测试技术与信号分析第二章
机械工程测试技术第二章信号分析基础习题
第二章 信号分析基础（一）填空题1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是 ，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、 信号的时域描述，以 为独立变量；而信号的频域描述，以 为独立变量。
3、 周期信号的频谱具有三个特点： ， ， 。
4、 非周期信号包括 信号和 信号。
5、 描述随机信号的时域特征参数有 、 、 。
6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 对称，虚频谱（相频谱）总是 对称。
7、信号x(t)的均值μx 表示信号的 分量，方差2x σ描述信号的 。
7、 当延时τ＝0时，信号的自相关函数R x (0)= 均方值 ，且为R x (τ)的 最大 值。
9、 周期信号的自相关函数是 周期信号，但不具备原信号的 信息。
10、 为了识别信号类型，常用的信号分析方法有 概率密度函数 、和 自相关函数 。
11、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有 傅立叶变换法 、 和 滤波器法12、 设某一信号的自相关函数为)cos(ωτA ，则该信号的均方值为2x ψ= ，均方根值为x rms = 。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（√）p39-402、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（ √ ）3、 非周期信号的频谱一定是连续的。
（ ×）(离散傅立叶变换）4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（×）5、 随机信号的频域描述为功率谱。
（√）6、 互相关函数是偶实函数。
（ × ）（三）单项选择题1、下列信号中功率信号是（ B ）。
A.指数衰减信号B.正弦信号、C.三角脉冲信号D.矩形脉冲信号2、周期信号x(t) = sin(t/3)的周期为（B ）。
A. 2π/3B. 6πC. π/3D. 2π3、下列信号中周期函数信号是（C ）。
A.指数衰减信号B.随机信号C.余弦信号、D.三角脉冲信号4、设信号的自相关函数为脉冲函数，则自功率谱密度函数必为（D ）。
现代测试技术习题解答 第二章 信号的描述与分析 - 副本
所以
所以x(t+)=y(t++T)
令t1=t++T，代入上式得
x(t1- T)=y(t1)，即y(t) =x(t- T)
结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。
2-12已知信号的自相关函数为Acos，请确定该信号的均方值x2和均方根值xrms。
解：Rx()=Acos
根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果 ，则 。
所以
解法3：直接按Rxy()定义式计算(参看下图)。
参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数
2-11某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx()和输入—输出的互相关函数Rx()之间的关系为Rx()=Rxy(+T)，试说明该系统起什么作用？
2- 19假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为x(t)=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)求该信号的自相关函数。
解：设x1(t)=A1cos(1t+1)；x2(t)=A2cos(2t+2)，则
因为12，所以 ， 。又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以
x2=Rx(0)=A
2-13已知某信号的自相关函数，求均方值、和均方根值 。
2-14已知某信号的自相关函数，求信号的均值 、均方根值、功率谱。
2-15已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。
解：采样序列x(n)
2-18对三个正弦信号x1(t)=cos2t、x2(t)=cos6t、x3(t)=cos10t进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。
机械工程测试原理与技术课后习题答案(第2版)
重大或者西华大学《测试技术与信号分析》习题与题解适用专业: 机械类、自动化课程代码:学时: 42-48编写单位:机械工程与自动化学院编写人:余愚审核人:审批人:第二章 习题解答2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2．信号分类的方法有哪些？2-3．求正弦信号()t A t x ωsin =的均方值2x ψ。
解：()24sin 4222cos 12sin 2sin 11222022022022022A T T A T dt t A T tdt A T dtt A T dt t x T T T T T x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-====⎰⎰⎰⎰ωωωωωψ也可先求概率密度函数：221)(xA t p -=π则：⎰∞∞-==2)(222A dx x p x xψ。
