分类讨论的数学思想方法
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法知识点导读也是科学研究中最常用、最基本的方法．数学中的分类讨论贯穿知识的各个部分，形式多样、综合性强、逻辑严谨，在解数学题中，分类讨论是一种十分常见和重要的思想方法．那么，什么是数学中的分类讨论呢？一般来说，当一个问题所给的对象不宜进行统一的研究或推理，只有按某一个标准用分组的形式才能方便地表示出来，那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)，并对其中的每一类分别进行研究，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用，它将一个数学问题化整为零，把一个复杂的问题转化为单一的问题，从而“各个击破”，最终使整个问题得以顺利解决．高中数学中经常遇到需要进行分类讨论的问题，归纳起来有以下几种常见类型：一、由数学概念引起的分类有许多数学概念本身就是分类定义的，例如数的绝对值的概念：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (当a ≥0时)－a (当a ＜0时)这样，当我们遇到求解与绝对值|a |有关的问题时，就要分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．二、由有关数学的性质、运算法则、定理、公式引起的分类如在判断两直线是否相互垂直时，要讨论其斜率是否存在；又如指数、对数函数的性质在应用时，要分别针对它们底数的取值进行讨论等．再如等比数列a, aq, aq 2, …， aq n －1，…的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q n )1－q (当q ≠1时)na (当q ＝1时)因此，遇到公比q 是字母或含字母的表达式时，就要讨论公比等于1及公比不等于1的两种情形．三、涉及有关不确定的情况时引起的分类如分段函数、图形、特殊要求等在计算或列式时需要分类讨论，一般是综合的题型．四、由参数变化而引起的分类运用分类讨论的思想解数学题时，一般分为以下四个步骤： (1) 确定讨论的对象和所要讨论对象的范围．(2) 合理分类就是将讨论对象的范围划分子区域，划分子区域时应符合以下三个条件： ① 确定分类的标准一致，不重复、不遗漏； ② 划分子区域只能按同一标准进行； ③ 区域分类应逐级进行．(3) 严格按层次逐级或逐段讨论，不能越级．(4) 归纳总结，综合出结论．其中，确定分类的标准是分类讨论的关键． 范例分类与解题分析【例1】 已知集合A ＝{1, x 2}，集合B ＝{1, 3, x }，且A B ，求x 的值．【解】 ①当x 2＝3，即x ＝±3时，A B .②当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x x ≠1即x ＝0时，A B .所以x ＝±3或x ＝0.【点评】 注意真子集概念中“B 中至少有一个元素不属于A ”，可以认为A 的元素个数至少比B 的元素个数少1个，又集合的元素具有互异性，即同一个元素在集合中只出现一次，故在第2种情形中要求x ≠1.二、根据运算的要求进行分类【例2】 解关于x 的不等式：2(a ＋1)x －2a ＞ax ＋4.【分析】 原不等式可化为(a ＋2)x ＞2(a ＋2)，因为x 的系数中含有字母a (a 称为参数)，所以应分成a ＋2＞0，a ＋2＝0，a ＋2＜0三种情况来解答．【解】 原不等式可化成(a ＋2)x ＞2(a ＋2)． ①当a ＞－2时，不等式解集为{x |x ＞2}； ②当a ＝－2时，原不等式为0·x ＞0，原不等式解集为∅； ③当a ＜－2时，不等式解集为{x |x ＜2}． 【点评】 数学中的某些运算有着严格的运算要求．如实数集中偶次根式的被开方数必须非负，方程或不等式的两边同乘(同除)的一个数不能为零，不等式两边同乘(同除)一个负数不等号要改变方向等．凡涉及到运算要求的问题，求解时应按照运算的要求进行分类讨论．三、根据定理、公式、法则的限制条件进行分类【例3】 设{a n }是以d 为公差的等差数列，求3a 1＋ 3a 2＋3a 3＋…＋3a n .【分析】 当数列为等比数列且其公比不确定时，在求前n 项和时，必须对公比是否为1分成两种情况进行讨论．【解】 设b n ＝3a n ，∵ b n ＋1b n ＝3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝3d∴ {b n }是以b 1＝3a 1为首项，以q ＝3d 为公比的等比数列 当q ＝3d ＝1，即d ＝0时， 3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1·n ，(n ∈N ＋)当q ＝3d≠1，即d ≠0时，3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1(1－3nd )1－3d，(n ∈N ＋)．【点评】 数学中的某些定理、公式、法则等均受到一些条件的限制，如复数的模为非负实数；公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中，q ≠1；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有实根的充要条件是b 2－4ac ≥0，无实根的充要条件是b 2－4ac ＜0等，在求解这类问题时，可根据相应的限制条件进行分类讨论．四、根据函数的性质进行分类【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N ＋)在区间(0, ＋∞)内是减函数，且图像关于y 轴对称，求函数解析式．【解】 由于幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，所以可得3m －7＜0.解得m ＜73.又∵ m ∈N ＋， ∴ m ＝1, 2.当m ＝1时，函数的解析式为y ＝x －4，是偶函数，其图象关于y 轴对称．当m ＝2时，函数的解析式为y ＝x －1，是奇函数，其图象关于原点对称，∴ m ＝2(舍去)．因此，所求函数的解析式为y ＝x －4.【点评】 幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，据此可定出m 的取值范围，再由m ∈N ＋及该幂函数为偶函数(图象关于y 轴对称)，进一步确定m 的值．五、根据图形相对位置的变化特征进行分类【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，写出y 与自变量x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图象．【分析】 △ ABP 的面积由于点P 的运动，函数关系式共分两个部分来求解，分别为点P 在BC 上和点P 在CD 上．【解】 当点P 由B →C 运动时，PB ＝x ，则S △ABP ＝12×AB ×PB ＝2x ，且x ∈；当点P 由C →D 运动时，S △ABP ＝12×AB ×BC ＝124×2＝4，且x ∈(2,4]．∴综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，4，x ∈x ∈(2，4]，且该函数关系式的图像如图所示．【点评】 此例的求解是根据图形的位置特征进行分类讨论的，对于这类与图形的位置特征有关的数学问题，求解时可根据图形的位置特征进行分类讨论．六、根据参数的取值进行分类【例6】 试根据k 的不同取值，讨论方程kx 2＋y 2＝1所表示的曲线形状．【分析】 根据不同曲线方程对参数的要求，可对方程中参数m 的取值进行分类，求得曲线的标准方程，从而确定出方程所表示的不同曲线．