气候统计第三章2聚类分析

2）dij≥0，
非负性
3）dij=dji
对称性
4）dij≤dik+dkj
三角不等式
常用距离
1.Minkowski距离:
d ij (q) [
m
( xki

Байду номын сангаас
xkj )q ]1/ q
k 1
m
(a) q 1, d ij
x ki x kj
k 1
绝对距离
m
(b) q 2, d ij
最长距离法、重心法等其他系统聚类法的 步骤相同，仅在计算类间距离时的定义不同。 最短距离法也可用于变量的分类，分类指标 也可用相似系数，在用相似系数时，要找相 似系数最大的两类合并，即总是最相似的两 类合并。 下面看一实例：
例 ，某地用4个因子表示气候闷热状况，分别是 x1:日平均温度 x2:14时气温 x3:14时相对湿度 x4:日最低气温
即G3，G4 和 G6，G7最为相似。 故将G3，G4 并成G9 G6，G7并为G10
删除p，q行和列，加上r行 和列
得D（1）
4、在D（1）中， D5,10=1.4是最小值， 将G5和G10并成G11 ， 进一步计算
G1 G2 G5 G8 G9 G1 G2 2 G5 6.3 6 G8 8.5 6.7 6.7 G9 2.2 2 8 7.8 G10 5 4.1 1.4 5.1 6.1
Gr Gq
Gp
D10,9 min{ D3,6 , D3,7 , D4,6 , D4,7 }
D4,6 6.1
Gk
2、定义类间距离 D( p, q) min{ d jk / j G p , k q }
合并最相似两类
Gr={Gp,Gq}
在Ｄ(０)中，D3,4 D6,7 1 min
它等于 G p和Gq 中所有任意两个样品距离的平均。
§3.4 系统聚类法（逐级归并法）
系统聚类法是聚类分析中使用最多的方 法，其基本思路是：先将n个样品各自看成一 类，然后规定样品之间的距离(或相似系数） 和类与类之间的距离，开始，将每个样品各 自成一类，根据距离选择最相似的一对并成 一个新类，计算新类与其他类的距离，再将 距离最近的两类合并，依次下去，直至所有 样品并成一类，或各类之间的距离大于给定 阈值T为止。
是同一指标的m个测站的时空分布。
2．距离和相似系数
进行分类，要将特征相似的样品聚为同一类，首 先要定义样品之间亲疏程度的数量指标。
A、距离
样品看作m维空间的点，以某种形式定义点与点之 间差异大小（不完全是地理或几何距离），数学上 的距离可以有不同定义，但要满足4个条件
1）dij=0时，样品i和j 恒等（dii=0） 唯一性和单一性
d1,3 (2 4)2 (5 4)2 2.2
得距离阵：
G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8
D(0)
G1 0 G2 2 0
G3 2.2 2.2 0
G4 2.8 2 1 0
G5 6.3 6 8.1 8 0
G6 5 4.1 6.3 6.1 2.2 0
G7 5.8 5.1 7.3 7.1 1.4 1 0
G1 G2 G8 G9 G1 G2 2 G8 8.5 6.7 G9 2.2 2 7.8 G11 5 4.1 5.1 6.1
D(3)
G8 G11
G8
G11 5.1
G12 6.7 4.1
5、画聚类图
绘制各次聚类结果。
若选择T=3.0,从图 可见，1，2，3，4 合并一类，5，6，7 并成一类，8自成一 类，全部样品分成 三类为宜。
2。最长距离法： D( p, q) max{ d jk / j G p , k Gq }
即为 G p和Gq 中最远的两个样品的距离。
3.重心法：D( p, q) d xp xq
它为两个类的重心 x p 和xq 间的距离
4.类平均 法:
1
D( p, q)
lm
d jk
jGpkGq
定义1：T为一给定的阈值，如果对任意的 i, j G ，有 d ij T ，则称G为一个类。
定义2：对阈值T，如果对于每一个 i G ，有 ，则称G为一个类。
1
k 1 jG d ij T
定义3：对阈值T，如果对于每一个 i G ，一定存在 j G 使得d ij T ，则称G为一个类。
B 相似系数 1）
rij
m
x ki x kj
k 1
m
x
2 ki
k 1
m
x
2 kj
k 1