2-4．求正弦信号())sin(ϕω+=t A t x的概率密度函数p(x)。
解： 2221)(111,arcsinxA Ax A dx dt A x t -=-=-=ωωϕω代入概率密度函数公式得：22222200122221lim 1lim )(x A xA x A T Tdt dx T t x x p x x -=-=-=⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆=∑→∆→∆πωπωω2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可表示为⎩⎨⎧<<≤=21)(11T t T T t t x该信号基本周期为T ，基频ω0=2π/T ，对信号进行傅里叶复指数展开。
由于x (t )关于t =0对称，我们可以方便地选取-T /2≤t ≤T /2作为计算区间。
计算各傅里叶序列系数c n 当n =0时，常值分量c 0：TT dt T a c T T 1002111===⎰- txT 1-T 1T-T当n ≠0时，110110011T T tjn T T t jn n e Tjn dt e Tc -----==⎰ωωω最后可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-j e e T n c t jn t jn n 22000ωωω注意上式中的括号中的项即sin (n ω0 T 1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数c n 可表示为0)(sin 2)sin(210010≠==n T n c TT n T n c n ，ωπωω其幅值谱为：)(sin 211T n c TT c o n ω=，相位谱为：ππϕ-=,,0n 。
测试技术与信号分析第二章
时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决定. 对线性时不变系统（线性定常系统）进行分析的理论和方法 最为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近似作 为线性定常系统来处理。一般的测试系统都可视为线性定常 系统，即可以用常微分方程描述的系统。 由于构成系统的材料、元件等的特性受环境温度，湿度等因 素的影响而缓慢变化，导致微分方程系数发生时变。工程上， 在保证精度的情况下，常认为是常系数的。常系数线性系统 称为时不变线性系统。
第二章
测试装置的基本特性
知识要点及要求： 1、掌握线性系统及其主要特性。 2、掌握测试装置的动态特性及静态特性。 3、掌握一、二阶测试装置的频率响应特性。 4、掌握测试装置的不失真测试条件 。 重点内容： 1、测试装置的基本要求 ；2、线性系统及其主要性 质 ；3、测试装置的静态特性；4、测试装置的动态 特性；5、测试装置对任意输入的响应；6、不失真 测试的条件；7、测试装置的典型环节传递函数。
①只能在较小工作范围内和在一定误差允许 范围内满足线性要求。 ②很多物理系统是时变的。在工程上，常可 以以足够的精确度认为系统中的参数是时 不变的常数。
上 目 页 录
测试系统的广义数学模型
测试系统的数学模型是根据相应的物理定律（如牛顿定律、 能量守恒定律、基尔霍夫电路定律等）而得出的一组将输入 和输出联系起来的数学方程式。 常系数线性微分方程(General Differential equation)
2)比例性
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的 常数倍，即: 若 x(t) → y(t) 则 kx(t) → ky(t)
测试技术与信号分析
x(t ) dt
T 2 0 x
k阶矩： k阶中心矩：
1 mk lim T T
1 lim T T
T
0
x k (t )dt
mk 0
x(t ) x k dt 0
T
其中二阶矩就是均方值，二阶中心矩就是 方差； 三阶矩称为偏斜度，四阶矩称为峭度，定 量确定了信号偏离正态分布的程度。
5. 物理可实现信号 在t<0时，x(t)=0，即在时刻小于零的 一侧信号为零，信号完全由时刻大于零的 一侧决定。
四、信号分析中的常用函数（信号） 1. 抽样信号 抽样信号的表达式为 sin t Sa (t ) t 其图形如右图所示。 Sa(t)函数有以下性质： 0 Sa(t )dt 2
二、测试系统的静态特性 在静态测试中，输入和输出不随时间 而变化，因而输入和输出的各阶导数等于 零，上式变成： b0 y x a0 在这种关系的基础上所确定的测试装 置的性能参数，统称为静态特性。这些参 数主要有：直线性、灵敏度、滞后量。
1. 直线性 定标曲线：在静态测量中，测量装置输入 和输出之间的关系曲线称为定标曲线。
1. 确定性信号和随机信号 确定性信号：可以用明确的数学关系式描述的信 号。或者，在相同实验条件下，能够重复实现的 信号。 随机信号：不能用确切的数学函数描述的信号。 或者，在相同实验条件下，不能重复实现的信号。
周期信号
确定性信号
非周期信号 信号
不确定性信号
（随机信号）
平稳随机信号 非平稳随机信号
Rx ( ) Rh ( ) Rn ( )
(7)周期信号的自相关函数仍然是同频率的 周期信号，但不具有原信号的相位信息。
自相关函数的应用 (1)检测淹没在随机噪声中的周期信号； (2)检测信号的回声。