【解】 当k ＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1表示两条垂直于y 轴的直线；当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示以原点为圆心，以1为半径的圆；当k ≠0且k ≠1时，方程为x21k＋y 2＝1；当1k＞1，即0＜k ＜1时，表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0＜1k 1，即k ＞1时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当1k＜0，即k ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线． 【点评】 在讨论曲线方程时，一定要掌握不同曲线方程的特征，并按照不同曲线方程的要求进行讨论，然后从一般到特殊，进行分类讨论，可先讨论直线、圆，然后再讨论抛物线、椭圆、双曲线．【例7】 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．【分析】 因x 2的系数a 2－1可以等于0也可以不等于0，因此对a 2－1是否等于0应分类讨论．【解】 (1)若a 2－1＝0，则a ＝－1或a ＝1 因a ＝1符合题意，而a ＝－1不符合题意 ∴a ＝1；(2)若a 2－1≠0则由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0(a －1)2＋4(a 2－1)<0∴－35<a<1 综合(1)(2)得，a 的取值范围是(－35，1]．【点评】 由于参数的取值不同，问题的表述也不相同．因此只有对参数进行分类才能根据问题的不同表述分别列式求解．【举一反三】 对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，由题意得－2<0.符合题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a <0(2a )2＋4a (a ＋2)<0，解之得－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围(－1,0]．【例8】 已知函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【分析】 因a 的不同取值，对数函数y ＝log a x 在[1, 2]上的单调性不同，因此必须对a 进行分类讨论．【解】 (1)若a>1由已知得log a 2－log a 1＝2∴log a 2＝2 ∴a 2＝2 ∴a ＝2； (2)若0<a<1由已知得log a 1－log a 2＝2∴log a 12＝2 ∴a 2＝12 ∴a ＝22综合(1)(2)得a ＝2或a ＝22.【点评】 由于参数的取值不同，对数函数y ＝log a x 的单调性也不相同，因此只有对a 进行分类，才能利用函数的单调性列式求解．七、根据求解数学问题结论的多样性进行分类【例9】 根据a 的不同取值，求函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的单调区间．【分析】 f (x )可能为一次函数，也有可能为二次函数，而当f (x )为二次函数时，可根据抛物线的开口方向及对称轴的位置，讨论其单调区间．【解】 当a ＝0时，f (x )＝x ＋1，∴ f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)．当a ≠0时，f (x )为二次函数，对称轴为x ＝－12a，当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ， 当a ＜0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ，递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 【点评】 一次函数、指数函数、对数函数等在其定义域内的单调性都有两种可能性，二次函数的单调性不仅要考虑抛物线的开口方向，还要考虑对称轴的位置．综合训练1．A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，B A ，则a 的值是( )A ．－1,0, 13B ．－1, 13C ．－13，0,1D ．－13，1【分析】 A ＝{－1,3}当B ＝∅时，方程ax －1＝0无解，a ＝0 当B ＝{－1}时，－a －1＝0，a ＝－1当B ＝{3}时，3a －1＝0，a ＝13 a 的值是－1, 0, 13.2．在同一坐标中，y ＝x a和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )A B C D3．已知m ∈R ，且(m 2－8m ＋7)＋(m 2－1)i ＝|(2－23i)2|，则m ＝( ) A ．－1或1 B ．－1 C ．1或7 D ．7【分析】 |(2－23i)2|＝|8＋83i|＝16 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋7＝16m 2－1＝0解得m ＝－1.4．顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±12x 的双曲线的标准方程是( )A.x 29－4y 29＝1或y 29－x 236＝1B.y 29－4x 291或x 29－y 236＝1C.x 29－4y 29 1D.y 29－x236＝1【分析】 2a ＝6，a ＝3当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a ＝±12x, b a ＝12 b ＝32双曲线的标准方程是x 29－4y29＝1.当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a b ＝±12x ，a b ＝12， b ＝6双曲线的标准方程是y 29－x236＝1.二、填空题5．设A ＝{1,2,3}，B ＝{3, lg a }，若B ⊆A ，则a ＝__10或100________. 【分析】 由题得lg a ＝1或lg a ＝2，∴ a ＝10或a ＝100.6．已知π2＜α＜3π2，则|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝_____0___.【分析】 π2＜α＜π时，|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝0；π＜α＜3π2|tan α|tan α＋|sin α|sin α0.7．若log a 45＜1，则a 的取值范围是___(0，45)∪(1，＋∞)_______．【分析】 由题意，得log a 45＜1＝log a a ，则当a ＞1时，y ＝log a x 是单调增的，∴a ＞45，即a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是单调减的，∴a ＜45，即0＜a ＜45.综上所述，a 的取值范围为(0，45)∪(1，＋∞)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞03－x ，x ≤0，则xf (x )＞0的解集是___⎝⎛⎭⎫12，＋∞_______．【分析】 当x ＞0时，x (2x －1)＞0，即x ＞12或x ＜0 ∴x ＞12.当x ≤0时，x (3－x )＞0，解为∅.9．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝2，∠C ＝30°，则b ＝____2或4____.【分析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，32＝12＋b 2－443b，b 2－6b ＋8＝0，b ＝2或4.10．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴为8，短轴为4，则椭圆方程是___x 216＋y 24＝1或y 216＋x24＝1_____． 