电子科技大学大学微积分上册总复习ppt课件
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微积分课件-复习必备
经济应用
总结词
微积分在经济领域也有着广泛的应用，包括金融、生产 和市场分析等领域。
详细描述
金融学中，微积分用于研究资产价格、投资组合和风险 管理等，例如期权定价、资本资产定价模型和风险中性 定价等。生产领域中，微积分用于研究生产成本、生产 效率和生产优化等，例如生产函数、成本函数和利润函 数等。市场分析中，微积分用于研究市场需求、市场结 构和市场预测等，例如需求函数、供给函数和弹性分析 等。
极限概念
01
02
03
极限定义
极限是描述函数在某一点 的变化趋势的数学工具， 定义为“lim x→x0 f(x) = L”。
单侧极限
函数在某一点的左侧或右 侧的变化趋势，分别称为 左极限和右极限。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局 部保号性等，这些性质在 研究函数的单调性、极值 等特性时非常重要。
导数概念
合运算问题。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的重要方 法之一，通过求导数来简化极
限的计算。
极限题型
01
02
03
04
极限定义
极限是微积分中的基本概念， 通过理解极限的定义和性质，
可以解决各种极限题型。
无穷小与无穷大
掌握无穷小与无穷大的概念和 性质，有助于解决极限问题中 的无穷比值和无穷增量问题。
极限的四则运算
不定积分与定积分的性质
不定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
积分的区间可加性
比较定理
《微积分总复习》PPT课件
20 求f (x)在分界点的极限值或判断它不存在;
30
极限 lim x x0
f
( x)存在时,比较极限值与函数值f
(x0 ).
2021/4/26
10
间断点分类总结
第一类间断点：x0 是 f x 的间断点,且在点x0 处f x 的
左 、 右 极 限 都 存 在.
第二类间断点：不是第一类的其它间断点.
14
dy f (x)dx.
复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法：
(1)利用微分的定义 dy f '(x)dx,先求f (x),再乘以dx.
(2)利用微分形式的不变性
2021/4/26
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隐函数的微分
例 y tan(x y) 求dy.
解法I 第一步，两边求微分， dy sec2 (x y)(dx dy) 第二步，解出dy，
x0 x
反 三 角 函 数 的0 型 极 限 0
定理 设x x 时，, , , 为无穷小量，
0
1
1
1, 1,
若极限
lim
1
存在，则有
lim
lim
1
.
xx0 1
xx0
xx0 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
可以求 1 型极限
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9
连续
连续的实质是
lim
xx0
则
b
a f (x)dx F(b) F(a).
b f (x)dx
a
f
(x)dx
b a
F(x)
b a
F(b)
F(a).
1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本公式与积分的性质来计算积分的方法
大学微积分总复习课件.ppt
函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
闭区间上连续函数的性质
定理1(最值和有界性定理) 在闭区间上 连续的函数一定有最大值和最小值.
故该函数在闭区间内一定是有界函数.
y log a x a y x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4. 三角函数 正弦函数y sin x (注意：x用弧度表示)
y sin x
o
余弦函数 y cos x
o
y cos x
正切函数 y tan x
余切函数 y cot x
正割函数 y sec x
1
20 lim (1 f (x)) f (x) e. 某过程
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
2
n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、 对、幂、指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
函数连续点的等价定义
f ( x)在x0连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim [
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
电子科技大学,微积分,数学,定积分00824-PPT文档资料23页
引力 Fkam2 dyy2,
水平方向的分力元素
amdy
dFx k(a2y2)23 ,
Fx 2l2l k(aa2m yd2)y23
2km l 1 ,
a(4a2 l2)2
由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.
例 6 一半径为R、 中心角为的圆弧形细棒,
§3.9 定积分的物理应用
一、变力作功问题
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程
中有一个不变的力 F作用在这物体上，且这
力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离
S
时，力F对物体所作的功
为
WF S
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
m Rd dF k R 2 ,
其中Rd是小圆弧的长，
而 R d 是 它 的 质 量 .
由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力
向两坐标轴作分解。由对称性，整个引力在y轴方向
上的分力为零。该小段圆弧
对质点P的引力在x轴方向上
的分力即引力微元为：
dF xdFcos.
因此，整个引力在x轴方向的分力为：
设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移 的连续函数F(x)，其中x 是质点的坐标，在力的
作用下，质点从点a移至点b，求力F(x)所作的功.