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
Page 2 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 25 华中科技大学机械学院
吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 26 华中科技大学机械学院
N=1
2.5 信号的频域分析
Page 27 华中科技大学机械学院
用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
Page 9 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
现代测试技术习题解答第二章信号的描述与分析副本
第二章 信号的描述与分析补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2x ψ和概率密度函数p (x )。
解答： (1)00011lim ()d sin()d 0TT x T μx t t x ωt φt TT →∞==+=⎰⎰，式中02πT ω=—正弦信号周期(2)2222220000111cos 2()lim()d sin ()d d 22TT T xT x x ωt φψx t t x ωt φt t TT T →∞-+==+==⎰⎰⎰(3)在一个周期内012ΔΔ2Δx T t t t =+=0002Δ[()Δ]limx x T T T tP x x t x x T T T →∞<≤+===22Δ0Δ0000[()Δ]2Δ2d ()limlim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x πx x →→<≤+====-x (t )正弦信号xx +ΔxΔtΔtt2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。
2-1 求图示所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。
2-4周期性三角波信号如图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。
2-1 求图示所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。
补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
解答：在一个周期的表达式为00 (0)2() (0)2T A t x t T A t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩积分区间取（-T/2，T/2）00000002202002111()d =d +d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )T T jn tjn tjn t T T n c x t et Aet Ae tT T T Ajn n n ωωωππ-----=-±±±⎰⎰⎰所以复指数函数形式的傅里叶级数为001()(1cos )jn tjn t n n n Ax t c ejn e n∞∞=-∞=-∞==--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±。
第二章测试信号分析与处理(中)相关性分析
1 T
ò0T
x(t )
y(t
+t
)dt
分 析
=
lim
T ®¥
1 T
ò0T
x(t
-t
)
y(t)dt
及
= Ryx (-t )
应 用
互相关函数非奇非偶
测试 技术
相 对x(t) = X 0 sin(w1t + q1)和y(t) = Y0 sin(w2t + q2 )求Rxy (t )
关
分 析
Rxy
(t
)
=
1 T
分 器
用
测试 技术
3自相关分析
相
如y(t)=x(t), 可得自相关系数rx (t ) ，并有：
关 分 析
lim 1
ò T ®¥ T
T
0 [( x(t )-mx )( x(t +t )-mx )]dt
r (t ) = x
s
2 x
及 应 用
lim 1
ò T ®¥ T
T 0
x
(t
)
x
(t
+t
)
dt
-
mx2
析
及 应
Sy ( jf ) = H ( jf ) 2 Sx ( jf )
用
自谱分析可得系统幅频特性，缺相频特性
测试 技术
2、互谱
功 率
定义
谱
分 析
ò Sxy ( jf ) =
¥ -¥
Rxy
(t
)e
-
j
2p
f
t
dt
及 应 用
ò Rxy (t ) =
¥ -¥
S xy
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①只能在较小工作范围内和在一定误差允许 范围内满足线性要求。 ②很多物理系统是时变的。在工程上，常可 以以足够的精确度认为系统中的参数是时 不变的常数。
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测试系统的广义数学模型
测试系统的数学模型是根据相应的物理定律（如牛顿定律、 能量守恒定律、基尔霍夫电路定律等）而得出的一组将输入 和输出联系起来的数学方程式。 常系数线性微分方程(General Differential equation)
上 目
页 录
