微积分的历史发展顺序与理论发展顺序的区别
微积分发展简史
费马在推导求面积的公式时，发现当 n 为 无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计。 卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称 之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的 总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没 有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经 放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把 一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就 会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不 可分量组成的。
终结不可分量后来发展为无穷小量。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是积分学的问题。
牛顿与莱布尼茨
实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之 前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴 罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的 积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、 定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
费马研究的一个问题
假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后 第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。
如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时 刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时 间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计 算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，…… 内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平 均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有 了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度， 然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一 个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速 度。
费马推导的问题所在
费马一直没能证明他所做的这些，也 没有把这项工作非常深入地进行下去，但 他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。 尽管如此，事实上我们必须承认他是微积 分学的创始人之一。
微积分的历史
微积分的历史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：在这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速度、极值、正切、面积等问题，尤其是描述运动和变化的无穷小算法，在较短的时间内取得了很大的进步。
天文学家开普勒发现了行星运动三定律，利用无穷小求和的思想，得出曲边面积和旋转体体积。
意大利数学家卡瓦列里利用无分法的幂函数积分公式，同时发现了卡瓦列里原理(祖鲁原理)。
微积分的历史与发展
微积分的历史与发展微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续性的数学分支。
微积分的历史可以追溯到古希腊时期，而其发展经历了许多重要的里程碑。
本文将介绍微积分的历史与发展，从古代到现代逐步展开，帮助读者了解该学科的演进过程。
古代的微积分先驱们展示了对变化的基本理解。
在古希腊，数学家Zeno of Elea以悖论而闻名，他提出了无限可分割的运动悖论。
这种思想激发了人们对变化和连续性的思考，并为后来微积分的发展奠定了基础。
进入17世纪，微积分的概念正式开始形成。
众所周知的牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的创始人。
牛顿以其经典力学和引力定律的发现而著名，而莱布尼茨则发明了微积分符号和符号推导法。
他们的贡献为微积分奠定了坚实的数学基础，并将其应用于物理学和其他学科的发展中。
随着时间的推移，微积分得到了持续的发展和改进。
18世纪和19世纪，欧洲的数学家们继续推动微积分领域的研究。
拉格朗日、欧拉、高斯等数学家们为微积分理论提供了许多重要的贡献。
他们的研究使微积分得以从几何学的观点转向更加抽象和符号化的方法，这为后来微积分的发展提供了重要的基础。
20世纪，微积分进入了现代阶段，特别是与数学分析的发展相结合。
数学家们进一步探索了微积分的基础，发展了更加严格和深入的理论和方法。
对于微分学和积分学的理论基础的巩固和完善，使得微积分在数学和应用领域中的地位更加牢固。
在现代应用中，微积分广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等学科。
例如，在物理学中，微积分被用于描述物体的运动、力学和量子力学等领域。
在工程学中，微积分为电路、信号处理和结构设计等提供了数学工具。
在计算机科学中，微积分为算法和数据分析提供了基础。
在经济学中，微积分被用于经济模型的建立和分析。
总结起来，微积分的历史与发展经历了漫长的过程，从古代的思考和猜测，到牛顿和莱布尼茨的创立，再到现代的深入研究和应用拓展。
微积分不仅是数学领域中的重要学科，也是许多其他学科中的基础和工具。
微积分的发展历史