F（x）
o
a
x x+dx
b
x
分析：用微元法，在[a,b]上任一个小区间[x, x+dx],
对于小区间[x, x+dx]，可近似地视该 小段上的质点 位移受力不变，都是F(x). 于是功微元为：
大学课程《微积分》PPT课件：微积分6章4节
2z x 2
x
2
x
z
(2 z) (x
xzx z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3
例 3 求由方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
所确定的函数 z 的偏导数。
解：由
F x
2x a2
,
F y
2y b2
,
F 2z z c2
得到：
z x
2x a2
2z c2
c2x a2z
,
2、复合函数的中间变量为多元函数的情形 设 z f (u,v), u u(x, y), v v(x, y) 构成复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)],
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
(5.3) (5.4)
3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形
z f (x, y) 的偏导数
和 z
z .
x
y
例16（讲义例9）设
x2 y2 z2 4z 0,
求 2z x2
.
例17 设 z f (x y z, xyz),
求 z , x , y . x y z
例18 设方程 x y z ez
确定了隐函数
求 z z(x, y),
2z 2z 2z , ,.
x 2 xy y 2
课堂练习 1.设 w f (x xy xyz),
求 w , w , w . x y z
2.设 u sin x F(sin y sin x), 其中F是可微函数, 证明
3.设
x z
y z
,
其中
为可微函数, 求
x z y z x y
电子科技大学微积分上册复习1.1精品PPT课件
重要定理与公式
定理1 lim f x A lim f x lim f x A
x x0
x x
0
x x
0
定理2 lim f x A f x A x , x x0
其中 lim x 0 x x0
定理3 保号性定理 若 lim f x A, A 0 A 0 x x0
所以数列 xn 单调增加, 又单调有界定理知
lim
n
xn存在.
设 lim n
xn =a, 在xn1
xn 3 xn 边取极限,得
a
a3
a
a
0或a
3 2
,故 lim n
xn
3 2
2021/2/21
7.设 xn满足 0 x1 , xn1 sin xn (n N )
1
(1)
证明
lim
n
xn
2021/2/21
0 xn1 1 ,
(2) 由(1)得
lim
n
xn
0，
1
lim n
xn1 xn
xn2
lim n
(1 ) 1
sin xn xn
xn2
xn x
1
lim
x0
sin x
x
x
2
1
lim
x0
1
sin
x x
x
x2
sin x x
exp[lim x0
x3
2
1
lim 1 x x 1
x0 x
x0
1 lim sin x 1 该极限的特点 :
x0 x
a. 0 型未定式; 0
b. sin 2021/2/21 与分数线另一侧的变量 形式一致.
《微积分上复习》PPT课件_OK
9
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(2)复合函数求导——链式法则
dy dy du 或 f [( x)] f [( x)]( x)
dx du dx
(复合函数) 外层函数的导数(内层函数)
(3)隐函数求导法
方程两边同时对 x 求导,再解以y'为未知数的方程.
(4)对数求导法
先方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
（3）无穷小与无穷大关系
limy
1 lim
0
y
limy 0( y 0) lim1 y
20微21/8/积21 分（上）
4
5/58
3.连续函数的概念
(1)函数连续 lim y 0,
x0
同步练习P4
函数连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
一、29
(极限计算代入法的理论基础)
(2)闭区间连续函数的性质
x f 1( y) y f 1( x) 在反函数。
4.经济函数 成本函数、收益函数、利润函数
20微21/8/积21 分（上）
2
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第二章 极限与连续 1.极限存在的充要条件
(1) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
(2) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
(3) f ( x0 )表示曲线y f ( x)在点( x0, f ( x0 ))处的切线的斜率.
切线方程：
y
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
同步练习P7 一、23
2.导数的计算
(1)求导公式及四则运算法则
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fx 0 fx 0 x fx 0 fx 0 x d x 0 f
或 f x 0 x f x 0 f x 0 x f x 0 d x 0
.
15
第三章 中值定理和导数的应用
Cauchy 中值定理
F(x)x
洛必达法则
型 f g
Lagrange 中值定理
f(a)f(b)
高等数学第一册 期末总复习
电子科技大学应用数学学院
.
