第三节 正定二次型 2013526(修改完)
正定二次型
设可逆变换x Py使
g
y
n
bi
y2 i
.
i 1
充分性
设 bi 0 i 1,, n. 则 g( y) 正定 任给 x 0, 则 y P -1x 0,
故由可逆线性变换不改变正定性可得。
定理 n元实二次型 f xT Ax 为正定的充分必要 条件为：它的标准形的n个平方项系数全大于零。
f
x2 1
3x22
为不定二次型
定理1 可逆线性变换保持实二次型的正定性。
证明 设实二次型 f (x) xT Ax 经过实数域上 可逆线性变换 x Py 化为 g( y) yT By
1.假设 f (x)
y ，则有
x
xT Ax
Py
正0定。，于对是任意f (非x)零 0实向量
0 0 1
定理 实二次型 f (x) xT Ax 正定的充分必要
条件是 A的所有顺序主子式的值全大于零。
, a11 0, a11 a12 0,
a11 a1n
0;
a21 a22
an1 ann
例 判别实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 3x32 2x1x2 是否正定。
证明 设二次型
f1 xT Ax f2 xT Bx
f xT (A B)x
xT Ax xT PT Px (Px)T (Px) 0
则由定义A正定。
A正定，则A合同于E, 由合同的定义，存在可逆矩阵P, 使得PT EP PT P A
正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0
第四章 二次型 第三节 正定二次型
该对角矩阵称为矩阵A的规范形矩阵，由A唯一确定. p称为矩阵A的正惯性指数；
r-p称为矩阵A的负惯性指数；
矩阵A的正惯性指数和负惯性指数的和为矩阵A的秩.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
定理4.3.2 两个n阶实对称矩阵合同 充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指数.
1r
a11 a, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
如果对任何X 0都有f ( X ) 0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
2 2 2 f x 4 y 16 z 例如三元二次型 为正定二次型
二元二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
注 n阶对称矩阵A为负定矩阵当且仅当A为正定矩阵.
定理4.3.3 可逆的线性替换不改变n元 实二次型的正定性.
矩阵充分必要条件是其对角元di 0, i 1, 2,
推论4.3.2
n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A合同于n阶单位矩阵E. 推论4.3.3 n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A的特征值均为正数.
推论4.3.4 若n阶实对称矩阵A为正定矩阵， A 0 .
定义4.3.2
A设A aij 是一个n阶方阵，则称A中形如 Ak a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk , n）.
正定二次型
再证必要性。
nf xLeabharlann ki yi2 > 0 i1
用反证法：假设有 ks 0，则当 y es (单位坐标向量)
时，f Ces ks 0 。显然Ces 0 ，这与f 正定相矛盾。这就证明 了ki > 0i 1, 2, , n 。
推论
对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。
例1 判定二次型 f 2x2 6 y2 4z2 2xy 2xz 的正定性。
解 f 的矩阵为
2 1 1
A
1 1
6 0
0 4
,
a11
2
<
0,
a11 a21
a12 2 a22 1
1 11> 0,
6
A 38 < 0
根据定理3知，f 负定。
线性代数
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
高等代数课件 第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
第三节正定二次型
第三节正定二次型第三节正定二次型内容分布图示★ 二次型有定性的概念★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定★ 定理6 ★ 矩阵的主子式★ 定理7★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题5-3 ★ 返回内容要点:一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<="">成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、正定矩阵的判别法定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为22122221r p p z z z z z ---++++则(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为22221n z z z f ----= )(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22221 )(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22221 ) (4) f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即22122221r p p z z z z z f ---+++=+ )定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式)1(21212221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤称为A 的一个k 阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211n k a a a a a a a a a A kkk k k k k ==称为A 的k 阶顺序主子式.定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
正定二次型
§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。
如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。
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合题意.
3）若 3 0 a 1, 1 1 0,3 3 0 ，则特征
值不合题意.
综上所述： a 2 .
第三节 正定性二次型
教学目的：掌握惯性定理以及二次型的定性的定义；熟练掌 握二次型正定的判别法.能根据条件选择合适的 方法判断二次型的定性；能正确求出含参数的正 定二次型参数的范围.
2
求 a 的值.
解：（1）二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 的矩阵
a 0 1
A
0 1
a 1a 1
1 1 a 1
( a)( a 2)( a 1)
矩阵 A 的全部特征值为 a , a 2, a 1 .
7 2 2
提问:
矩阵
A
2 2
8 1
31 不是 （
）.
可逆矩阵 ； B.正定矩阵；C.正交矩阵；D.实对称矩阵 .
例 2(1) 判断二次型的定性
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 . 解 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
例 1 设二次型 f x12 2 x1 x2 2 x22 x32 ，判断 f 的正定
性.
解： f x12 2 x1 x2 2 x22 x32 ( x1 x2 )2 x22 x32 ， 对 x ( x1 , x2 , x3 )T 0 ，恒有 f 0 ，故 f 的正定.
(2) 判别 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 4 x22 5 x32 4 x1 x3 正定性.
解 二次型的矩阵为
2 0 2
A
0
4
2 0
0 5
,
令 E A 0 ,得 1 1, 2 4, 3 6 , 知 A 是正定矩阵,故 f 为正定二次型.