微积分的产生——划时代的成就.1 微积分思想的萌芽1.1 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x ，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx 2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一.极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos ）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n ，等式k b a nn =（常数）成立，且当n →∞时，A a n →，B b n →，则有k BA =.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.1.2 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权.代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作《算术》中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.1.3 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.《庄子》和《墨经》中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.《墨经》也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时《墨经》也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.极限思想的运用——割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率.总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.2微积分孕育的半个世纪在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希腊人所创造的计算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则几乎是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方法形成后建立起其间联系又晚一些.直至17世纪上半叶，以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的数学问题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发展，孕育了微积分的诞生.2.1积分学概念和方法的产生在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：2.1.1 开普勒的同维无穷小方法开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家和数学家，在大学学习时曾接触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不象前人那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打破了传统的、权威的观念，是对哥白尼的天文学的重大发展. 图5-1 开普勒开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有90个旋转体的体积是阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展——用无数个同维小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周长乘半径之半. []n S S S A ∆++∆+∆=2121 221r rs π== 图 5-2他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=3142R R V π.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积.开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想，对积分学很富有启发性. 2.1.2卡瓦列里和托里拆利的不可分量法“不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都有类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(BonaventuraCavalieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可rS i O分元法”.这一思想集中体现在他的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)和《六个几何问题》中两部著作之中.卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书是由每一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图5-3 卡瓦列里立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比.卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡献还在于证明了：如果两线段之比为2:1,则其平方和之比为3:1,立方和之比为4:1,直到九次方和之比为10:1,实际上已相当于今天的积分式⎰++=an n a n dx x 0111 （n 为自然数） 使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡.卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，开普勒曾向同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积.卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题.人们认为，以卡瓦列里为代表的不可分量法就是17世纪初期的积分法，也是牛顿和莱布尼茨以前积分思想发展的高峰.卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示不同的曲边图形对应的不可分量之间的关系，而非每个面积中的不可分量全体，这就避免了无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾.同时，卡瓦列里求积法还具有不注意代数和算术的纯几何缺点.对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学生、意大利的托里拆利(E.Torricelli,1608-1647).1646年卡瓦列里发表《关于无限抛物线》中批评说：“把不可分元看成是相等的，即把点与点在长度上、线与线在宽度上、面与面在厚度上看成相等的说法纯属空话，它既难以证明，又无直观基础.”他以圆和三角形的不可分元为例说明二者的不可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具 图 5-4有微小宽度的带状体.所以他用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时又保留了不可分量法在求积上的有效性，不但取得了曲线求积问题的许多成果，而且在理论上向近代积分靠近了一步.2.1.2 费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进费马于1636年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一的矩形条分割曲线形；用矩形面积近似地代替曲边形面积；利用曲线方程求出矩形面积，并以其构成的几何级数之和近似地得到曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值.