§3 测试系统的动态特性
在工程测试中，大量的被测信号都是随时间变 化的动态信号，测试系统的动态特性反应其测量动 态信号的能力。对于测试系统，要求能迅速而准确 地测出信号的大小并真实地再现信号的波形变化， 即要求测试系统在输入量改变时，其输出量也能立 即随之不失真地改变。 实际测试系统中，总是存在诸如弹簧、质量(惯 性)和阻尼等元件，因此输出量y(t)不仅与输入量x(t) 、输入量的变化速度以及加速度有关，而且还受系 统的质量、阻尼的影响。 例1：水银体温计 测试系统对输入的时间响应
一个复杂测试系统认识
轴承缺陷检测
加速度计
带通滤波器
包络检波器
一、对测试装置的基本要求
通常的工程测试问题总是处理输入量x(t)、装置（系统）的传 输特性h(t)和输出量y(t)三者之间的关系。如图：
1）如果x(t)、y(t)可以观察(已知)，则可推断h(t)。 2）如果h(t)已知，y(t)可测，则可推断x(t)。 3）如果x(t)和h(t)已知，则可推断和估计y(t)。
对于理想的定常线性系统，灵敏度应当是：
但是，一般的测试装置总不是理想定常线性系统，即校准 线为曲线，用拟合直线的斜率来作为该装置的灵敏度。 灵敏度有量纲，其单位取决于输入、输出量的单位。若二 者单位相同，则称之为“放大比”或者“放大倍数”。
目 录 上 页
通常，把引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的 最小被测量变化值称为鉴别力阈（也称为灵敏阈或灵 敏限）。 它用来描述装置对输入微小变化的响应能力。
2)比例性
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的 常数倍，即: 若 x(t) → y(t) 则 kx(t) → ky(t)
3)微分性
系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微 分，即 若 x(t) → y(t) 上 页 则 x'(t) → y'(t)
4）积分特性 如系统的初始状态均为零，则系统对输
目 录
（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数
定常线性系统在简谐信号的激励下，系统的频率特性： 称为频率响应函数
幅频特性：稳态输出信号和输入信号的幅值比。记为A(ω)。
相频特性：稳态输出对输入的相位差。记为
。
上 目
页 录
（二）频率响应函数的求法
1）在系统的传递函数已知的情况下，令H(s)中s=jω便可求得。 2）通过实验来求得。 实验求得频率响应函数的原理：
录
四、稳定度和漂移
稳定度是指测量装置在规定条件下保持其测量特性恒定不
变的能力。 通常在不指明影响量时，稳定度指装置不受时间变化影响的 能力。
漂移是指测量特性随时间的慢变化。
测量装置的输出不仅取决于输入量， 还取决于环境的影响。环境温度、 大气压力、相对湿度以及电源电 压等都可能对测量装置的输出造 成影响。环境变化将或多或少地影 响装置的某些静态特性参数。 恒定输入在规定时间内的输出变化 称为点漂；标称范围最低点的点漂，称为零漂。
4）H(s)不仅可理论计算求得而且可由试验方法求得。
5）H(s)中的分母取决于系统结构
上
目
页
录
二、频率响应函数(频率域描述)
频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。
实际工程应用中，某些系统难以建立相应的微分方程 和传递函数，传递函数本身的物理解释也不明确。与传递 函数相比，频率响应函数的物理概念明确，容易通过实验 来建立；由频率响应函数和传递函数的关系，可方便地得 到传递函数。因此频率响应函数成为实验研究测试系统的 重要工具。 由频率保持性，简谐输入得到简谐输出，频率相同而幅 值不同，其幅值比A＝Y0/X0是频率ω 的函数记为A(ω )， 定义为幅频特性；相位差也是ω 的函数,记为 ，定义 上 页 为相频特性。统称系统的频率特性。
如余弦信号通 过非线性系统 （二极管）， 则输出被整流 ，其频率成分 被改变。
输出信号
非线性系 统特性
频率特性
输入信号
相关术语以及测试装置特性
相关术语： 测试与测量 准确度 常用示值绝对误差与引用值之比来分级 量程(示值范围—标示)与测量范围(应用) 信噪比：信号功率与干扰功率之比，单位dB 测试装置的特性：对测试系统的性能要求—两个方面 1、静态特性：简单测量，仅需利用静态条件下的指标 考察 2、动态特性：用于动态测量。需要综合静、动态两方 面性能来考察。两方面相互影响，处理方法差异大。
第二章
测试装置的基本特性
§1 概述 §2 测试装置的静态特性 §3 测试装置动态特性的数学描述
§4 测试装置对任意输入的响应
§5 实现不失真测试的条件
§6 测试装置动态特性的测试
返 回
§1
概
述
一、对测试装置的基本要求 二、线性系统及其主要性质
目
录
§2 测试装置的静态特性
一、线性度
二、灵敏度、鉴别力阈、分辨力
任何一个具体的输入量和输出量之间的关系都可以写成下列数 学形式：
• y：输出量；x：输入量；t：时间 • 系统的阶次由输出量最高微分阶次n决定。 一般在工程中使用的测试装置都是线性系统。
上 目 页 录
系统模型的划分
线性系统与非线性系统 线性系统:具有叠加性、比例性的系统 连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统:输入、输出均为连续函数.描述系统特征的为微分方 程. 离散时间系统:输入、输出均为离散函数.描述系统特征的为差分方 程.
