第三节 正定二次型
正定二次型
设可逆变换x Py使
g
y
n
bi
y2 i
.
i 1
充分性
设 bi 0 i 1,, n. 则 g( y) 正定 任给 x 0, 则 y P -1x 0,
故由可逆线性变换不改变正定性可得。
定理 n元实二次型 f xT Ax 为正定的充分必要 条件为：它的标准形的n个平方项系数全大于零。
f
x2 1
3x22
为不定二次型
定理1 可逆线性变换保持实二次型的正定性。
证明 设实二次型 f (x) xT Ax 经过实数域上 可逆线性变换 x Py 化为 g( y) yT By
1.假设 f (x)
y ，则有
x
xT Ax
Py
正0定。，于对是任意f (非x)零 0实向量
0 0 1
定理 实二次型 f (x) xT Ax 正定的充分必要
条件是 A的所有顺序主子式的值全大于零。
, a11 0, a11 a12 0,
a11 a1n
0;
a21 a22
an1 ann
例 判别实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 3x32 2x1x2 是否正定。
证明 设二次型
f1 xT Ax f2 xT Bx
f xT (A B)x
xT Ax xT PT Px (Px)T (Px) 0
则由定义A正定。
A正定，则A合同于E, 由合同的定义，存在可逆矩阵P, 使得PT EP PT P A
正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0
二次型正定求取值范围
二次型正定求取值范围二次型是数学中一类重要的函数形式，在多元函数和线性代数中广泛应用。
而二次型的正定性是研究二次型性质的关键。
本文将讨论二次型正定求取值范围的问题。
首先，我们先来定义什么是二次型。
二次型是指形如\[f(x_1,x_2,\dots,x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \dots + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + \dots + 2a_{ij}x_ix_j + \dots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]的函数，其中\(a_{ij}\)为常数，\(x_1,x_2,\dots,x_n\)为变量。
可以看出，二次型包含了平方项、交叉项和常数项。
接下来，我们来讨论二次型的正定性。
一个二次型被称为正定的，如果对于所有非零向量\(\mathbf{x} = (x_1,x_2,\dots,x_n)^T\)，都有\(f(\mathbf{x}) > 0\)。
也就是说，正定二次型的取值恒大于零。
现在我们来确定二次型正定的取值范围。
为了简化讨论，我们假设二次型的系数矩阵是对称矩阵，即\(A = (a_{ij})\)满足\(a_{ij} = a_{ji}\)。
这样的假设并不失一般性，因为对于非对称的情况可以通过调整对应项的系数使之对称。
首先，我们来考虑二次型的判别式。
对于一个\(n\)元二次型，其判别式为\[\Delta = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}\]如果判别式\(\Delta >0\)，则二次型是正定的。
关于正定二次型判定的教学设计
关于正定二次型判定的教学设计教学设计：正定二次型判定一、教学目标（1）掌握正定二次型的定义；（2）理解正定二次型的判定关系；（3）能够用正定二次型的判定关系来判定一个二次型是否正定。
二、教学过程（1）师生讨论：定义正定二次型首先让学生一起讨论定义正定二次型的概念，让学生提出自己的观点，有助于提高学生的动手能力。
二次型：一元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f（a不等于0），如果其函数图象在所有可能取值下都不会成为负值，就称这个多项式为正定二次型。
（2）讲解：正定二次型的判定关系让学生明白，通过对二次型的某几个特征量进行判定，便可以得出其是否为正定二次型。
例如： a>0：表示此二次型一定是正定二次型。
ac-b^2>0：表示此二次型一定是正定二次型。
4af-e^2<0：表示此二次型一定是正定二次型。
f-2bc-ad<0：表示此二次型一定是正定二次型。
（3）学生实践：用正定二次型的判定关系来判定一个二次型是否正定派出一些具体的实例给学生实践，让学生根据教师提供的判定关系来判定其是否为正定二次型。
让学生完成比较复杂的正定二次型判定，以加深学生的理解能力。
三、教学评价在完成了上述教学之后，以习题检测的形式来评价学生是否能够正确理解和运用正定二次型的判定关系来判定一个二次型的正定性，以及其运用的顺畅程度，以便及时查漏补缺。
四、教学反思本次教学，较为重视学生的学习主动性，让学生提出有关正定二次型的认识，又注重实践性，给学生提出一些较为复杂的判定问题，让学生能够通过练习，运用正定二次型的判定关系来判定一个二次型是否正定。
但是这次教学也存在一些不足，如教学重心太偏理论，少了实例分析，所以今后可以在实践性方面进一步提高。
第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。 解
轾 -2 1 犏 二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏 犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
T
推论2 推论 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 定理 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。 证法1 证法 由 AT = A，有
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法
判定正定二次型的方法有以下几种：
1. 特征值法：计算二次型的矩阵表示的特征值，如果所有特征值都大于0，则说明该二次型为正定二次型。
2. 主元法：将二次型化简为标准形式，观察正元的个数，如果正元的个数等于变量的个数，则说明该二次型为正定二次型。
3. 拉氏判别法：利用拉氏变换，将二次型表示为拉氏标准型，观察拉氏标准型中各项的系数，如果全部大于0，则说明该二
次型为正定二次型。
4. 完全平方展开法：将二次型表示为完全平方的形式，观察其中的平方项的系数，如果全部大于0，则说明该二次型为正定
二次型。
需要注意的是，以上方法都是对二次型的矩阵表示进行推导判断的，每种方法都有其适用的场景和限制条件。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的判定方法来判断正定二次型。
正定二次型判定方法
正定二次型判定方法正定二次型是数学中重要的概念之一，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，正定二次型是指对于任意非零向量，其二次型值都大于零。
本文将介绍正定二次型的判定方法。
我们需要了解什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常表示为Q(x)=x^TAx，其中x是一个n维列向量，A是一个对称矩阵。
二次型在很多问题中起到了至关重要的作用，比如在优化问题、概率统计和物理学中。
对于一个二次型，我们希望能够判断它是否是正定的。
如果一个二次型是正定的，那么它具有以下性质：1. 二次型的所有特征值都大于零；2. 对于任意非零向量x，有x^TAx>0。
那么如何判断一个二次型是否正定呢？有以下几种方法：1. 特征值判定法：计算对称矩阵A的所有特征值，如果所有特征值都大于零，则二次型是正定的。
这是一种常用的判定方法，但需要计算所有的特征值，计算复杂度较高。
2. Sylvester判准则：根据A的主子式的符号判断。
一个n阶矩阵A的主子式是A的前k行和前k列所组成的子矩阵的行列式，记作Dk。
如果A的所有主子式Dk的符号交替，即D1>0，D2<0，D3>0，...，(-1)^(n-1)Dn>0，则二次型是正定的。
这种方法通过计算主子式的符号来判断二次型的正定性，计算复杂度较低。
3. 正定矩阵的定义：如果一个矩阵A满足对任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵，对应的二次型是正定的。
这种方法直接使用正定矩阵的定义进行判断，判断过程较为直观。
总结起来，判断二次型是否是正定的方法有特征值判定法、Sylvester判准则和正定矩阵的定义。
这些方法各有优缺点，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，正定二次型的判定方法可以帮助我们解决很多问题。
比如在优化问题中，我们希望找到一个使目标函数取得最小值的向量，可以通过判断二次型的正定性来确定是否存在最小值。