而帕斯卡则采取等分x 轴上的区间和略去无穷序列之和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响.费马还将其积分法用于求弧长，他把曲线长视为微小线段长之和，再把线段长度之和转化为求曲线围成的面积来获得结果.英国数学家沃里斯1656年发表《无穷的算术》，使卡瓦列里、费马的不可分法得到系统的推广.他用数的语言把几何方法算术化，使无限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础.沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算公式：22dy dx ds +=，但未能给出弧长的计算方法.到17世纪60年代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相当完善了.2.2微分学概念和法则的发展以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况.解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学问题研究的前锋.2.2.1费马借助微小增量作切线费马在1637年发表了《求最大值和最小值的方法》，记述了一个求曲线切线的方法，这个方法的大意如下：设PT 是曲线在P 点的切线（如图5-5），TQ 叫次切线，只要知其长，就可确定T 点，再连接PT 就可以了.为了确定TQ ，设QQ 1为TQ 的微小增量，其长为E （即今之△x ）， ∵△TQP ∽△PRT 1 ∴1RT PRQP TQ = 费马认为，当E(=PR)很小时，RT 1同RP 1几乎相等，因此有QPP Q E RP E QP TQ -==111 图 5-5 用现在的符号，把QP 写成)(x f ，于是有)()()(x f E x f E x f TQ -+= 即 )()()(x f E x f x f E TQ -+⋅=这时，费马先用E 除分子和分母，然后再让E=0就得到TQ 的数值（即今之)()(x f x f TQ '=）.费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作.但是，他没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算斜率的极限来求切线.割线移动决定切线的思想，是笛卡儿1638年提出来的.2.2.2笛卡儿“圆法”求曲线)(x f y =过点))(,(x f x P 的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P 处的法线与x 轴的焦点C 的位置，然后作该法线的过点P 的垂线，便可得到所求的切线.如图5-6，过C 点作半径r=CP 的圆，因CP 是曲线)(x f y =在P 点处的法线，那么点P 应是该曲线与圆222)(r v x y =-+的“重交点”（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P 点附近的另一点）.如果[]2)(x f 是多项式，有垂交点就相当于方程 222)()]([r x v x f =-+ P T 1P 1RT Q Q 1将以P 点的横坐标x 为重根.但具有重根e x =的多项式的形式必须是∑⋅-i i x c e x 2)(，笛卡儿把上述方程有重根 的条件写成： ∑-=--+i i x c e x r x v x f 2222)()()]([， 图 5-6然后用比较系数法求得v 与e 的关系.带入x e =，就得到用x 表示的v ，这样过点P 的切线的斜率就是)(x f x v -. 以抛物线kx y =2为例，kx x f y ==)(，方程22)(r x v kx =-+有重根的条件为： 222)()(e x r x v kx -=--+令x 的系数相等，得e v k 22-=-，即k e v 21+=.代入x e =，于是次法距k x v 21=-，求出抛物线过点()kx x ,的切线斜率是xk kx k x f x v 212/)(==-. 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的.笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德(J.Hudde)提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“胡德法则”.胡德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算.2.2.3费马求极值的方法用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一.记载费马求极大值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森(M.Mersenne)的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心.费马的方法用现在的符号表示大意如下：设)(x f 是x （x 就是费马的A ）的某个多项式，现在讨论)(x f y =的极大值.如果)(x f 在x 点达到极大值，则对充分小的E>0必有：)(E x f +<)(x f 和)(E x f -<)(x f将此二不等式之左边展开则有：+++=+2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f-+-=-2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f消去这两个不等式两边的共同项，再用E 除则分别给出下面两个不等式：++E x Q x P )()(<0-+-E x Q x P )()(<0当E 充分小时，此二式左边的符号完全由)(x P 确定.可见，当)(x P 0≠时，此二式不可能有同一的符号，因此必须)(x P =0，从此式解出x 就是所求的极大值.同理可以求出极小值.费马的方法实际上就是，当计算有理整函数)(x f 的极值时，先计算它的导数x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0，再令0)(='x f ，解之就是极值点. 不难看出，费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释他的E 时设为“充分小”，是为了同今天的思想相一致，但费马并没有如此表述；第二，正如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证明；第三，令0)(=x P ，只是求出极值的必要条件，而不是充分条件.尽管费马求极值方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结构.