时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决定. 对线性时不变系统（线性定常系统）进行分析的理论和方法 最为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近似作 为线性定常系统来处理。一般的测试系统都可视为线性定常 系统，即可以用常微分方程描述的系统。 由于构成系统的材料、元件等的特性受环境温度，湿度等因 素的影响而缓慢变化，导致微分方程系数发生时变。工程上， 在保证精度的情况下，常认为是常系数的。常系数线性系统 称为时不变线性系统。
§2
测试装置的静态特性
在静态测量中，微分方程的微分项为零，因此定常线性系统的输入-输出 微分方程式变成：
理想的定常线性系统，其输出将是 输入的单调、线性比例函数，其中 斜率S是灵敏度，应是常数。 实际的测量装置并非理想的定常线 性系统，其微分方程式的系数并 非常数。 测试装置的静态特性就是在静态测试情况下描述实际测试装置与理想定 常线性系统的接近程度。 下面来讨论一些重要的静态特性。
二、线性系统及其主要性质
如以x(t)→ y(t)表示上述系统的输入、输出的对应关 系，则时不变线性系统具有以下一些主要性质。 几个输入所产生的总输出是各个输 入所产生的输出叠加的结果。即若
1）叠加原理
则
符合叠加原理，意味着作用于线性系统的各 个输入所产生的输出是互不影响的。
上 页 目 录
在分析众多输入同时加在系统上所产生的总效果时，可 以先分别分析单个输入（假定其他输入不存在）的效果， 然后将这些紧密相邻量值的
能力。
上
页 目 录
三、回程误差
理想装置的输出、输入有完全单调的一一对应的关系。 实际装置在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小 时，对于同一输入量所得到的两个输出量却往往存在着差值。 把在全测量范围内，最大的差值称为回程误差或滞后误差。
h
上
目
页
X 0i 激励
系统
Y0i 输出
可得一
用不同频率 组 ，和
的简谐信号激励被测系统，则每个 ,全部的 和
便可表达系统的频率响应函数。
3) 也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输入x(t)和输出
y(t),由其傅立叶变换X(ω)和Y(ω)求得频率响应函数：
目 录 上 页
第二章
测试装置的基本特性
知识要点及要求： 1、掌握线性系统及其主要特性。 2、掌握测试装置的动态特性及静态特性。 3、掌握一、二阶测试装置的频率响应特性。 4、掌握测试装置的不失真测试条件 。 重点内容： 1、测试装置的基本要求 ；2、线性系统及其主要性 质 ；3、测试装置的静态特性；4、测试装置的动态 特性；5、测试装置对任意输入的响应；6、不失真 测试的条件；7、测试装置的典型环节传递函数。
h(t)
立 傅
换
立 傅
氏 变
换
叶
变
叶
换 变
氏 反
拉
变 反
拉
换
H(s)
返回
S=jω
H(ω )
上
目
页
录
一、传递函数(复数域描述)
系统的初始条件为零时，输出y(t)的拉氏变换Y(s)与输入 X(t)的拉氏变换X(s)之比H(s)就称为系统的传递函数。
初始条件为零时，输入和输出的拉氏变换定义为上边右式。 其中 称为拉氏变换算子。实际上初始条件为零时
目
录
系统分析中的三类问题： x(t)
h(t)
y(t)
1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通 过它们推断系统的传输特性。(系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，可以通 过它们推断导致该输出的输入量。 (反求)
3)如果输入和系统特性已知，则可以推断 和估计系统的输出量。(预测)
理想的测试装置应该 ①输出和输入成线性关系。即具有单值 的、确定的输入-输出关系。 ②系统为时不变线性系统。 实际的测试装置