判定正定二次型的三种方法
5.4_正定二次型
d f 正定的充要条件为： i 0, i 1,2,, n
(3) 非退化线性替换不改变二次型的正定性.
AX 证明：设正定二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X
经过非退化线性替换X＝CY化成：
f ( x1, x2 ,, xn ) Y (CAC )Y g ( y1, y2 ,, yn )
§5.4 正定二次型
一 、正定二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2 ,, xn )若对任意一组不全为零 的实数c1,c2,…cn，都有：
f (c1, c2 ,, cn ) 0
则称f 为正定二次型。
2 如，二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xi 是正定的； i 1 n
又由于C可逆， 0 0 ，所以 X 0 0, Y 即 c1 , c2 ,, cn不全为0。
g (k1, k2 ,, kn ) f (c1, c2 ,, cn ) 0
g ( y1, y2 ,, yn )正定.
反之，实二次型 g ( y1, y2 ,, yn ) 可经过非退化线性替换
k k
x1 x ( x1 , x2 ,, xk ) A(1,2,, k ) 2 x k
i 1 j 1
对任意一不全为零的数 c1 , c2 ,, ck , 有：
f k (c1, c2 ,, ck ) f (c1, c2 ,, ck ,0,,0) 0
Y C -1 X
变到实二次型：f ( x1, x2 ,, xn ),
同理，若g正定，则f正定。 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性。
r (4) n元实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 正定的充要条件为： ( f ) p n
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
6.2 正定二次型
bk b1ak 1 bk b2 ak 2
正定矩阵A的k 阶顺序主子式 Ak > 0 , (k = 1, …, n). 所以， Bk > 0 , (k = 1, …, n). B 为正定矩阵.
例
判别二次型
的正定性.
解
二次型的矩阵为
二次型正定
小
定理 (1) A为正定矩阵；
结
对于实对称矩阵 A，下列命题等价：
例 设实对称矩阵A = (aij)nn 是正定矩阵. b1, b2, …, bn是 任意n个非零实数，证明: B = (aii bibj)nn为正定矩阵. 证
b12 a11 b2b1a21 Bk
b1b2 a12 b22 a22
b1bk a1k b2bk a2 k 2 2 2 b1 b2 bk | Ak | bk2 akk
t 为何值时，f 为正定二次型？
解
2 P | A | 4 2 t 0, 3
1 t 1 A t 4 0 1 0 2 P1 1 0, 1 t P2 4 t 2 0, t 4
2t 2
所以，当 2 t 2 时 f 为正定二次型
定义
对于 n 阶矩阵 A = (aij), 子行列式
a11 a1k Pk ak 1 akk
称为 A 的 k 阶 顺序主子式.
定理 f (X) = X TAX 是正定二次型 A 的各阶顺序主子式全大于零.
例
讨论下面二次型的正定性： f3 (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 2x2 x3
解 作业：习题6.2 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11
正定二次型和正定矩阵的概念判别二型或矩阵正定的方法
§7
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
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三) 化二次型为标准型的方法
(1).正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵A . 2 .将A化为对角阵，求出正交阵P . 3 .写出标准型，且正交变换为X=PY .
(2).配方法 1.含有平方项，直接配方； 2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;
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四 判定矩阵与二次型为正定的方法
1.定义法： 2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正， 则A 是正定的; 3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A 是正定的; 4. 化A所对应的二次型为标准形,根据标准形 中的正平方项个数判断;
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3 1 0 例16 判定对称矩阵 A 1 3 0 正定性。 0 0 3 解 方法一 因为a11 3 0,
二次型正负定的判别方法
二次型正负定的判别方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二次型正负定的判别方法，这可有意思啦！
你看啊，二次型就像是一个神秘的盒子，我们得想办法知道它里面到底是正数多还是负数多。
这就好比你去买水果，得判断这堆水果是甜的多还是酸的多呀！
那怎么判别呢？首先呢，我们可以看看它的主子式。
这就像是一个水果堆里的核心部分，如果这些核心部分都是正数，那这二次型大概率就是正定的啦，就像那堆水果大多是甜的一样。
要是主子式一会儿正一会儿负，那可就麻烦啦，就像水果有甜有酸，让人捉摸不透。
再说说正定的情况呀，那简直就是阳光明媚啊！一切都那么清晰明确，让人心里踏实。
就好像你走在一条笔直的大道上，知道自己该往哪儿走，不用担心迷路。
要是负定呢，那就像是走进了一片迷雾森林，感觉处处都不太对劲。
但咱也别怕呀，只要掌握了方法，还是能找到出路的。
还有啊，我们可以通过特征值来判别。
特征值就像是二次型的性格特点，正数特征值多，那就是正定，负数特征值多，自然就是负定咯。
这多形象呀！
你想想看，如果一个二次型的特征值都很大很正，那不就说明它充满了正能量嘛！反之，如果都是负的，那可就充满了负能量啦。
判别二次型正负定真的很重要哦，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究中，就像一把钥匙，能打开很多知识的大门。
在实际应用中，也能帮我们解决很多问题，难道不是吗？
所以呀，大家可得好好掌握这个判别方法，就像掌握一门绝世武功一样。
当你能熟练地判别二次型的正负定，你就会觉得自己超级厉害，仿佛拥有了全世界！别小看它哦，它能给你带来很多惊喜和收获呢！这就是二次型正负定的判别方法，有趣又实用，大家可别错过呀！。
浅谈正定二次型的判定方法
浅谈正定二次型的判定方法
正定二次型是最常见的凸二次规划。
由于其凸性，正定二次型可以使用有限步数且算
法复杂度较低、单调性强等优势，常用于金融、经济、控制、管理科学和工程技术等领域
的优化计算。
针对正定二次型，学术界提出了多种判定方法。
其中，Kuhn-Tucker 条件是早期提出的一种判定方法。