1
1、两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
应 : l用 im siu (n x ) 1 . u (x ) 0u (x )
(2) li(m 11)xe x x
u (x ) 0
1
lim (1x)x e
x0
1
应用 : lim(1u(x))u(x) e
.
14
5. 应用
， 1 导 f x 是 数 y f 函 x 变 y 关 数 量 于 x 的自
在几何 yf上 x的 是 切 曲 。线 线 斜率
2 st是直线运动的，位 则 s移 t 函 vt数 是它
速度 ，而 函 vt 数 stat是它的 。加
3 近似:计算fx在 x0点可 , 导
则有
： f x 可 f x 导 f x
2 . 微 若 y f ( x 0 分 x ) f ( x 0 ) A x o ( x )
， 则 y 称 f ( x ) 在 x 0 函 可 点 记 d 数 微 x x y 0 A x
.
11
定理
函f数 (x)在x点 0可微的充要条 f(x)件 在 x 0 处 点 ,且 可 A f( x 0 ) 导 .
函f(数 x)在 x0处连 是 续函 f(x)在 数 x0处 既左连续 . 又右连续
定理 初等函数在其定义区间内都是连续的.
.
5
3、间断点的分类
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y
o
x0
y
o
.
跳跃型 x
x 振荡型
6
三 闭区间上连续 函数的性质
定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上的连续函数
由： 方 F x ,程 y0求导 d d,x d y d数 22 yx
两边 x求 对 ,解 导d d出 ,x yd d22 y x.
.
13
(2)参数函数求导法则
xt yt
yy(x)
dy (t) dx (t)
dd2x2yddt(((tt)))
dt dx
(t)(t)(t)(t). 3(t)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的 泰勒公式
.
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
导数的应用 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
16
1、中值定理
， (1)费马(Fermat)引理
在 U x 0 , 上 若 f x f x 0 或 f x f x 0 , fx0存，在 则 fx 0 0
~ c ~ c
常用的等价无穷小替换
sin x
arcsin x
tan x
arctan x
ex 1
ln1
x
~ x x 0
x2 1cosx ~
2
(1x)1~x
.
4
二 函数的连续性 1、连续的定义
lim f(x)f(x0)
x x0
2、单侧连续
左连 x l x i0 m f( 续 x )f(x 0 )f(x 0 ) 右连 x l x i0 m f( 续 x )f(x 0 )f(x 0 )
u(x)0
.
2
等价无穷小替换
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
应用 (如果下列各极限存在)
1.若 ~,
则
li m l i m 或li m li m
.
3
2 .若 lim c 0
则 li m li c m或 li m l i c m
C yf(x)
o a 1
.
2 b x
18
(3)、拉格朗日中值定理
如果函数 f ( ຫໍສະໝຸດ )(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b)内可导,
那末在(a, b)内至少有一点(a b)，
fx00
x0
.
17
(2)、罗尔中值定理 如果函数 f ( x)
(1)在闭区间[a, b]上连续, (2)在开区间(a, b)内可导, (3)在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),
那末在(a, b)内至少有一点(a b),
使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
y
即 f '() 0
d yf(x)dx
充分必要关系：
函 f x 可 数 可 微 连 导 有 续 极
.
12
3. 高阶导数
函数 f(x)的n阶导数 dn df(n xx)f(n)(x)dd (fnx 1)
x,ax,sinx,coxs,lnx,1 的n阶导数公式
x
uxvxn 的莱布尼兹公式
4.(1)隐函数求导法则
在a, b内至少存在一点，
使得
f ( ) C (a b).
y
M
yf(x)
C
a
o
x1 1 2 3 x2 b
x
m.
9
第二章 导数与微分
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dyyx
求导法则
.
10
1 . fx x l i0 m fx x x fx 左 f 导 x x l i 数 0 m fx x x fx 右 f 导 x x l i 数 0 m fx x x fx
即至少有一点(实根) (a b)，使得 f () 0.
y ao
yf(x) 1 2 3
bx
.
8
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b 上连续，
并且不是常数, 函数的最大最小值分别为:
maf(xx)M ,
axb
mifn(x)m,
axb
那末，对于m 与M 之间的任意一个数 C ，
一定有最大值和最小值. f(x 1 ) mf im n f(x 2 ) mf a M x
y
M
yf(x)
a
o
x1
m
x2 b x
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
.
7
定理 2 (零点定理)
且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0),
那么在开区间a,b内至少有函数 f (x)的一个零点,