可以认为，在微分学的先驱工作中，费马是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大.2.3微积分系统理论探索的前夜这里将要介绍的是帕斯卡、沃里斯和巴罗等人的工作，他们的工作对牛顿和莱布尼茨的微积分的产生有着直接的关系，如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，则这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡.2.3.1帕斯卡等的无穷小方法布莱斯·帕斯卡(Pascal Blaise,1623-1662)的一生，虽然只有39岁，而他的一段黄金时期(30-35岁)又专门研究神学，但是他在数学上的成就却很大.他是世界上第一架计算机的设计者，是概率论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡三角形”，他也是一位哲学家，并很有写作才能.他同罗伯瓦尔和费马一起，被称为当时法国数学界的三巨头.帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有 图5-7 帕斯卡一定关系.因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡是用文字表述的.他凭借这个结果并引入无穷小概念，算出了以曲线n x y =为一边的曲边梯形的面积.他把无穷小概念也应用于微分学，在他的《四分之一圆的正弦论》(1659)这部著作中，有一幅被称之为“微分三角形”的图形（图5-8）.他说，当区间(即图中的RR=EK)很小时，则“弧可以代替切线”.通过“微分三角形”说明可以用直线代替，并进一步作出切线.把无穷小概念引入数学，是微积分发展史上的重要事件.以无穷小作基础才能把曲线看成直线.有人认为，如果帕斯卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致力于切线的求法，那么他就有可能比牛顿和莱布尼茨更早地击中微积 图 5-8分的要害.事实上，帕斯卡的工作对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响. 2.3.2沃里斯的算术化英国的沃里斯(J.Wallis,1616-1703)是一位牧师的儿子，受过良好的古典教育.在剑桥大学学习期间专攻神学，以后对数学感兴趣.从1649年B AR I D KR E E C起任牛津大学的“沙维教授”，是17世纪时的英国仅次于牛顿的著名数学家.在微积分的先驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分.沃里斯接受了韦达、笛卡儿和费马等前辈们的思想——应用代数研究几何问题，他试图使算术完全脱离几何表示.另外在求积问题上，他 图5-9 沃里斯接受卡瓦列利的不可分元思想和流行的略去无穷小方法，并且应用尚不精确的无穷大和无穷小概念.他在数学史上第一次用符号∞表示无穷大，用∞1表示无穷小或零量，并把它们和有限数同样看待，一起参加运算.沃里斯在他的重要著作《无穷算术》(1655)一书中用算术方法得到如下的定理：“若有一无穷数列，从0开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与各数均等于其最大数的同样数目之和的比值为该指数+11.”用今天的符号表示就是⎰+=1011n dx x n （n 是整数或分数），这表明卡瓦列利和帕斯卡等所确定的关系⎰++=a n n a n dx x 0111 （n 为正整数），当n 为分数时仍然成立. 2.3.3巴罗的求切线和求积的互逆性 英国的伊萨克·巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)是微积分发展史上最重要的人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对希腊古典著作很有造诣；曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，1669年即牛顿26岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把“卢卡斯教授”职位让给牛顿，成了数学史上的佳话.他的主要著作是《光学和几何讲义》.巴罗的数学观基本上与希腊人相同，认为只有几何才是数学，而代数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去.尽管他偏爱几何，但对 图5-10 巴罗 即将临产的微积分也有深刻的理解.巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是线元之延长，这是不可分元的不同说法，不过巴罗最有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来.比如，他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，用今天的符号表示分别是：（1）如果⎰=xzdx y 0，则zdx dy = （2）如果zdx dy =，则⎰=xy zdx 0 （设x=0时y=0）巴罗还采用帕斯卡二十年代提出而沃里斯正在使用的“微分三角形”思想来求曲线的切线.微分三角形是指由自变量增量x ∆和函数增量y ∆为直角边所构成的直角三角形.他第一个认识到xy ∆∆对于决定切线有重大意义，于是将微分三角形和费马的方法结合起来，从而得到比费马更优越的方法.实际上，巴罗已经接触到了微分的本质，因为x y ∆∆可以用来决定导数. 微积分的先驱们的工作，以费马和巴罗为标志而结束，由于历史的局限性，上述数学家关注的是具体几何特有的解答方法，而未注意大量成果的优越性、创造性和普遍性能够提炼成新的统一的方法构成一门新的学科，也就是需要创立具有普遍意义的抽象概念、具有一般符号和一整套解析形式与规则的可以应用的微积分学.牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出。
浅谈微积分发展历史
《 运用无穷多项方程的分析学》
给出了求瞬时变化率的普遍方法 阐明了求变化率和求面积是两个互逆问题，从而揭 示了微分和积分的联系，即沿用至今的所谓微积分 的基本定理。。
《流数法和无穷级数》
1
他改变了过去静止的观点，认为变量是由点. 线.面连续运动而产生的。
2
他用更清晰准确的语言阐明了微积分的基本 问题：一是，已知流量间的关系，求流数关 系；二是，已知表示量的流数间的关系的方 程，求流量间的关系。并指出这是两个互逆 问题。 该书中，牛顿还把数流法用于隐函数的微分 ，求函数的极值，求曲线的切线、长度、曲 率和拐点，并给出了直角坐标和极坐标下的 曲率半径公式，附了一张积分简表。
特征三角形
与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微 积分首先是从出于几何问题的思考，尤其是特征三 角形的研究。
创立微积分后的影响
在牛顿和莱布尼茨各自独立创建微积分之后， 发生了历史上有名的“微积分发明优先权之争”， 致使欧洲大陆数学家与英国数学家分成两派。
欧洲大陆派以雅克布·伯努利与 约翰·伯努利兄弟为代表支持莱布尼茨； 而英国数学家捍卫牛顿。 两派激烈争吵甚至达到互相敌对的程度。
祖冲之
沈括
欧洲古代萌发的微积分思想
安提芬的“穷竭法”
阿基米德”平衡法”
刺激微分学发展的主要科学问题是 求曲线的切线、求瞬时变化率以及 求函数的极大值极小值等问题。
