高考数学 课后作业 53 等比数列 新人教A版

高考数学 课后作业 53 等比数列 新人教A 版1.(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692B ．69C ．93D ．189 [答案] C[解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)， 又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2.所以S 5＝a 11－q 51－q ＝3×1－321－2＝93.2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－12[答案] C[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5－12. 3．(2010·广东文，4)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 [答案] C[解析] 运用等比数列的性质a 1a 4＝a 2a 3＝2a 1⇒a 4＝2 ① a 4＋2a 7＝2×54 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12，∴S 5＝16[1－125]1－12＝31.4．(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 [答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.5．(2011·四川文，9)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．44＋1 [答案] A[解析] ∵a n ＋1＝3S n ① ∴a n ＝3S n －1(n ≥2) ②①－②得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n 即a n ＋1＝4a n ∴a n ＋1a n ＝4.(n ≥2)当n ＝2时，a 2＝3a 1＝3， ∴a 2a 1＝3≠4∴a n 为从第2项起的等比数列，且公比q ＝4， ∴a 6＝a 2·q 4＝3·44.6．(文)(2010·常德市检测)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n －1)C.43(4n －1) D ．(2n －1)2 [答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)．(理)(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．(文)等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝______.[答案]152[解析] ∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a 3＋a 2＝6a 1. ∵a 2＝1，a 2·q ＋a 2＝6a 2q，∴q ＋1＝6q，∴q 2＋q －6＝0，∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4，∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152.(理)已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则 ∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， 又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35，∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.(理)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个.1.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3 B.S 5S 3C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn ，其值与n 有关，故选D. (理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14 D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c2＋a c－1＝0.∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 2．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7. ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.3．(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 [答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.4．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－ 15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.(理)已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( ) A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0. (2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q31－q(q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小． [解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5； 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0， 所以有S 3a 3<S 5a 5. 综上可知有S 3a 3<S 5a 5.5．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋c y＝________. [答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b2，y ＝b ＋c2，c ＝bq ，a ＝b q，∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2bq b q＋b ＋2bqb ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 6．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[解析] 设{a n }的公比为q ，由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝66a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3(1)当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝a 1·qn －1＝3×2n －1S n ＝a 11－q n 1－q ＝3×1－2n1－2＝3×(2n－1)(2)当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝a 1·qn －1＝2×3n －1S n ＝a 11－q n 1－q ＝2×1－3n1－3＝3n－1.综上，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)或a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.(理)(2011·山东临沂一模)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，由已知得a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q)，a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q3)．化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q q ＋1＝2q ＋1，a 21q5q ＋1＝32q ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋(n －1)，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n－14－1＋n n －12＝4n－13＋nn －12.7．(文)(2010·福建龙岩一模)已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5. (2)由已知得b n ＝2n，a n b n ＝(－2n ＋5)2n.T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )×2n ＋1－14.(理)(2010·黄冈)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3. ∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2) ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∴b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1， 而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6. ∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1.(2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n， ∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n . ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2②①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝41－2n1－2－n ·2n ＋2＝－4(1－2n)－n ·2n ＋2，∴f ′(1)＝4＋(n －1)·2n ＋2.8．(理)已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由． [解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12.(2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，令T n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，则T n 等于( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n) [答案] C [解析]a n a n ＋1a n －1a n ＝q 2，即数列{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列．由a 2＝2，a 5＝14得q ＝12，∴a 1＝4，a 1a 2＝8，所以T n ＝8[1－14n]1－14＝323[1－(14)n]． 2．若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1且满足a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)．则c 的值为( )A ．1B ．－12C ．－1或12D ．1或－12[答案] D[解析] ∵{a n }是公比为c 的等比数列，a 1＝1，∴a n ＝c n －1，又a n ＝a n －1＋a n －22(n ≥3，n ∈N)，∴2cn －1＝cn －2＋cn －3，即2c 2＝c ＋1，∴c ＝1或－12.3．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32 B.152 C.13 D.133[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝5，a ·b ＝6，a >b >0，∴a ＝3，b ＝2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133.4．(2010·浙江金华十校)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A ．2 B ．3 C.15 D ．不存在[答案] A[解析] 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，∴a 1d ＋4d 2＝0， ∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d－d＝2. 5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q [答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.6．(2010·聊城市模拟)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [答案] D[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项， ∴A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112. 7．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．64[答案] C[解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C.[点评] 本题容易出现由a n ＋1＝a n ＋2得出{a n }成等差数列的错误．8．(2010·北京延庆县模考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <100得，2k ＋1<101， ∵26＝64,27＝128，∴k ＋1＝7，∴k ＝6，结合语句k ＝k ＋1在S ＝S ＋2k 后面知，当k ＝6时，S ＝127，k 的值再增加1后输出k 值为7.[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k 取何值时，恰满足S ≥100，又要顾及S 与k 的赋值语句的先后顺序．9．设{a n }为等比数列，且满足：S n ＝2n ＋a .(1)求{a n }的通项公式，并求最小的自然数n ，使a n >2010；(2)数列{b n }的通项公式为b n ＝－na n，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)n ＝1时，a 1＝2＋an ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1∵{a n }为等比数列，∴a 1＝2＋a ＝21－1＝1，∴a ＝－1∴{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(2)b n ＝－n a n ＝－n2n －1T n ＝－(1×1＋2×12＋3×122＋…＋n ×12n －1)① 12T n ＝－[1×12＋2×122＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ]② ②－①得，－12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n∴T n ＝n ＋22n －1－4.。