Benford分析法需求

Benford 数据分析法
数字分析是一种相对来说较新的计算机辅助审计技术，它有助于找出单个数字和数字组合的异常重复或者数据中的其他情况。

审计人员可以应用这一技术检查包含描述类似现象规模的数字的大量业务。

物理学家佛兰克·班夫得（ＦｒａｎｋＢｅｎｆｏｒｄ）在２０世纪２０年代发现的班夫得定律（Ｂｅｎｆｏｒｄ’ｓｌａｗ），是审计人员应用的一种最普通的数字分析形式。

根据这一定律，一万或以上次交易中的每个数，其首位数字是“１”的机会要比是“２”的大，是“２”的机会要比是“３”的大，依此类推。

也就是说，一个数中的首位数字预计出现的频率会随着这一数字数值的增加而减少。

据班夫得定律，各数字预计出现于第一位和第二位的期望频率如下（精确到小数点后三位）：
频率
当这一定律应用到舞弊调查时，合法的、未被改动的数据就应该遵循预期的频率，而与这些频率不符的数据则可能包含舞弊。

然而，这些数据必须不包括预先设定上下限、分段或经过挑选的数值，例如政策数字或社会保险数字等。

因为这一定律并不适用于这些事先指定的、有规律的信息。

无论是信用卡交易、合同值还是应收账款账户的数据，都应遵循班夫得定律。

举个例子说，假设一个审计人员想要检查合同中数据的合法性。

如果数字分析显示合同金额首位数字出现“４”的频率是１６％，这将提醒审计人员警惕潜在的错误，因为这一数字出现于首位的期望频率是９．７％。

对雇员办理的合同中所有首位数字是“４”的数进行详查，可能会发现某个人办理的金额在４００００美元到４９９９９美元内的合同要比预期的多。

此时，审计人员就可集中审查这个雇员所签定的合同，寻找舞弊的证据，例如合同分拆、未经批准直接签定合同或者存在利益冲突等。

即使在一些没有明确发现舞弊的例子中，数字分析也可揭示不寻常的趋势，提醒审计人员注意那些极少数的、可能反映问题的交易。

但是，审计人员应用这一方法时要谨慎，毕竟这并不适用于所有数据分析的情况。

本福特定律
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本福特定律说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍。

推广来说，越大的数，以它为首几位的数出现的机率就越低。

它可用于检查各种数据是否有造假。

在十进制首位数字的出现机率（%，小数点后一个位）：
1.30.1
2.17.6
3.12.5
4.9.7
5.7.9
6.6.7
7.5.8
8.5.1
9.4.6
目录
[隐藏]
∙ 1 数学
∙ 2 不完整的解释
∙ 3 应用
∙ 4 历史
∙ 5 另见
∙ 6 参考
数学
本福特定律说明在b进制制中，以数n起头的数出现的机率为log b(n + 1) −log b(n)。

本福特定律不但适用于个位数字，连多位的数也可用。

不完整的解释
一组平均增长的数据开始时，增长得较慢，由最初的数a增长到另一个数字a+ 1起首的数的时间，必然比a+ 1起首的数增长到a+ 2，需要更多时间，所以出现率就更高了。

从数数目来说，顺序从1开始数，1,2,3,...,9，从这点终结的话，所有数起首的机会似乎相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数又大大抛离了其他数了。

而下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。

若果这样数法有个终结点，以1起首的数的出现率一般都比9大。

这个定律的严格证明，可以参见Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。

另见
参考
∙2005年6月2日明报D15版，《假帐克星——本福特定律》，吴端伟博士[1]
∙部分翻译自本页英文版，以下为其参考：
∙Frank Benford: The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, 78 (1938), p. 551
∙Ted Hill: The first digit phenomenon, American Scientist 86 (July-August 1998), p. 358. 10页的pdf文件
∙Hal Varian: Benford's law, American Statistician 26, p.65.
通用电器公司(GE)的物理学家Frank Benford于上世纪二十年代发现了一个令人震惊数学规律，即在任何一组给定的数据中，排在数据第一或第二位的数字是存有一个可预测到的概率。