半个世纪的酝酿
已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度
望远镜的光程设计使得求曲线的切线
科学问题
确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的 最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值
求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过 的面积以及物体重心与引力等
微积分的历史发展顺序与理论发展顺序的区别
微积分的理论展开顺序与历史展开顺序的联系与区别在本学期，我们学习了数学史，这门课让我对我们所学的数学知识有了更深度认识。
尤其在微分学的知识上，我知道了微积分的理论展开顺序与历史展开顺序是有联系与区别的。
对此，我将浅谈一下我的认识。
一、微积分的历史展开顺序1.微积分的创立解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。
微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。
我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。
在古代，刘徽撰写的《九章算术·商功》中提到：“斜解立方，得两壍堵。
斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。
”他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出"幂势既同则积不容异"，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。
祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
卡瓦列利运用祖暅原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是现行中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。
在现代，1638年伽利略《关于两门新科学的对话》中，他建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45°时达到，等待。
伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。
德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》论述了圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。
微积分思想的产生与发展历史
并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想， 在求出球的体积的同时， 得到了一个重要的结论 （后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 }；将圆柱体 { x 2 y 2 R 2 , 0 z R }减去（即挖 去） 倒立的圆锥{ x 2 y 2 z 2 , 0 z R }视为另一个几何体。 则对任意的
函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马（P. Fermat, 1744-1825） 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时，都是 先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗 （I. Barrow, 1630-1677） ， 他是牛顿的老师， 是剑桥大学卢卡斯讲座教授， 后来他认为牛顿已经超过了他， 就把这一讲座教授的位置让给了牛顿。 他在《光学和几何学讲义》一书中，已经把求曲线的切线与求曲线下 区域的面积问题联系了起来，也就是说，他把微分学和积分学的两个 基本问题联系了起来。 但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下进一 步深入地研究它们。 三．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算，是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来 的。 1669年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算， 例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅， 而这一决定在以后
微积分成立与发展
微积分的发展也引发了 许多哲学思考
例如，微积分中的极限 概念体现了量变到质变 的哲学思想，即通过无 限逼近的过程达到某一 特定的结果
此外，微积分中的连续 性和可微性概念也与哲 学中的连续性和离散性 概念有关，引发了对现 实世界本质的深入探讨
微积分的未来展望
随着科学技术的发展和数学 自身的发展，微积分也在不 断发展和完善。未来，随着 计算机技术的进步，微积分 的应用将更加广泛和深入， 例如在大数据分析、人工智 能等领域中的应用。同时， 随着数学理论的发展，微积 分的理论体系也将更加严谨 和完善，例如在实数理论、
微积分的起源
微积分的起源可以追溯到古代数学，如希腊数学家欧 几里德、阿基米德等人对几何学和物理学的研究
x
然而，真正意义上的微积分学是在17世纪和18世纪建 立的
牛顿与莱布尼茨的贡献
英国数学家牛顿在17世纪末期提出了微积分的基本定理，即现在所说的" 牛顿-莱布尼茨公式"，该公式将定积分与不定积分联系起来，成为微积分 学的基础。同时，牛顿还发展出了"流数法"，将数学分析的方法引入微积 分，为后来的微积分发展奠定了基础
与此同时，德国数学家莱布尼茨也独立发展出了微积分的基本定理和相应 的方法。莱布尼茨的贡献在于他提出了"微分学"的概念，将微分学与积分 学相结合，形成了现代意义上的微积分
微积分的发展
1
微积分的
发展
2
3
在牛顿和莱布尼茨之后，微积分学得到了进一步的发 展
18世纪，许多数学家如欧拉、拉格朗日等人在微积分 的理论和应用方面做出了重要的贡献
无穷小分析等领域的研究
总之，微积分作为数学和科 学的重要组成部分，其成立 和发展是人类智慧的结晶， 也是推动科学和技术发展的 重要动力。在未来，微积分 将继续在各个领域中发挥重 要的作用，为人类认识自然 和改造自然提供有力的工具
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微积分的理论展开顺序与历史展开顺序的联系与区别
在本学期，我们学习了数学史，这门课让我对我们所学的数学知识有了更深度认识。
尤其在微分学的知识上，我知道了微积分的理论展开顺序与历史展开顺序是有联系与区别的。
对此，我将浅谈一下我的认识。
一、微积分的历史展开顺序
1.微积分的创立
解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。
微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。