1 1 2
解
二次型的矩阵为
A
1
3
0
；
2 0 5
对 A 作对称变换
1
A
1 2
1 3 0
2 0 5
c2 c1 c3 2c1
1 1 2
0 2 2
0 2 1
r2 r1 r32r1
0 0 1
A
P
diag(1, 1, 0)P 1
0
0
0
.
1 0 0
说明：也可以将1 ,2 ,3 单位化后构成 P ，则 P 1 PT .
例
1（08.4.4）设
A
1 2
2 1
，则在实数域上与
A
合同的
矩阵为（ ）
A
2 1
1 0 0
0 2 2
0
2 1
1 0 0
1 0 0
c3 c2
0
2
0
r3r2
0
2
0
.
0 2 1
0 0 1
则二次型的标准型为 y12 2 y22 y32 ，二次型 f 为不定二
次型.
3
则 1 1, 2 3 ，正、负惯性指数相同，故选 D
例 6（09.3.11）设二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) ax12 ax22 (a 1) x32 2 x1 x3 2 x2 x3 . （1）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 的矩阵的所有特征值. （2）若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 的规范形为 y12 y22 ，
定矩阵.
（4）半负定二次型—— x , f xT Ax 0 ，此时 A 为半负
定矩阵.
（5）不定二次型—— x1 , x2 0 , f x1T Ax1 0 ， f x2T Ax2 0 ；并称对称矩阵 A 为不定矩阵.
例如 f ( x, y, z) x2 4 y2 16z2 为正定二次型； f ( x1 , x2 ) x12 3 x22 为负定二次型. f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x22 半负定二次型； f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x22 半正定二次型； f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x22 2 x32 不定二次型.
立. 2.【推论 6.2】
二次型 f xT Ax 负定 二次型 f xT ( A)x 正定. 【推论 6.4】对称矩阵 A 为正定 A 的特征值全为正． 3.【推论 6.3，6.5】 n 元二次型 f xT Ax 及 n 阶对称矩 阵 A 定性的惯性指数判别法： （1） f 正定 p n R( A) ； （2） f 负定 q n R( A) ； （3） f 半正定 p r R( A) n ； （4） f 半负定 q r R( A) n ； （5） f 不定 p 0 且 q 0 . 4.【定理】对称矩阵 A 正定 A 与单位矩阵 E 合同 存
4
二、二次型的定性判定的相关定理
1.【定理 6.6】设 f xT Ax 为实 n 元二次型. f 正定 f 的标准形的 n 个系数全为正 f 的规范形 的 n 个系数全为 1 f 的正惯性指数为 n . （此时 R( A) r n p ） 证明：设有可逆线性变换 x Cy 使 f xT Ax 化为标准形
例 4 设 A 为 n 阶实对称矩阵，且满足
A3 6 A2 11A 6E O ，证明 A 是正定矩阵.
x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x22 5 x32 6 x2 x3 ( x1 x2 x3 )2 x22 x32 2 x2 x3
2 x22 5 x32 6 x2 x3 ( x1 x2 x3 )2 x22 4 x32 4 x2 x3 ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 , 所以 二次型 f 为半正定二次型.
二、二次型的定性的概念
【定义 6.3】设有实二次型 f xT Ax , A 为实对称矩阵， （1）正定二次型—— x 0, f xT Ax 0 ,此时 A 为
正定矩阵.
(2) 负定二次型—— x 0, f xT Ax 0 ,此时 A 为负定
矩阵.
（3）半正定二次型—— x, f xT Ax 0 ，此时 A 为半正
（2）二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 的规范形为 y12 y22 二次型
的特征值为两正一零.
讨论：
1）若 1 a 0 2 2 0,3 1 0 ，则特征值不合
题意.
2）若 2 0 a 2, 1 2 0,3 3 0 ，则特征值符
（2）判断二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 的定性.
解
先令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
,
有
x3 y3
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3
2 y12 4 y1 y3 2 y32 2 y22 2 y32 8 y2 y3
0 5
（不定）；
B
0 0
4 0
0 5
（负定）；
6
0 0 0
0 0 0
C
0 0
4 0
0 5
（半负定）;
D
0 0
4 0
0 5
（半正定）.
例 3（1）判断 x12 3 x22 5 x32 2 x1 x2 4 x1 x3 的定性.
0 1
0 1
1 0
0 0
1 0
0 1
1
r
0
0 1
0 0
1 2 1 2
0 0
1
2
1 2
0
0
1
0
1
0
1
1
所以
P 1
2 1
2
0 0
1
2
1 2
，
0
1
0
由 P 1 AP PT AP diag(1, 1, 0)
f k1 y12 k2 y22 kn yn2 . 充分性：设 ki 0 (i 1, 2,, n) ， 对 x ( x1 , x2 , xn )T 0 ， 则 y C 1 x 0 ，从而 f k1 y12 k2 y22 kn yn2 0 故 f 正定. 必要性：若 f xT Ax 正定， 假设有 ki 0 ，取 y ei ( 0 ，单位坐标向量），则 x Cei 0 ，但 f k1 y12 k2 y22 kn yn2 0 此与 f 正定矛盾，即 ki 0 不可能成立.综上所述结论成
例 6（2011.3.11.21T） A 为三阶实对称矩阵， R( A) 2 且
1 1 1 1
A
0
0
0
0
.
1 1 1 1
（1）求 A 的特征值与特征向量.