例如，在一组数据中1排在第一位的概率约为31%，而9排在第一位的概率仅有5%。

Benford测试了多种来源的数据组发现存在这样的概率。

利用Benford发现的规律为审查会计造假开辟了一条思路(造假者的数据通常不会遵循Benford发现的统计规律)。

目前这个定律相当便于用于定期检查会计账目，发现假账的基本思路正变得越来越流行。

精准的软件配以高性能计算机使得人们较容易揭露财会文件内的数据造假。

去年俄勒冈州的一家会计事务所Financial Forensics的合伙人Darrell Dorrell，利用计算机加上Benford定律核查一家保健医疗企业的支付纪录时发现造假。

他发现数字0出现在数据第二位的概率是应该出现概率的两倍以上；数字5比应有概律高出60%以上。

加上许多其他不正常现象，Dorrell向公司破产管理人报告了公司财务数据更像是人为编造的。

然而，美国注册造假审计者协会(Association of Certified Fraud Examiners，ACFE)的业界人士Bishop认为，软件并非是万能的，更重要的是杜绝任何可能出现的造假机会，这才业界需要付出的永无止境的努力。

班佛定律的奥秘
1881年，天文学家纽康伯(Simon Newcomb)首先发明这个“第一位数现象”。

纽康伯注意到图书馆收藏的计算用对数表的一开始几页(这几页正是以1或2开始的数字)最脏，越往后越干净。

虽然看得厌烦的读者弃置一旁的小说可能也有这种现象，可是在数学列表的例子里，这单纯地反映出了以1及2开始的数字的出现率更为频繁。

可是纽康伯在观察到这个现象后，采取了更进一步的动作--他找出一个明确的公式，可以算出以某数开头的数字出现的机率。

可是纽康伯在《美国数学期刊》中发表的论文及结果完成没有人去注意，直到57年后，GE电器的物理学家班佛(Frank Benford)再次发现这项定律，他以超大范围的河流盆地流域数字、垒球统计数字，甚至于《读者文摘》中出现的数字来做测试。

所有的数据都出奇得与公式的结果相符，因此这公式就称为“班佛定律”。

抓假账准确度95%
班佛定律提供了另外一个迷人的例子，显示如何把纯数学拿来实际应用。

其中一个有趣的应用是，侦测会计账中的伪造数据。

在数学浩繁的财务文件中，这些数据的频率非常接近班佛定律。

但反过来说，伪造数据却很少遵循班佛定律。

希尔利用另外一个简单的例子，示范他职责何在机率理论的协助下侦测出其中是否有诈。

他在第一天教授机率的课堂上，要学生们做一项实验。

如果他们母亲的娘家婚氏是以A到L字母开头，他们就掷硬币200次，并把结果记录下来。

其他学生则去伪造200个人头和反而出现的数据。

希尔次日收集了这些结果，他能在很短的时间内就辩别出真假，正确程度达95% 。

他是如何做到这一点的？通常，真正掷钱币100次连续6次都是人头或反面的机率非常高。

反过来说，那些想要伪造连续投掷钱币纪录的人，却很少会认为要伪造出这样的序列。

最近有个案例就是在班佛定律的协助下，发现了一家美国旅游公司有伪造数据的事情发生。

事起这家公司的会计稽核主管发现，公司保健部门主管所制作的帐目，看起来有些怪异。

他用班佛定律来检查这些数据时发现，付款金额最前面为65的出现次数，形成了一个尖锋波形。

结果，一个小心的审计稽核查出了13张诈欺支票，面值从6500到6900美元不等。

位于纽约布鲁克林的州检察官办公室也根据班佛定律，侦测出纽约当地有7家公司在会计帐上作假。