【分析】 若焦点在x 轴上，则椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上则椭圆方程为y 216＋x241.11．平行于直线3x －4y －20＝0，且和它相距3个单位的直线方程是__3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0______．【分析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意知两直线间的距离d ＝|－20－m |5＝3，则m ＝－5或－35.三、解答题12．已知集合A ＝{1, p, p 2}，集合B ＝{1, 1－q, 1－2q }，且A ＝B ，求p 的值．【解】 因为A ＝B .所以有⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1－q p 2＝1－2q ①或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q p 2＝1－q ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＝2－2qp 2＝1－2q ⇒p 2－2p ＝－1⇒p ＝1(舍去)．由②得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q 2p 2＝2－2q ⇒2p 2－p ＝1⇒p ＝－12或p ＝1(舍去)．所以p ＝－12.(舍去p ＝1是因为集合中的元素是互异的)13．求与双曲线x 22y 2＝1有两个公共焦点，且过点(3，2)的圆锥曲线的方程．【解】 双曲线x 22y 2＝1的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)当圆锥曲线为椭圆时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＋4b 2＝1a 2－b 2＝3 得： a 2＝9，b 2＝6，椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.当圆锥曲线为双曲线时，设其方程为x 2a 2y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝3得： a 2＝1, b 2＝2，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.14.函数y ＝a －b cos3x 的最大值是6，最小值是－2，求函数y ＝cos πxa＋b 的最小正周期与最小值．【解】 当b ≥0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6a －b ＝－2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是3；当b ＜0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝6a ＋b ＝－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4，函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是－5.15．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 为BC 或DC 上一动点，设AP 与矩形ABCD 所围成的三角形面积是S ，从点A 沿矩形周界且经过B (或再经过点C )到P 的距离是x ，试用解析式将S 表示为x 的函数．图(1) 图(2) 第15题图【解】 如P 在BC 间，AB ＋BP ＝x ，PB ＝x －4，S ＝12AB ·BP ＝12×4(x －4)＝2x －8，此时，x ∈(4,7]；如P 在DC 间，AB ＋BC＋CP ＝x ，CP ＝x －7，DP ＝DC －CP ＝4－(x －7)＝11－x ，S ＝12AD ·DP ＝12×3×(11－x )＝－32x ＋332此时x ∈(7,11)，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8 x ∈(4，7]－32x ＋332x ∈(7，11)。
高中数学分类讨论思想方法
高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。
它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。
分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。
下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。
首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。
这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。
例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。
首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。
根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。
根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。
2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。
根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。
3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。
中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想
中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k 与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;……当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。
分类讨论的思想方法
b 1 时， f (x) x2 ln(x 1) ，令 h(x) x3 f (x) ，则
例
8：已知函数
f
(x)
2ax x2
a2 1
1
(
x
R)
，其中
a
R
．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值．
内为减函数．
函数 f (x) 在 x1 a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 1 ．
函数
f
(x)
在
x2
1 a
处取得极小值
f
1 a
，且
f
1 a
a2 ．
例 9：设函数 f (x) x(x a)2 （x∈R），其中 a∈R，
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值；。
g(x) 在 (0, ) 上为增函数， x 0 时， g(x) g(0) 0 ，即
f (x) ax 。
2）若 a 2 ，方程 g '(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 2
4
，此时若
x
(0,
x1 )
，则
g
'( x)
0
，故
g(x)
在该区
间为减函数，因此 g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax
解：（1）设 r 为方程的一个根，即 f (r) 0 ，则由题设得 g( f (r)) 0 ．于是，