该方法通过引入拉格朗日函数，结合梯度、Hessian矩阵等分析查找，得出非空解的判定条件，可以有效的判定正定二次
型的有界性。
此外，亦可采用项变换方法。
该方法采用数学变换，重新表达约束式，进而利用拉伸Hessian矩阵得出判定条件，进而判定正定二次型有界性是否成立。
研究显示，利用该方
法明显可以缩短优化计算所需要的时间与计算复杂度。
再者，如果约束条件中不带有不等式，则可以采用图论判定方法，该方法可以巧妙的
将正定二次型有界性的判定转化为图论最优路径问题，从而可以综合利用BFS/DFS等搜索
法得出结论，又不用考虑不等式条件的问题。
最后，学术界最近提出了几类新的判定方法，如s-lemma、解空间判定等，它们以不
同的数学思想对正定二次型有界性建模，具有较高的计算效率和判定结果准确性。
相比现
有的判定方法，这些新的方法可以有效的降低复杂度，在一定程度上提高判定的准确性。
综上所述，为了确定正定二次型是否有界，已有多项判定方法可供选择。
诸如Kuhn-Tucker 条件、项变换方法、图论判定以及s-lemma、解空间判定等，都可以在不同领域结合实际应用进行深入研究，以精确判定正定二次型的有界性。
二次型正定的充分必要条件与证明
二次型正定的充分必要条件与证明引言二次型是数学中的重要概念，它在很多领域都有广泛的应用。
而我们常常关心的是二次型的正定性，也就是它的取值范围是否始终大于零。
本文将探讨二次型正定的充分必要条件，并给出相应的证明。
二次型的定义首先，我们需要明确二次型的定义。
给定一个n维向量x，我们定义二次型为：[Q(x) = x^TAx]其中A是一个n×n的实对称矩阵。
二次型正定的定义接下来，我们来定义二次型正定的概念。
对于任意非零向量x，如果二次型[Q(x)]始终大于零，那么我们称该二次型为正定的。
即：[Q(x) > 0, x ]二次型正定的充分必要条件现在我们来探讨二次型正定的充分必要条件。
通过研究，我们可以得出以下结论：充分条件如果矩阵A是一个正定矩阵，那么对应的二次型[Q(x) = x^TAx]是正定的。
证明：我们需要证明对于任意非零向量x，[Q(x) > 0]。
首先，由于A是一个正定矩阵，所以存在一个正交矩阵P，使得[A = P^TDP]，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素都大于零。
将[x = Py]代入[Q(x) = x^TAx]中，得到[Q(x) = (Py)^TA(Py) = y T(P TAP)y =y^T(Dy)]。
由于D是一个对角矩阵，对角线上的元素都大于零，所以[y^T(Dy) > 0]。
因此，我们证明了对于任意非零向量x，[Q(x) > 0]，也就证明了二次型[Q(x)]是正定的。
必要条件如果二次型[Q(x)]是正定的，那么矩阵A是一个正定矩阵。
证明：我们需要证明如果对于任意非零向量x，[Q(x) > 0]，那么矩阵A是一个正定矩阵。
假设存在一个非零向量y，使得[y^TAy ]。
我们可以构造一个非零向量x，使得[Q(x) = x^TAx = y^TAy ]，这与[Q(x)]是正定的相矛盾。
因此，我们证明了如果二次型[Q(x)]是正定的，那么矩阵A是一个正定矩阵。
数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用
数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。
关键词：正定二次型正定阵顺序主子式一、正定二次型的判断: 定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明:设实二次型AXX x x x f n '=),,,(21 经线形替换X=PY 化为标准形222211nn y d y d y d f +++=)1(其中.,,2,1,n i R d i=∈由于p为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(?如果f是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有2222211>+++=n n y d y d y d f)2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f的正惯性指数等于n )(?如果f的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i=>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明：)(?由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X=使22221ny y y AX X +++=')1(对,0≠X因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X=使得221221'rp p y y y y AX X ---++=+)2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有1<-='A X X 这与假设矛盾.故pr =.再证nr=.如果,n r<则)2(式应化为nr y y y AX X r <+++=,22221')3(于是取 0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X又与假设矛盾,故,p n r ==即f是正定二次型定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AXX x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nn y y y x x x f +++=)(?f的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f的正惯性指数为,n 由定理1可知f为正定二次型定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X=其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AXX x x x f +++=''='='=所以,E ACC ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得EACC ='，令CYX=则2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以kA 表示A的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型jki kj i ij k xx a x x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g从而g 为正定二次型,固.0>k A)(?对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a a i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i=经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵000111A aB =因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(?