cos ij

X
i

X
j
Xi X j
将样品i、j看作m维空间的向量，常用于要素场的相似。 包括空间点的相似和时间点的相似度量。
二、类与类的特征 1，类的定义
由于客观事物的千差万别，在不同问题中，类的含义是不尽 相同的，给类下严格地定义是不容易的，有不同的定义。如：
一、最短距离法
例 对同量纲指标x1和x2进行八次观测得各样品数据如下
i12345678 x1 2 2 4 4 -4 -2 -3 -1 x2 5 3 4 3 3 2 2 -3
试以最短距离法将其分类。
解：x1和x2为同量纲，无需标准化
采用欧氏距离
2
d ij
( xki xkj )2
k 1
1、计算距离，如d1,3
包含步骤
(1)计算n个样品两两间的距离{dij} (2)构造n个类，每类只包含一个样品 (3)合并距离最近（最相似）的两类为一个新类 (4)定义类间距离，计算新类与当前各类的距离。
若类的个数等于1，转到（5）。否则回到步 骤（3）。 (5)画聚类图 (6) 决定类的个数和类
使用不同的类间距离，便得到不同的系统聚 类法。如最短距离法、最长距离法、重心法 等。
试根据下表所列相似系数将因子分类
G1 G2 G3
G2
0.93
G3
-0.74 -0.83
G4
0.69 0.5 -0.38
解：G1和G2的相似系数最大，R1，2=max，表明两者 最接近，先将它们并成G5。 计算G5与G3，G4的相似系数分别为：
R5,3 m ax{m ax rij , m ax rij }
一、相似性指标统计量
1．样品与分类指标
对与研究对象有关的m个变量作n次观测，
得样本矩阵，
x11 x1n
X






xm1 xmn
称每行为一个分类指标，每一列为一个样
品，对样品进行分类；每个样品包含m个指
标，即样品的特征用m个指标来描写，可以
是一个测站的m个指标的时间分布，也可以
iG1, jG 3 iG 2 , jG 3
m ax{R1,3 , R2,3 }
max{0.74,0.83) 0.74
R5,4 m ax{0.69,0.5} 0.69
G3 G4
G4
-0.38
G5
-0.74 0.69
R（1）中，R4，5=0.69=max，将G4,G5并成G6
( xki xkj ) 2
k 1
Euclid距离
2.Mahalanobis距离
dij (Xi X j )S 1(Xi X j )
马氏距离考虑了类型总体的内部结构，更加 合理，但计算繁琐。
在距离指标中，当样品指标不是同一变量时，
各变量对距离的影响与它们的量纲有关，如气 温为101，气压为103量级，气压变化对距离的 影响远大于气温。克服这一缺点的方法是对各 指标标准化
G8 8.5 6.7 8.6 7.8 6.7 5.1 5.4 0
３、计算新类与其他类的距离
Dr,k mind ij min{mind ij ,mindij }
iGr, jGk
iGp, jGk iGq, jGk
min{D p,k , Dq,k }
例如:
D1,9 min{ D1,3 , D1,4 } D1,3 2.2
R6,3 max{R4,3 , R5,3 } max{0.38,0.74} 0.38
G3与G6变化趋势相反，并成一类无意义，聚类结束
聚类结果中，x1,x2,x4 表示温度状态，自然成为 一类，而x3是空气湿度因 子，物理上属于另一类。
逐步聚类法
略
D（2）
在Ｄ（2）中，D1,2,D2,9=2是最小元 素，将G1,G2,G9合并为新类G12。 计算新类与各类的距离：
D12,8 min{D1,8 , D2,8 , D9,8 }
得D(3)，其中D11，12=4.1为最小元 素，合并G11，G12 为G13
D13,8=5.1 最后G13，G8并成 一类G14
2．类的距离 由于类的形状是多种多样的，所以类与类之间的距离也有多种 计算方法，设 G p ,Gq 中分别有l和m 个样品，它们之间的距离 用D(p,q)表示，常用定义有：
1.最短距离法： D( p, q) min{ d jk / j G p , k Gq }
即为 G p 和Gq 中最邻近的两个样品的距离。
§3.3 聚类分析概要
聚类分析是研究多要素的客观分类方法， 即运用数学方法对不同的样品进行数字分类， 定量地确定样品之间的亲疏关系，并按照它 们之间的相似程度，归组并类，以便客观分 类的一种统计分析方法。它同判别分析同属 分类问题，但前提不相同，所给的样本类型 和类型数都是未知的。气象学中存在许多分 类问题，如气候分类区划、天气过程分类、 环流分类、预报因子的合并归类、相似年的 确定等。