g(0) g( f (r)) 0 ，即 g(0) d 0 ． 所以， d 0 ． （2）由题意及（1）知 f (x) bx2 cx ， g(x) ax3 bx2 cx ．
初中数学思想方法之分类讨论
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。
仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。
在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1：现有一些白球和红球，共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。
分类转化 分散难点 各个击破――分类讨论的思想方法(高考数学解题技巧)
分类转化分散难点各个击破――分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性。
2.分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
3.分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
二.典例精析例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga (1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。
（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。
初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法有哪些1、数形结合思想：就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又显示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、分类讨论的思想：在数学中，我们经常必须要依据研究对象性质的差异，分各种不同状况予以考查;这种分类思索的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
3、联系与转化的思想：事物之间是互相联系、互相制约的，是可以互相转化的。
数学学科的各部分之间也是互相联系，可以互相转化的。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
2方法一1.对应的思想和方法在初一代数入门教学中，有代数式求值的计算题，通过计算发现：代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的，字母的不同取值可得不同的计算结果。
这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系，再如实数与数轴上的点，有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系在进行此类教学〔制定〕时，应注意渗透对应的思想，这样既有助于培养同学用变化的观点看问题，又助于培养同学的函数观念。
2.整体的思想和方法整体思想就是合计数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深入的观察，从宏观整体上熟悉问题的实质，把一些彼此独立但实质上又互相紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
3.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
著名数学家华罗庚先生说："数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
'这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。
4.分类的思想和方法教材中进行分类的实例比较多，如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使同学明确分类的重要性：一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深入、更具体，并且还能使同学掌握分数的要点方法：3方法二1、数形结合的思想和方法在同学刚接触初中数学不久，教材中设置利用"数轴'这一图形，巩固"具有相反意义的量'的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
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一模试卷课后作业 一、“分类讨论”概述
二、巩固练习： 1、（2013•河西区一模）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是（ ） 2、△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40度，则底角B 的度数为 __________
三、方法探究：
1、 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形.
2、在平面直角坐标系中，已知点P （－2，－1）.
（1）点T （t ，0）是x 轴上的一个动点。
当t 取何值时，△TOP 是等腰三角形？
(2) 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A.点T 为坐标系中的一点。
以点A.O.P.T 为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T 的坐
(3) 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A.点T 为坐标轴上的一点。
以P.O.T 为顶点的三角形与△AOP 相似,请写出点T 的坐标?
_____________________,25-,63-.3则这个函数的解析式为是相应的函数的取值范围的自变量的取值范围是一次函数-≤≤≤≤+=y x b kx y
(
）
的坐标为（两点，且点、轴交于两点，与、直线交于与，抛物线轴交于点，与轴交于点与已知，直线、综合练习：0,12
1y 12132
B C B x B A c bx x y D x A x y ++=+=C A B C
A B
C
A
B
B
A C D
(Ⅰ)求抛物线的解析式；
（Ⅱ）动点P在x轴上移动，当∆PAE是直角三角形时，求点P的坐标。
作业：
1、如图3，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，ＢＥ=ＣＥ,ＭＮ=１，线段ＭＮ的两端在ＣＤ、AD上滑动，当DM= ____________ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
2、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D
在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，
DE交AC于E.
⑴求证：△ABD∽△DCE；
⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围；
⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.
3、如图2，已知抛物线经过A(2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形.求点D的坐标；
4、某班四个小组的人数如下：10、10、x、8 已知这组数据的中位数和平均数相等,则x = _______.
5、函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。