背一背重点知识】 1.命题的四种形式与相互关系原命题：若P 则Q ； 逆命题：若Q 则P 否命题： 若P ⌝则Q ⌝ 逆否命题：若Q ⌝则P ⌝2.命题的条件与结论间的属性：若P Q ⇒，则P 是Q 的 充分条件 ，Q 是P 的 必要条件 . 3.全称量词与存在量词全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个， 每一个等； 存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；全称命题P :,()x M p x ∀∈ 否定为:,()p x M p x ⌝∃∈⌝ 特称命题P :(),x M p x ∃∈ 否定为():,p x M p x ⌝∀∈⌝. 【讲一讲提高技能】1必备技能：四种命题以及相互关系；充分条件与必要条件的理解；全称命题与特称命题. 2典型例题：例1.在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A == 则“60B =”是“b =”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件. 【答案】A例2：已知两个关于x 的一元二次方程2440mx x -+=和2244450x mx m m -+--=，求两方程的根都是整数的充要条件． 【答案】1=m试题分析：由两方程都有实数解得到120∆>⎧⎨∆>⎩，得到m 的取值范围，由方程的根为整数可结合根与系数的关系可知两根和，两根之积为整数，从而得到m 的限定条件，从而求得m 的值试题解析：∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m ≠0． 又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴m 为4的约数． 又∵⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5,14m ，∴m ＝－1或1． 当m ＝－1时，第一个方程0442=-+x x 的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【练一练提升能力】1.命题p ：实数x 满足22430x ax a -+< (其中0a >)，命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩.（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()2,3；（Ⅱ）(]1,2（Ⅱ）由(Ⅰ)知p ：3a x a <<则:3p x a x a ⌝≤≥或，:23q x <≤，则:23q x x ⌝≤>或，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则,p q q p ⌝⇒⌝⌝≠>⌝且∴0233a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,2． 2.已知a R ∈，命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.. 【答案】（1）a ≤1（2）1a >或21a -<<.（一） 选择题（12*5=60分）1. 已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】,a b 是实数，∴“0a > 且0b >”⇒“0a b +>且0ab >”；“0a b +>且0ab >”则0ab >得a 与b 同号，又0a b +>，所以必有“0a > 且0b >”，∴“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >” 的充要条件，故选C ．2.已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1A B ⋂=，则A B ⋃=( )A .{}0,1,3B ．{}1,2,4C .{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,4【答案】C3. 设集合{}2320M x x x =++<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 M N =（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}1x x <- D ．{}2x x ≤-【答案】A 【解析】试题分析：{}21M x x =-<<-，{}2N x x =≥-，故{}2M N x x =≥- ，选A ．.4．已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A5.命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A .4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤【答案】C【解析】原命题等价于“2a x ≥对于任意[]1,2x ∈恒成立”，其充要条件是4a ≥，所以C正确．6.设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,3,5M =，{}2,5N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）【答案】B【解析】Venn 图中阴影部分表示的集合是(){}{}{}1,3,41,3,51,3U C M N ⋂=⋂=,故选B7.已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=，则m =（ ）A .0B ．03或C .1D ．13或【答案】B【解析】由A B A ⋃=得B A ⊆，有m A ∈，所以有3m m ==，即3m =或1m =或0m =，又由集合中元素互异性知1m ≠，故选B .8．已知x 为实数，条件2:p x x <，条件1:2q x>，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B9．以下说法错误的是 ( )A .命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”.B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C .若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.D .若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++≥.【答案】C【解析】若p q ∧为假命题，则只需,p q 至少有一个为假命题即可．10. “222a b ab+≤-”是“0a >且0b <”的( )A .必要不充分条件B .充要条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要 【答案】A【解析】()22220a b a b ab ab +++=≤00000a a ab b b <>⎧⎧⇔<⇔⎨⎨><⎩⎩或，则选A. 11.已知命题:p R ϕ∃∈，使(x )s i n f ϕ=+为偶函数；命题:,cos 24sin 30q x R x x ∀∈+-<，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【解析】当2k πϕπ=+时，函数()f x 是偶函数，故命题p 是真命题；2cos 24sin 32sin 4sin 2x x x x +-=-+-22(sin 1)0x =--≤，故命题q 是假命题，故选C ．12.已知命题1:22x x p y R -=-函数在上为增函数，2:22x x p y -=+函数在R 上为减函数，则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:q p p ∧⌝中，真命题的是（ ）A .13,q qB .23,q qC .14,q qD .24,q q【答案】C【解析】因为1p 为真命题，2p 为假命题，因此12p p ∨、()12p p ∧⌝为真，其余为假命题. （二） 填空题（4*5=20分）13.若命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]3,0-14..已知集合()()(){}0,1,1,1,1,2A =-，(){},10,,B x y x y x y Z =+-=∈，则A B ⋂=______.【答案】{}|1x x >- 【解析】因为{}{}{}211|3|12,log 01|93|x A x x x B x x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<=-<<=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩⎭>>，所以A B = {}|1x x >-． 15. 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是____ ____．【答案】①②④【解析】由题意知，∴s q ⇔，①正确；p r s q ⇒⇒⇒，∴p q ⇒，但q p ≠>，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．16.下列说法中①命题“21,1x x ==若则”的否命题为“21,1x x =≠若则”②“1x >”是“0x >”的充分不必要条件③对于常数,m n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件 ④“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件其中说法正确的有 （写出所有真命题的编号）．【答案】②③17. 下列命题中真命题为 ．（1）命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是“20,0x x x ∃≤->”（2）在三角形ABC 中，A>B,则B A sin sin >．（3）已知数列{n a }，则“12,,n n n a a a ++成等比数列”是“212n n n a a a ++=”的充要条件（4）已知函数()1lg lg f x x x=+，则函数()f x 的最小值为2 【答案】（2）。