我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。
在古代，刘徽撰写的《九章算术·商功》中提到：“斜解立方，得两壍堵。
斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。
”他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出"幂势既同则积不容异"，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。
祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
卡瓦列利运用祖暅原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是现行中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。
在现代，1638年伽利略《关于两门新科学的对话》中，他建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45°时达到，等待。
伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。
德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》论述了圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。
他的方法要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲变形的面积及旋转体的体积。
解析几何的创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。
笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法。
就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数方法。
1666年10月，牛顿著作了《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。
但是《流数简论》在许多方面是不成熟的，牛顿经过研究后加以改正，最后牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出现的力学著作《自然哲学的数学原理》。
2．微积分的发展
微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。
在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
在从17世纪到18世纪的过渡时期，雅各布伯努利和约翰伯努利推广了莱布尼茨的学说。
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的，他在1748年出版的《无限小分析引论》以及他随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。
这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的
大量创造，同时引进了一批标准的符号，对分析表述的规范化起了重要作用。
18世纪推进微积分及其应用贡献卓越的数学家中还有克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。
他们虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没。
3.微积分的严格化
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
这方面的先声来自捷克学者波尔察诺，他在1817年发表了《纯粹分析证明》，以证明连续函数的中值定理为目的，其中包含了对函数连续性、导数等概念的合适定义，但波尔察诺的工作长期湮没无闻。
19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西。
柯西有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的。
在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》和《无限小计算教程概论》，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。
二、微积分的理论展开顺序
在我们的实际学习中，微积分的理论展开顺序是：集合论、实数论或函数（变量对应关系说）、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数微分（中值定理）、积分、级数、多元积分。
而在我们所学的数学分析中的顺序是：实数集与函数、数列极限、函数极限、函数连续性、导数与微分、实数的完备性、一元函数积分、级数、多元函数微分、多元函数积分。
我们所学习的微积分是循序渐进的，就如我们学会了数列的极限就可以推广到函数的极限，学会了一元函数的微分或积分就可以推广至多元函数的微分或积分，函数极限定义了函数的连续性、可导、可微性就可以在此基础上提出了不定积分与定积分的概念等。
三、两者展开顺序的联系与区别
1.联系
我们的学习是以学习间接经验为主，以直接经验为基础。
我们学习微分就是学习数学家们得出的理论，而微分的理论展开顺序也需要微分的历史展开顺序做指导。
2.区别
我们所学习的理论和历史上微分发展的理论顺序是相反的。
历史中的理论发现是因为发现了问题需要被解决所以才开始研究微分，但是在解决这个问题时又产生了许多新的问题，所以有开始对新的问题开始研究，在不断重复的过程中，一点一点的探索出了微积分。
就例如我们要求一个曲线的弧长，在我们的理论展开顺序中我们可以用曲线积分做，而解决曲线积分的问题中需要将曲线积分转化为定积分或二重积分的形式而且还需要微分的知识，这些知识在我们学习理论知识的过程中就已经学习了，然而在历史的顺序中要求一个曲线的弧长，科学家们会进行探索，在历尽了千辛万苦的研究中终于发现了曲线积分但是不会求解，就只能接着探索，慢慢就发现了定积分、不定积分和微分等知识。
在我看来，我们的微分理论展开顺序相对于微分历史展开顺序有好有坏。
优点是在我们的理论学习中微分的学习是有简单到复杂的，这让我们的学习可以轻松不少。
所学的内容就如上述所说的
一样学习的微积分是循序渐进的，我们学会了数列的极限就可以推广到函数的极限，学会了一元函数的微分或积分就可以推广至多元函数的微分或积分，函数极限定义了函数的连续性、可导、可微性就可以在此基础上提出了不定积分与定积分的概念。
缺点是我们的微积分理论展开顺序忽略了历史的科学家所研究的问题，我们在开始学习时大多数都是在迷茫的状态，我们不知道我们学习的这些内容能干什么，直到学到后面才恍然大悟，原来我们之前学习的内容是解决这个问题的。
就如刚才所说求曲线弧度时，在之前都不知道学微分积分能干什么。
而且我们学习理论知识时，忽略了对数学史的介绍，只注重于学习理论。
就如老师说的学习语文时还要对作者加以介绍，学习数学时我们只需要学习理论，就像是柯西准则、泰勒公式、拉格朗日中值定理等我们只知其名不认其人，这也会缺乏数学学习的乐趣。