微积分的发展史对新课标导数教学的启示

微积分的发展史对新课标导数教学的启示

台山培英中学黄辉胜

【内容摘要】一般地，导数概念的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数，但对于高中的学生来说，极限是非常抽象和不容易理解的，而新课标导数教学并没有介绍形式化的极限定义，改从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。本文就是从微积分的发展史来弄清为什么可以这样引入导数的概念。

【关键词】流数；变化率；瞬时变化率；导数

一般地，导数概念的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数。这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。而新课标导数概念是怎样讲呢？教科书（人教版）没有介绍形式化的极限定义及相关知识。而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。这种概念建立方式当然就没有严密的逻辑性和系统性了，有这种必要吗？笔者从微积分的发展史找到答案。

一、微积分的发展史简介

众所周知，微积分是由伊萨克·牛顿（Isac Newton，1643－1727）与戈特弗里·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm，1646－1716）分别通过研究不同的问题而创立的。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部着作引导牛顿走上了创立微积分之路。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。而莱布尼茨与牛顿的切入点不同，他创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求

切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号dx，dy以及函数和、差、积、商、乘幂

与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的

互逆关系，包含积分符号 并给出了摆线方程：

只是莱布尼茨对微积分学基础——无穷小量上的解释和牛顿一样也是含混不清的，这引起了所谓第二次数学危机。而为了解决这次数学危机才有极限这个概念。由此可见，传统的导数教学只是按“公理演绎法”的形式来铺陈数学，即只讲述逻辑演绎系统，亡象而存玄珠，按“公理、定义、定理、证明”四部曲，干净利落地呈现。但是，对于提问题的艺术，一个概念的形成，一个公式、定理的发现，乃至一个理论的创造与生长过程，这些更有趣部分，几乎都不谈。换言之，将完整的探索过程去头砍尾，即去掉人文与历史土壤，再砍掉品味与欣赏，结果造成数学的无趣与面目可憎，迫使学生为了“分数”或“升学”而走上痛苦之“背记”道路，美其名是为了逻辑的严谨，如此所付出的代价实在太大了——全盘皆输！

二、新课标导数教学的处理

反观新课标的导数的教学，没有介绍形式化的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。在一系列问题的引导下，学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，从代数和几何两个方面理解导数的含义，一方面，通过去瞬时速度方法而引入导数的概念，这是牛顿创立导数的基础，另一方面，再讲清导数的几何意义——导数是曲线上某点处切线的斜率，这是莱布尼茨创立导数基础。这样一来，根据德国生物学家海克尔（E.Haeckel,1834~1919）说法：“个体的发生史重复种系的发生史。”类推应用到学习上，这意指

一个人要学习一门学问，重走一趟该门学问的发展过程，是比较容易且自然的一条道路。其一，体现数学是自然的，不是强加给人的这一根本思想，避免学生认识水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力用于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观理解，很自然使学生想到所谓第二次数学危机问题，让学生体验历史上发现微积分的过程，激发学生学习的兴趣，知道极限概念的必要性，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。老实说，我们在以前的传统的教育下，在学习完微积分都感觉不到严格的极限定义的必要性，反而陷入极限定义的漩涡中，弄得晕头转向，但在新课标导数教学方法下，我们将很自然明白为什么需要这样。

三、导数教学体会

（1）由气球膨胀率与高台跳水两个例子引入变化率问题，进一步引出平均变化率过程，使学生达到牛顿和莱布尼兹创立微积分的基础。

（2）由高台跳水的数学模型很自然得出我们要关心运动员某一时刻的速度——瞬时速度，公式t

h ∆∆定义了运动员在一段时间内的平均速度，它粗略地描述了这段时间内运动员运动的快慢。可以想象，如果||t ∆非常非常小，t

h ∆∆就可以近似地反映t 时刻的瞬时速度。一个自然的想法是，选取一个时刻，如t ＝2秒，在具体数值计算基础上，细致地观察它附近的变化情况。确定思路

t ∆趋近于0时，平均速度v 趋向于一个定值，自然地，这个定值就是t ＝2秒时的瞬时速度。最后出于表述的方便，用简洁的符号表示上述思想，即用“0lim →∆t ”代替“当t ∆趋近于0，t h t h ∆-∆+)2()2(趋于的定值”。于是，t ＝2秒时的瞬时速度可以简洁地表示为

2秒时的瞬时速度＝t

h t h t ∆-∆+→∆)2()2(lim 0＝－13.1 这一点避免提出复杂的极限定义，其实牛顿与莱布尼兹时代也是这样来理解啊！所以使学生感到非常自然，我们为什么讲导数非要讲极限的定义不可呢？这是一个从近似到准确，量变到质变的过程。

（3）通过探究1：运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎样表示？使求瞬时速度的方法更具一般性。通过探究2：函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率怎样表示？进一步舍弃高台跳水的物理意义，完全抽象为数学问题。