对二次型的元数n作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =?----1,11,11,111n n n n a a a a=-nn n a a ,11α于是矩阵A 可以分块写成：A ='nna A αα1则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G令1C =100G于是''=???? ?????? ??'???? ??'='-nn n nn a G G E Ga A G ACC αααα111110010再令2C =--10'1a G E n则有?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 012112 令21C C C =dG G a nn =''-αα就有='d AC C11两边取行列式,dA C=2,则由条件,0>A 因此0>d.=??????? ?d d d 111111111所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f是正定二次型定理7、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵TT T A('=是实可逆矩阵)证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得EAC C ='则 1111)()(----'='=CCCC A令1-=CT,则T T A '=)(?若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='=令TXY=则 2222121),,,(nn y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵) 证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵, 令(1Y X T=-其中T 可逆)则 A T Y T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYT Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(?ATT '是正定阵,令ATYT Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TYX=则),,,(21n y y y g AXX x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明:)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得ATTAT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f为正定二次型相矛盾，则ATT1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(? A的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X=则222221121),,,(nn n y y y A T Y T Y AXX x x x f λλλ+++=''='=所以f为正定二次型定理10、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设)(ij t T=是一个n 阶实非退化矩阵,求证:≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=证明：若A 是正定矩阵,必有nna a a A 2211≤, 其中nn a a a ,,,2211 是A 的主对角线上的元素因为T 是实非退化矩阵,所以=nn n n n n nnnnn n t t t t t t t t t t t t t t t t t t T T 212222111211212221212111'=∑∑∑===nk knnk k nk k t t t 12122121是正定矩阵,由上述定理得)(112'∏∑==≤ni nk ki t T T =)(222121ni i ni i t t t +++∏=此即,≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=三、实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数y y x zyxz y x f u642),,(222-++++==的极值解：先求三个一阶偏导数,令它们为0,解方程组得驻点,再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵,A 由A 的正定性确定极值=-==+=??=+=??062042022z zU y y U x x U=-=-=321z y x得驻点)3,2,1(0--p222=??xU2=yx U2=zx U2=xy U222=??y U2=zy U2=xz U2=yz U222=??zU所以A =200020002 因为A 为正定阵,所以得极小值143*6)2(*4)1(*23)2()1()3,2,1(2220-=--+-++-+-=--=f p U参考文献：[1] 王向东《高等代数常用方法》科学出版社[2] 霍元极《高等代数》北京师范大学出版社 [3] 屠伯埙《高等代数》上海科技出版社 [4] 张盛祝《高等代数典型方法》信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequality and the minimum problem application.Key words: Is deciding two time Is deciding The smooth principal minor。
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判定正定二次型的三种方法
1.行列式法
对于给定的二次型f（x1,x2,...，xn）=xtax，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。
2.正惯性指数法
对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于
通过正交变换，将二次型化成标准形后，标准形为平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。
因此，可以先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数与否等同于
定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵a称为正定矩阵.
方法一：利用二次型的等距矩阵的特征值去推论.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.
定义：建有实二次型,如果对于任一一组不全为零的实数,都存有f(x)＜0,则表示此二次型为奇函数二次型,等距矩阵a称作奇函数矩阵；如果都存有f(x)≥0,则表示此二次型为半正定二次型,并说其矩阵为半正定矩阵；如果都存有f(x)≤0,则表示此二次型为半奇函数二次型,并说其矩阵为半奇函数矩阵。